Indice di tutti gli articoli di Umberto presenti in archivio-Matematica

 

Adesso che stiamo prendendo mano con la topologia quoziente, cominciamo a costruire superfici un po' più complicate. Fino ad ora abbiamo incollato solo due dei quattro lati del quadrato, ottenendo delle figure "aperte". Vogliamo provare ad incollarli a due a due.Iniziamo  a costruire un toro, che avete visto molto bene negli articoli di Arturo. Partiamo sempre dalla nostra striscia,anche questa volta quadrata ,

Lo schema della costruzione è questo:

Dapprima incolliamo i due lati a, nello stesso verso, poi i due lati b, sempre nello stesso verso. Con la prima operazione otteniamo un cilindro, con due bordi circolari; se piegandolo incolliamo i due bordi (pensate a un tubo di gomma), otteniamo proprio il nostro salvagente (Toro).

 

Questo nella pratica; ma noi dobbiamo trovare  una relazione d'equivalenza che identifichi i lati b,b e i lati a,a.

Consideriamo la relazione sul quadrato   in cui le equivalenze non banali sono  e . Al solito, tutti i punti interni al quadrato sono equivalenti solo a se stessi.

Il toro che abbiamo costruito in modo astratto, lo chiamiamo "toro topologico", ed è il quoziente del quadrato rispetto alla relazione di equivalenza sopra descritta. Ma è proprio il toro che conosciamo? Dobbiamo dimostrare che  è omeomorfo al toro immerso nella spazio.

Ci serve perciò l'equazione parametrica del Toro nello spazio, e la recuperiamo direttamente sempre dall'articolo  di Arturo, dove trovate anche la dimostrazione:

R>r

 

Per chi vuol approfondire ,senza cambiare pagina, inserisco qui sotto la dimostrazione di Arturo:

 

Costruiamo l'omemorfismo.

Chiamiamo f  l'equazione parametrica appena vista.Quello che vogliamo dimostrare ora, è che esiste un omeomorfismo  g:

dove Z è l'immagine di X tramite f (Z=f(X)). Verifichiamo la proprietà :

1 se  ,

f(θ,0)=( (R+r)cosθ,(R+r)senθ,0),

f(θ,)=( (R+r)cosθ,(R+r)senθ,0)

per cui f(θ,0)=f(θ,)

2 se

f(0,φ)=((R+rcosφ),0,rsenφ)

f(,φ)=((R+rcosφ),0,rsenφ)

per cui f(0,φ)=f(,φ).

Quindi possiamo porre g([p])=f(p) essendo g ben definita, ovvero indipendente dal rappresentante della classe.

f è continua, quindi per la proprietà fondamentale del quoziente anche g è continua.

Torniamo adesso all'equazione parametrica di f. f non è iniettiva. Consideriamo un particolare  del disegno tratto dallo studio della parametrica di Arturo.

Abbiamo  due parametri   che variano fra  . Sia  arbitrario ma fissato, ma interno all'intervallo, ossia . In corrispondenza avremo una circonferenza di raggio r. I punti di tale circonferenza al variare di    fra  descrivono punti P della superficie del toro. Tali punti hanno valori univoci di , ad eccezione del punto che si ottiene per =0 in quanto tale punto si ottiene anche per .  Al variare di , tali punti altro non sono  che la saldatura che forma il cilindro, ed hanno coordinate . Per  la circonferenza di raggio r viene a sovrapporsi con la circonferenza sempre di raggio r ma corrispondente a . In questo caso, al variare di  tutti questi punti hanno la doppia rappresentazione , Essi rappresentano la saldatura dei due bordi  del cilindro. Notiamo allora che i punti dove la f non è iniettiva altro non sono che i punti delle equivalenze non banali descritte sopra.

g invece è  iniettiva. Infatti g viene applicata alle classi di equivalenza di X. Se f viene applicata ad un punto interno del quadrato, f assume lo stesso valore solo in quel punto, che è equivalente solo a se stesso. Se invece applichiamo f ai punti dei segmenti che delimitano il quadrato, sappiamo che f assume lo stesso valore in  e in  . f non è iniettiva in questi segmenti, ma sappiamo anche che i punti in essi sono equivalenti, quindi appartengono alla stessa classe. Essendo g([p])=f(p) questo significa che g è iniettiva.

Possiamo allora applicare il nostro teorema necessario:

Sia g : X -->Y un’applicazione continua e biunivoca. Se Y  è compatto e Z è di Hausdorff allora g è un omeomorfismo.

g è continua e biunivoca. E' definita su Y che è un compatto, essendo immagine del compatto [0,] x [] tramite .

Z (il toro) è di Hausdorff, essendo un sottospazio di , immagine di X (f(X)). Quindi g è un omemomorfismo.

Il toro costruito con la topologia è quindi omeomorfo al toro immerso nello spazio, costruito in altro modo, ovvero come superficie di rotazione.