Categorie: Fisica Matematica
Tags: cinematica geometria gittata quiz
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:12
Quiz di cinematica: sfiorare tre muri ***
Un problemino, senza derivate o integrali, che può sicuramente essere risolto in vari modi. Io ho scelto la soluzione che mi appariva più elegante e rapida (da cui i tre asterischi), ma ... qualcuno potrebbe sicuramente superarmi, trovando anche un procedimento più semplice. L'esercizio è stato proposto all'Università di Dublino (ma non tratta di birra...) e lo inserisco per far divertire almeno il nostro caro amico Arturo.
Un cannone lancia un proiettile, in modo che sfiori tre muri senza abbatterli (passa esattamente sul loro punto più alto). I primi due muri distano tra loro d, mentre il terzo si trova a una distanza di 2d dal secondo. Il primo e il terzo muro hanno la stessa altezza mentre il secondo ha un’altezza pari ai 15/7 della loro. Trovare la gittata del cannone in funzione della sola d.
Non faccio nessuna figura perché sarebbe già un grosso aiuto...
Forza Arturo... ma sono sicuro che non sarai il solo!
12 commenti
La gittata è pari a 4d .
Ci sono arrivato ricordando che la traiettoria di un proiettile, nell'ipotesi di attrito dell'aria trascurabile, è una parabola. Chiamata h l'altezza del primo e terzo muro, il secondo sarà alto 15/7 h . Quindi, poiché il proiettile passa per per il punto più alto dei tre muri, in pratica la parabola passerà per i punti:
A=(0,h)
B=(d,15/7 h)
C=(3d,h)
L'equazione di una parabola , come noto, è :
y=ax^2 + bx + c
Il passaggio per i 3 unti suddetti, quindi, mi permette di trovare i coefficienti a, b e c . Alla fine ottengo l'equazione della parabola:
Per trovare la gittata vado a cercare i punti della parabola con ordinata nulla, che ovviamente sono due, imponendo y=0 nella suddetta equazione (e già così vedo che, potendo eliminare la h , la soluzione del problema è indipendente dall'altezza dei muri) e risolvendo la conseguente equazione di secondo grado in x . Alla fine trovo:
x1 = -1/2 d
x2=7/2 d
La gittata sarà data dalla somma dei valori assoluti delle due suddette ascisse:
G=1/2 d + 7/2 d = 4d
per Artù (ma non solo...)
ci si può arrivare anche senza trovare l'equazione della parabola... ma forse i due metodi si equivalgono...
Se spostiamo le cartesiane in modo che x=0 corrisponda col vertice della parabola, l'equazione si semplifica in y=ax^2+c .
Le radici sono simmetriche rispetto all asse y e si ottengono risolvendo x^2=-c/a . La gittata è 2 rad(-c/a).
Tenendo conto di ciò ed imponendo il passaggio per i punti (d/2,15/7 h) e (3/2d,h) si ottengono due equazioni con incognita a/c dalle quali sparisce h.
Non sono riuscito a trovare una soluzione grafica, utilizzando fuoco e direttrice, ma ci deve essere...
caro Leandro,
hai voglia di esplicitare per bene il tutto? So che i passaggi sono sempre noiosi, ma per i meno esperti sono importanti...
Da cui
Segue uguagliando
Gittata =
= 4d
Buona serata non sono un matematico ho cercato di risolvere
I punti posti ad altezza h del primo e terzo muro sono simmetrici rispetto all'asse di simmetria della parabola che passa per essi e per il punto posto ad altezza 15/7 h.
Dai dati del quiz i punti alti del primo e terzo muro distano dall'asse di simmetria (d+2d)/2 = 3/2 d. Se il cannone fosse posto alla sommità del primo muro la gittata G sarebbe 3/2d + 3/2d = 3d.
La gittata è maggiore.
La distanza del secondo muro (quello alto 15/7 h) dall'asse di simmetria è 3/2d - d = 1/2 d .
secondo me la gittata vale G = 3/2d + 3/2d + 2(1/2)d = 4d.
Correggetemi se la procedura non è esatta, ho cercato di risolvere il problema senza determinare l'equazione della parabola passante per i tre punti di coordinate date
grazie Michele!
caro Michele,
va tutto bene, ma non capisco come fai a dire che
"secondo me la gittata vale G = 3/2d + 3/2d + 2(1/2)d = 4d"
Visto che solleva interesse, aspetto ancora un po' a dare la (le) risposte...
Buongiorno Vincenzo come ho scritto ho cercato di risolvere il quiz senza determinare l'equazione della parabola.
Ho fatto un grafico abbastanza approssimato riportando i punti dati:
la distanza del secondo muro (quello più alto) dall'asse di simmetria della parabola vale 3/2d - d =1/2d,
graficamente questa distanza risulta uguale alla distanza del cannone dal primo muro (quello alto d) e dal terzo muro con l'intersezione della parabola con l'asse d.
quindi eseguendo la somma di tutte le distanze sull'asse d si ottiene la gittata
Non sono riuscito a dimostrare che quello che ho verificato graficamente
G= 1/2d + 3/2d + 3/2 d +1/2 d = 4d
caro Michele,
come avrai capito, il tuo risultato è giusto... tuttavia, quello che tu hai dimostrato graficamente andrebbe dimostrato anche analiticamente... e senza parabola direi che è impossibile... Comunque, l'idea di partenza era giusta, come ha dimostrato Leandro...
Continua a provarci e diventerai un piccolo mago anche tu!
Grazie e complimenti!
cari tutti, che seguite questo problema
volevo solo dire che a Leandro è scappato 1/4 in un passaggio intermedio.
La formula
va sostituita con
((7/15)(1/4) - (9/4))ad2/c = 8/15
ma il risultato è quello giusto. Nella soluzione che riporterò tra poco ne ho già tenuto conto... così come di qualche cambiamento di segno per uniformarla con la mia soluzione...
Purtroppo, lo sappiamo bene, 1/4 è una frazione terribile: vuole sempre scappare dalle formule!