Categorie: Relatività
Tags: astronave gemelline Papalla. Terra quiz relatività ristretta
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:12
Un quiz banalrelativistico (ma forse non per tutti...) *
Un banale quiz di relatività ristretta che farà sorridere la maggior parte dei lettori. Tuttavia, con il caldo che fa... meglio rimanere sul semplice. Chissà che non risponda qualche lettore silenzioso e meno esperto... lo potremmo chiamare un "fenomeno estremo" dovuto al GW?
La Terra e Papalla sono due pianeti molto distanti, ma, per qualche strano meccanismo dinamico, restano sempre fermi uno rispetto all'altro. Un bel giorno nascono due belle bambine alla stessa ora, allo stesso minuto e allo stesso secondo, una sulla Terra e una su Papalla. Li possiamo considerare due gemelle "spaziali". Spaziali due volte, in quanto la mamma della bimba di Papalla l'ha messa al mondo proprio mentre stava partendo l'astronave che l'avrebbe portata sulla Terra. L'astronave viaggia quasi alla velocità della luce, ovviamente. Quando arriva sulla Terra e scendono i papalliani, i giornalisti scattano subito una foto alle due gemelline spaziali che riportiamo di seguito.
Ma, ma... c'è qualcosa che non va per il verso giusto... la foto deve essere un falso!
Come mai? La soluzione si può dare immediatamente con un semplice disegnino e senza tanti calcoli (se ne può fare a meno benissimo). Ah... per gli amanti della letteratura, il ritratto di Dorian Gray non c'entra per niente!
I più esperti se ne stiano zitti almeno per qualche giorno, mi raccomando...
12 commenti
Ok. ci provo. Mai prima commentato, e vi ho scoperto grazie a Curiuss e ai video sulla relatività. E dimostrerò di non averci capito nulla, dall'alto della mia fisica di seconda superiore di trent'anni fa, in un normalissimo ITC... Chiedo venia per le possibili cantonate...
Allora. Se Papalla e Terra sono fermi uno rispetto all'altro, dovrebbero poter essere considerati nello stesso sistema di riferimento. Pertanto, se Papalla è considerata ferma, allora la sua linea del tempo è un asse verticale ortogonale rispetto a quella del suo spazio. Stessa cosa per la Terra, quindi le linee del tempo dei due pianeti sono due verticali parallele. La nascita delle due gemelline (e la partenza dell'astronave palalliana che, in quell'istante, è ancora su Papalla, quindi nello stesso sistema di riferimento della Terra), sono eventi simultanei.
Parte l'astronave in direzione Terra. Cambia il sistema di riferimento della gemellina papalliana (è lei che subisce l'accelerazione iniziale, quindi è lei in movimento rispetto alla gemellina terreste) e quindi anche il suo tempo (anche se non ho capito se è quello proprio o improprio... sorry), visto da Papalla (o dalla Terra: credo sia la stessa cosa).
Viaggiando a velocità relativistica, si inclinano sensibilmente gli assi del suo spaziotempo. Cambia anche la linea di simultaneità, in funzione della velocità dell'astronave (tanto più vicino a c, tanto più l'angolo formato tra i nuovi assi sarà piccolo, restando la retta c inclinata di 45° la bisettrice degli stessi assi). Quindi, quando la gemellina terreste avrà, per esempio, 5 anni, la papalliana ne avrà meno (quanti meno, dipende dalla velocità dell'astronave). Quindi, credo che quando le gemelline si incontrano sulla Terra, non possono essere della stessa età, ma la papalliana sarà ancora più cucciolotta della terreste.
Spero di non aver preso troppi colpi di sole.
Saluti
grazie Guido per aver provato. Non voglio dire niente per lasciare ancora spazio ad altri coraggiosi come te. Comunque, complimenti... qualunque sia la risposta giusta...
aggiunta per Guido...
non ti considerare impreparato! Come avrai visto sulla notizia data qualche giorno fa, ho scritto un libro sulla RR proprio per le scuole medie inferiori, allineandomi a quanto stanno facendo in Australia. E' ora che la RR sia insegnata fin da subito... sono cent'anni che è stata formulata e la scuola... silenzio!
Forza Paolino (o chi per lui) potete dare pure la risposta!
Caro Enzo mi sembra che Guido abbia già dato la risposta, ossia la gemella papallicola quando arriva sulla Terra è più giovane di quella terricola, per cui la foto è un falso!
Il motivo è piuttosto semplice.
Le due gemelle nascono nello stesso istante sia per i papallicoli, sia per i terricoli, dato che appartengono al medesimo sistema di riferimento (infatti la distanza tra Terra e Papalla è sempre la stessa) ed i loro orologi segnano lo stesso tempo (sono sincronizzati).
Quando la gemella Papallicola sale sull’astronave, cambia sistema di riferimento.
Graficamente, mentre i papallicoli ed i terricoli si muovono solo lungo l’asse verticale del tempo e quest’ultimo viene scandito con la medesima unità di misura, l’asse del tempo dell’astronave è inclinato e rispetto a terricoli e papalliani cambia anche l’unità di misura, ossia il tempo di chi sta sull’astronave misurato da terricoli e papallicoli risulta scorrere più lentamente.
Per esempio se l’astronave viaggia a 0,8c, se per terricoli e papallicoli sono trascorsi 10 anni per chi sta sull’astronave ne sono trascorsi solo 6:
Δtp = Δt √(1 - v²/c²) = 10 √(1 – 0,8²) = 10 √0,36 = 6
Δtp è un tempo proprio, ossia quello misurato con l’unico orologio dell’astronave, o meglio con l’età della gemella papallicola, mentre Δt è il tempo misurato dal sistema terra-papalla e dai suoi infiniti orologi sincronizzati che coincide con l’età della gemella terricola.
Graficamente basta individuare l’unità di misura dell’asse del tempo dell’astronave (t’) per rendersi conto che la gemella papallicola arriva sulla Terra più giovane di quella terricola.
Per individuare l’unità di misura dell’asse del tempo dell’astronave (t’ = 1), basta tracciare la linea di simultaneità (parallela all’asse x’) partendo dall’asse del tempo di Papalla nel punto pari a 1/γ (ossia √(1 - v²/c²) ) fino ad incrociare l’asse del tempo dell’astronave (t’), come mostra questo articolo http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/2015/05/03/il-diagramma-di-minkowski-2-troviamo-le-unita-di-misura/
Un’ultima piccola precisazione ad essere più giovane è la gemella papallicola, poiché è l’unica a cambiare sistema di riferimento, sia quando parte, sia quando arriva, rompendo così la simmetria.
Paolo
leggere Paolino è sempre un piacere... e quindi bravo Guido che ha provato e ha azzeccato la risposta. Questo banale esercizio non è utilizzato spesso, ma è in pratica il primo passo (o il secondo) verso il paradosso dei gemelli. Capito questo ne scaturisce ovviamente anche il celebre paradosso.
E cosa succederebbe se la gemellina papalliana non si fermasse sulla Terra, ma proseguisse nel suo viaggio a v costante prendendo a bordo quella terrestre "al volo" ?
Forza Guido....
Beh, Professore, mi sembra logico. Alcune premesse
1- l'astronave viaggia a velocità di poco inferiore a quella della luce, con volo radente;
2 - tuttavia, non causa spostamenti d'aria; sai che vento al suolo, sennò? La terricolina vola via...
3 - l'astronave ha un portellone aperto ma non subisce alcuna depressurizzazione, nè perdita di portanza...
A tali condizioni, la terricolina salta e centra un portellone che avrà anche una lunghezza propria di qualche chilometro, ma la terricolina lo vede si è no di qualche millimetro, causa contrazione della lunghezza (la terricolina è ancora sul sistema di riferimento terrestre, quindi vede le distanze ridotte). E' evidente che l'astronave diventa un sistema di riferimento assoluto, privilegiato e costante per tutto l'Universo, conosciuto, osservabile e non osservabile. E il cono di luce diventa un cono gelato...
Se poi la terricola si porta dietro anche un micio, allora si assiste a un nuovo big bang che genera un nuovo universo formato solo da antimateria felina oscura...
A parte gli scherzi: di primo acchito mi viene da dire che, semplicemente, la terrestre entra nel sistema di riferimento dell'astronave papalliana e quindi diventa solidale con la gemellina papallina. Credo che la differenza di età resti, però da quel momento il tempo proprio della terrestre è lo stesso della papalliana e, viste da terra (o da Papalla) il suo tempo (improprio, giusto?) diventa lo stesso della papalliana.
Ammesso di non aver detto una castronata, mi sfugge qualcosa?
E se la radiazione di fondo del big bang non fosse altro che le fusa di un micio creatore?
Uff, troppo caldo... non si è mai visto a luglio 33 gradi, in Italia. Stiamo proprio diventando come Venere, ormai è finita per noi...
caro Guido,
la situazione deve essere perfettamente simmetrica e sarà la terrestre a essere più giovane... e ciao al tempo assoluto!
ok, non avevo capito la domanda (credevo che si chiedesse cosa vedevano i terrestri se la gemellina terrestre fosse salita al volo sull'astronave...
). Vediamo se ho capito la risposta...
All'inizio, Terra Papalla e Astronave sono sempre nello stesso sistema di riferimento, e le due nascite sono sempre simultanee. Parte l'astronave, ma la papallina si sente in tutto e per tutto ferma e può dire che sono Terra e Papalla a muoversi a una certa velocità < non di tanto a c. Non ha modo di rendersi conto, la Papalliana, che è lei che viaggia, se si esclude l'accelerazione iniziale (che qualche sospetto deve pur darlo...). Quindi la Papalliana non cambia mai il suo sistema di riferimento, e non lo fa nemmeno quando arriva a volo radente sulla Terra e prende al volo la Terrestre. E' la Terrestre a cambiare sistema di riferimento e a rompere la simmetria. Fino a quel momento, la Papalliana, ferma, vedeva i pianeti muoversi rispetto all'astronave, e quindi vedeva anche il tempo degli abitanti dei pianeti (gemellina terrestre compresa) rallentare. Pertanto, quando sale sull'astronave, è la terrestre ad essere più giovane della papalliana.
Ci ho preso?
esattamente Guido! Nella RR abbiamo una perfetta simmetria tra due sistemi di riferimento inerziali in movimento relativo(accettando di trascurare del tutto le accelerazioni e/o le decelerazioni, le quali comportano un cambiamento spaziotemporale NON più simmetrico, ma solo per il sistema che subisce l'accelerazione)