Quiz: un cane, un gatto e un topo misurano un angolo **
Un quiz che sembra domandare qualcosa di assurdo. E, invece, anche gli animali sanno fare i calcoli...
Sul terreno viene disegnato un triangolo qualsiasi ABC. Il cane, il gatto e il topo (molto amici tra loro), devono percorrere il perimetro del triangolo partendo contemporaneamente da A e andando nella direzione A-B-C-A.
I tre animali seguono la traccia del triangolo senza poterlo vedere (ad esempio, è stato scavato una specie di corridoio che li guida senza possibilità di errore).
Ogni animale si muove con velocità diverse:
Il CANE percorre AB alla velocità di 12, BC alla velocità di 10 e CA alla velocità di 15.
Il GATTO percorre AB alla velocità di 15, BC di 15 e CA di 10.
Il TOPO percorre AB alla velocità di 10, BC di 20 e CA di 12.
Poco importano le unita di misura (m/s, km/h o quello che volete). Agendo in questo modo essi riescono ad arrivare tutti assieme nel punto A.
Gli si pone la domanda: "Quanto vale l'angolo ABC?"
I tre amici a quattro zampe si guardano sorridendo e rispondono all'unisono...
Ovviamente, il tutto potrebbe essere generalizzato facilmente...
10 commenti
Però !
Un modo ci sarebbe, ma mi sembra abbastanza complesso. Non è da risposta immediata come fanno i tre amici.
Lo accenno al procedimento in attesa di risposte migliori. Lascio comunque il testo nascosto.
Le tre frasi in neretto possono essere tradotte i tre equazioni sui tempi di percorrenza.
Il tempo di percorrenza di ciscun segmento dato dalla sua lunghezza diviso la velocità di percorrenza.
In queste 3 equazioni ci sono 4 incognite: le 3 lunghezze dei segmenti AB, BC e CA; e il tempo di percorrenza T. Poiché le equazioni sono 3 e le incognite sono 4, non posso ottenere i valori delle incognite. Quello che posso fare è considerare T come un parametro e risolvere il sistema. In questo caso il sistema è anche lineare ed ottengo che AB, BC e CA sono proporzionali a T, cioè sono T per un fattore di proporzionalità. Pur non conoscendo T, questo è sufficiente per trovare l'angolo.
A questo punto occorrerebbe invocare il teorema di Carnot. Ma prima di avventurarsi nella trigonometria, si può fare un test facendo la congettura che l'angolo in B sia di 90°, il più semplice da trattare. In questo caso la congettura risulterrebbe verificata dall'applicazione del teorema di Pitagora.
================
Ora ci provo pure io. Testo bianco , per chi non volesse farsi influenzare
Si da per nota la definizione di velocità : spazio percorso / intervallo di tempo impiegato . In formula v=s/t. Considero il cane. Il tempo impiegato per percorrere i lati AB, BC e CA, considerati i dati di partenza, sarà rispettivamente AB/12, BC/10 e CA/15. Il tempo totale impiegato dal cane è dunque dato dalla somma
AB/12+BC/10+CA/15
Stesso ragionamento per gatto e topo. Per il gatto:
AB/15+BC/15+CA/10
e per il topo:
AB/10+BC/20+CA/12
Poichè è noto che i tre animali impiegano lo stesso tempo, cioè è
Tc = Tg = Tt
posso sostituire a Tc, Tg e Tt le somme prima ricavate. Scrivo allora, per l'uguaglianza tra cane e gatto:
AB/12+BC/10+CA/15 = AB/15+BC/15+CA/10
e ,per l'uguaglianza tra cane e topo:
AB/12+BC/10+CA/15 = AB/10+BC/20+CA/12
La relazione tra gatto e topo non la posso considerare èerchè non indipendente, nel senso che le prime due implicano automaticamente la terza (proprietà transitiva dell'uguaglianza). Ho quindi due equazioni ma 3 incognite (i 3 lati del triangolo). Non mi scoraggio e vado avanti. Alla fine trovo, smanettando con le due equazioni impostate:
CA-BC=AB/2
CA+AB=3 BC
da cui alla fine:
AB=4 BC/3 (1)
CA=5 BC/3 (2)
A questo punto, potrei invocare il teorema di Carnot, che stabilisce una ulteriore relazione tra AB, BC e CA e che contiene pure l'angolo cercato. Sostituento le espressioni di AB e BC sopra trovate nella relazione del teorema di Carnot, avrei che alla fine BC si smeplifica e potrei così trovare l'angolo cercato. Ma posso arrivare allo stesso risultato osservando le (1) e (2). Un lato del triangolo è 4 volte la quantità (BC/3), mentre l'altro lato CA è 5 volte la quantità (BC/3). Questi numeri, 4 e 5, mi ricordano tanto un triangolo rettangolo con cateto 4 e ipotenusa 5, in cui l'altro cateto sarebbe 3. Se allora pongo BC/3 = 3, ottengo BC=9 e di conseguenza AB=12 e CA=15. Praticamente , deduco che l'angolo cercato è proprio di 90 gradi. Prova del 9: sostituisco i valori trovati dei lati e calcolo i tempi impiegati dai tre animali per percorrere il perimetro. I 3 tempi coincidono.
furbi eh! Sempre più che certi giovani d'oggi...
Al momento ho solo un barlume di idea. Ho escluso strade troppo complesse perchè non mi sembra che il quiz voglia andare in tale direzione e quindi mi sto concentrando su soluzioni abbordabili. Molto interessante.
grazie Guido e hai proprio ragione: è abbordabile facilmente come indicano i due asterischi...
C'è qualcosa che mi sfugge. Sto tentando la strada dei rapporti tra le velocità (e considero naturalmente che l'unità di misura sia la stessa per tutti i dati di velocità proposti) ma sto sbagliando qualcosa....
l'angolo ABC può essere calcolato se si conoscono le misure dei tre lati (teorema di Carnot del coseno).
L'enunciato dice che i tre amici animaletti si rincontrano contemporaneamente in A dopo aver percorso il perimetro del triangolo con le velocità date per ogni lato.
La misura dei lati è uguale per ciascun animaletto che li percorre ovvero il prodotto della velocità data per percorrere il lato ed il tempo necessario (incognito) è la misura del lato stesso e questo vale per i tre lati del triangolo.
Fin qui mi pare logico poi ....
Se questa è la strategia per la soluzione
Carnot è la prima cosa che viene in mente, ma già siamo troppo lontani dall'abbordabile da 2 asterischi, secondo me. Ci dev'essere una soluzione più immediata.
Più che le lunghezze dei lati in sè dovrebbero essere i rapporti tra esse a portare alla soluzione.