Il problemino sembra subito più difficile di quanto non sia in realtà. Basta ricordarsi che per determinare gli angoli di un triangolo è sufficiente conoscere le dimensioni relative dei lati (come dice Guido).

Ciò vuol dire che possiamo porre un lato qualsiasi uguale a 1 e determinate gli altri in relazione a questo.

Possiamo perciò ridurre il tutto a due sole incognite:

AB = 1

BC = x

CA = y

Ovviamente, il tempo t di percorrenza non è una vera incognita, dato che è uguale per tutti e tre i nostri amici. Possiamo perciò scrivere tre relazioni, ciascuna per ogni animale, ricordando che la velocità non è altro che uno spazio diviso un tempo e che quindi un tempo non è altro che uno spazio diviso per la velocità:

v = s/t

t = s/v

Chiamiamo t il tempo comune ai tre corridori:

t = 1/12 + x/10 + y/15                   cane

t = 1/15 + x/15 + y/10                   gatto

t = 1/10 + 1/20 + 1/12                  topo

il minimo comune multiplo tra 10, 12, 15  e 20 è 60, per cui le relazioni si trasformano in

60t = 5 + 6x + 4y

60t = 4 + 4x + 6y

60t = 6 + 3x + 5y

Uguagliandole tra loro si ottiene:

5 + 6x + 4y = 4 +4x + 6y

4 + 4x + 6y = 6 + 3x + 5y

Un banale sistema lineare di due equazioni in due incognite...

E' anche immediato semplificarle:

2y = 2x  + 1

y = - x + 2

Da cui (uguagliando y):

-2x + 4 = 2x + 1

4x = 3

x = BC = 3/4

e, di conseguenza:

y = CA = - 3/4 + 2 = 5/4

In conclusione:

AB =1, BC = 3/4, CA = 5/4

Possiamo tranquillamente moltiplicare ogni segmento per 4 (ciò che conta sono le dimensioni relative) e abbiamo:

AB = 4

BC = 3

CA = 5

Ovviamente noti i 3 lati basterebbe utilizzare il teorema di Carnot per determinare ogni angolo (caso generale), ma i tre amici sono molto svegli e si ricordano che se un triangolo ha i lati pari a 3, 4 e 5 esso deve essere un triangolo rettangolo con CA come ipotenusa e, di conseguenza, l'angolo opposto (ABC ) deve essere retto (bravo Arturo)! Pitagora insegna...

(3² + 4²)^1/2 = (9 + 16)^1/2 = (25)^1/2 = 5