La soluzione è più facile di quello che si potrebbe pensare. In realtà, il numero infinitesimo di secondi di ritardo al secolo farebbe pensare a un effetto altrettanto microscopico sullo spostamento delle coordinate stellari... e, invece, superiamo di gran lunga le previsioni.

Iniziamo la soluzione trasformando la decelerazione di 0.002 secondi al secolo (al quadrato, dato che siamo di fronte a una accelerazione ) in gradi al giorno al quadrato. Basta applicare una semplice proporzione:

360/86400 = a/(0.002/36500)

Un giorno contiene 864oo secondi e in quel tempo la Terra compie 360°. Quanti gradi effettua in una frazione infinitesima di giorno pari a 0.002/36500, dove 36500 sono i giorni compresi in un secolo?

a = (360· 0.002)/(86400· 36500) = 2.283 10^-10 gradi/giorno².

In realtà, siamo di fronte a un moto decelerato e quindi imponiamo il segno meno

a = - 2.283 10^-10

Bene, siamo pronti per vedere cosa succede su tempi molto lunghi. L'angolo che la Terra "perde" al giorno è decisamente piccolo, ma 1000 e 2000 anni sono molto lunghi...

Siamo di fronte a un moto circolare uniformemente accelerato (il segno conta poco, per adesso).

Non ci resta che calcolare la legge oraria di questo moto. Non diamo niente per conosciuto (anche se la similarità con il moto rettilineo uniformemente accelerato è lampante) e ricaviamo la formula dall'inizio. In tal modo ci troveremo di fronte a due equazioni differenziali (ridicole), che prepareranno un certo discorso che vuol fare il nostro Arturo...

Sappiamo, innanzitutto, che l'accelerazione angolare è uguale alla derivata della rotazione angolare, ossia:

dω/dt = a

Scriviamola, separando i due infinitesimi..

dω = a dt

Questa è un'equazione differenziale a variabili separabili e si risolve integrando ambo i membri per un certo intervallo di velocità e di tempo (tra loro corrispondenti).

                     .... (1)

a è una costante e abbiamo preso come tempo zero l'inizio del moto. ωo è la velocità angolare iniziale (quella odierna).

Chi volesse ricordare il calcolo di  integrali semplici, come questi, può andare QUI, da lezione 51 a 61. Ci basti dire che l'integrale è l'inverso della derivata.

La (1) diventa:

ω  - ωo = a(t - o) = at

ω  = ωo + at                        .... (2)

Che non è altro che la legge oraria della velocità angolare. Essa ci dice, volendo, di quanto la velocità di rotazione della Terra rallenta al passare del tempo.

Ma a noi interessa arrivare fino all'angolo descritto da un certo osservatore terrestre rispetto alle condizioni iniziali (ad esempio oggi, quando t = 0). La posizione di una stella sarà costretta a variare se continuiamo a segnare il tempo con l'orologio odierno.

Basta ricordarci che la velocità angolare non è altro che la derivata di quest'angolo rispetto al tempo e quindi...

ω = dθ/dt

Costruiamo una nuova banalissima equazione differenziale

ω dt = dθ

la (2) ci dice , però, quanto vale  ω in funzione del tempo, introducendo due costanti (ωo e a). Possiamo scrivere:

(ωo + at)dt =  dθ

ωo dt  + at dt =  dθ

Non ci resta che integrare

Abbiamo posto anche l'angolo iniziale θo = 0. Si ottiene:

ωo t  + 1/2 t² = θ

La legge oraria dell'angolo risulta quindi:

θ = ωo t  + 1/2 a t²                     .... (3)

Noi conosciamo sia ωo che a e possiamo facilmente calcolare lo spostamento dell'angolo.

Dopo 36.5oo giorni, cioè un secolo, il giorno si è allungato di soli 2 millesimi di secondo, ma la differenza tra l'angolo orario di una qualunque stella, osservato e previsto, sulla base dell'orologio sincronizzato con il giorno di partenza non è così piccolo...

Nella (3) possiamo escludere il termine ωo t dato che esso rappresenta l'angolo descritto da una Terra che non rallenti, ossia un numero intero di rotazioni complete (una al giorno).  A noi interessa il termine 1/2 a t²   che ci dice di quanti gradi l'osservatore si trova più indietro di quanto sarebbe stato con una rotazione costante e non decelerata.

Proviamo per credere... cosa succederà tra 1000 anni:

θ = - 1/2· 2.283 10^-10 · 365000²  = 15. 2 gradi

e tra 2000

θ = - 1/2· 2.283 10^-10 · (2 · 365000)²  = 60.8 gradi

In altre parole, in 2000 anni l'angolo orario di una qualsiasi stella cambierà di oltre 60°.

Negli anni '30 fu dimostrato che le posizioni apparenti del Sole, della Luna e dei pianeti, calcolate per un'epoca abbastanza lontana, usando come unità di tempo il secondo definito come la 86.400-esima parte del giorno attuale, risultavano sistematicamente spostate ad Ovest, rispetto alle loro posizioni documentate storicamente, in occasione di qualche evento eccezionale come le eclissi di Sole o di Luna. Questo significava che la velocità di rotazione della Terra era, nel passato, maggiore di adesso e che il nostro pianeta stava progressivamente rallentando.

Per finire... tanti complimenti a Francesco e ancora grazie a Lampo per avere "lanciato" il quiz.