Questo articolo è la continuazione della miniserie riguardante i paradossi insiemistici che trovate nell'archivio di matematica. Nel primo articolo abbiamo visto come la costruzione assiomatica di Zermelo-Fraenkel permette di invalidare il paradosso di Russel, e anche quello dell'insieme universale* (esistenza dell'insieme di tutte le cose). Lascia però degli interrogativi; se l' "insieme" di Russel e  l' "insieme universale" non sono insiemi, allora cosa sono?

*(in realtà quello dell'insieme universale non è un paradosso, ma una affermazione che porta  paradossi)

Un teoria assiomatica

Sarà evidente nel nostro discorso parlare di assiomi; ma cosa sono e perchè non dobbiamo spaventarci? Da una parte abbiamo degli argomenti, da all'altra delle definizioni in relazionie fra di essi . Possiamo semplicemente affermare, in base al buonsenso, se tali relazioni son vere o no,e  sotto quali condizioni. Stiamo in tal modo fondando una teoria assiomatica,  niente di strano. Non spaventiamoci dunque davanti a tale termine.

L'universo del discorso.

Stiamo parlando di assiomatizzazione  degli insiemi, quindi la parola "insieme" per adesso è bandita.

In qualche modo dobbiamo metterci un ambiente in cui lavorare. Pensiamo dunque ad un universo del discorso fatto di oggetti di cui non specifichiamo nemmeno la natura, se non per chiarire con qualche esempio. In esso intuitivamente consideriamo le classi; questo termine non è stato coniato a  caso. Pensiamo infatti all' universo V di tutte le persone; capiamo subito cosa si intende classe dei politici, classe degli operai , classe degli impiegati.

La soluzione di  NBG ( von Neumann, Bernays e Godel) al paradosso di Russel.

Vediamo ora un altro modo di procedere per  assiomatizzare gli insiemi, e nel contempo metterli al sicuro da eventuali paradossi.

Nell'articolo precedente, seguendo gli assiomi di Zermelo,  siamo riusciti a dimostrare che in pratica il famoso paradosso di Russel è dovuto ad una errata impostazione assiomatica degli insiemi.

In particolare abbiamo visto due cose: se chiamiamo R quella "cosa" definita da:

1.  , dove x varia fra insiemi, essa non è un insieme (secondo la teoria  ZF). Ma allora cos'è?
2. Non esiste l'insieme di tutte le cose. Ma allora l'universo V di tutte le cose cos'è?

Se allora R e V   non sono insiemi , cosa sono? Questo articolo vuole  rispondere proprio a questa questione. Vedremo che R e V   sono classi della teoria NGB, più precisamente classi proprie *.

(* mi sono azzardato a preannunciare una cosa strana; in V vedremo che ci sono le classi, e alcune delle quali saranno insiemi,  mentre le altre no; queste sono le classi proprie).

Parliamo un po' di classi. Fissato un universo del discorso, fatto di oggetti, e una certa proprietà P(x) (come quelle usate da Frege e poi da Zermelo),  si ha che P(a) definisce  una classe formata dagli oggetti a che soddisfano P(x). La indichiamo con X={x: P(x)}. Supponiamo di parlare di animali come universo del discorso; avremmo per esempio la classe dei gatti, che può  essere indicata con G={x : x è un gatto}.

Relazioni di appartenenza.

Scriveremo poi  per dire che a appartiene alla classe X, ovvero soddisfa P(a).   è una relazione fra classi.

Scriveremo invece  come abbreviazione di . in tal caso non vale ovviamente P(a).

Risulta poi  intuitivo affermare che due classi sono uguali se hanno gli stessi elementi. Da cui deriva l'assioma:

(questo assioma è necessario; potremmo infatti costruire la classe dei dadi pari, e la classe dei dadi di colore rosso, che sono proprietà differenti, ma per dire se sono uguali possiamo solo controllare se hanno gli stessi elementi,non possiamo farlo tramite le proprietà)

Assioma di estensionalità.

Due classi sono uguali se hanno gli stessi elementi (oggetti).

Vediamo qualche operazione sulle classi.

Date due classi X ed Y diciamo che X è inclusa in Y (o che X è una sottoclasse di Y ) se ogni elemento di X è un elemento di Y , ovvero:

  e scriviamo anche in modo abbreviato 

Da questa definizione deriva che X=Y se e solo se   e , tenendo presente l'assioma di estensionalità. Perchè?

Parliamo un po' più formalmente.

Abbiamo visto come, fissato un "universo del discorso", possiamo considerare gli oggetti e le classi di tale universo. Ad esempio se consideriamo l'universo degli animali, gli oggetti saranno i singoli animali, e le classi saranno classi di animali, ad esempio la classe dei gatti. Chiameremo  tale universo, fatto di oggetti e di classi. Parleremo ora di "proprietà" come sinomino di predicato. Esiste comunque una definizione molto precisa di proprietà nell'ambito della teoria NGB. Più o meno, per i nostri scopi, è quella definita nell' articolo precedente. Continuiamo allora con gli assiomi NGB.

Assioma  di astrazione. Data una proprietà P, esiste una classe i cui elementi sono gli oggetti x che verificano P. Tale classe è unica per l'assioma di estensionalità e usiamo la notazione X={x:P(x)}

quindi .

Esiste in effetti una perfetta corrispondenza tra classi e proprietà: notiamo infatti che possiamo definire una classe usando essa stessa per definire la proprietà. Infatti se A è una classe,  A={x: A}

Gli assiomi che abbiamo fino a qui dato presuppongono un universo del discorso V consistente di "oggetti". Senza sapere cosa sia  , possiamo definirlo  semplicemente come  ={x: x=x} in quanto chiaramente ogni oggetto è uguale a se stesso. V è quindi una classe. (E' fatta di oggetti ed è definita tramite un proprietà)

Nel seguito daremo altri  assiomi che stabiliranno sotto quali condizioni una classe X possa essere considerata
un oggetto (ovvero per quali  si abbia anche  ).

Parlando informalmente, qualsiasi cosa sia V , le sottoclassi di V sono in un certo senso di più degli elementi di V , e quindi non è possibile che ogni classe sia un oggetto  In definitiva risulterà che alcune classi sono oggetti (e verranno chiamate "insiemi"), ma altre no (e verranno chiamate "classi proprie").

Definizione di insieme.

Un insieme è una classe che è anche un oggetto, ovvero è uno degli elementi della classe universale V di tutti gli oggetti. Equivalentemente, visto che tutte le classi sono incluse in V , un insieme è una classe che appartiene ad almeno un'altra classe. Una classe propria è una classe che non è  un insieme.

Definizione. La classe di Russell è la classe , dove gli x sono oggetti di V.

Teorema. La classe di Russell non è  un insieme.

Sia , Per ogni oggetto  se e solo se . Se R fosse un oggetto potremmo prendere  a=R ottenendo . Assurdo.

Assioma (Assioma di comprensione). Una sottoclasse di un insieme è un insieme.

Teorema: (di Russel) La classe V di tutti gli oggetti non è un insieme (ovvero è una classe propria).
Dimostrazione. Ogni classe è inclusa in V , quindi se V fosse un insieme tutte le classi sarebbero insiemi, ma sappiamo che la classe R di Russell non lo è.

Alla fine del 1800 Gottlob Frege propose una assiomatizzazione della teoria degli insiemi che aveva come unici assiomi l'estensionalità e l'astrazione e in cui non esisteva distinzione tra insiemi e classi. In una famosa lettera del 1901 Bertrand Russell gli fece notare che la sua assiomatizzazione era contraddittoria.
La dimostrazione si basava sulla classe di Russell . Come abbiamo visto l'ipotesi che tale classe sia un insieme conduce ad un assurdo, pur rimanendo un classe all'interno di NGB, la classe di Russel appunto.

La nostra trattazione atta a mettere in luce la risoluzione del paradosso di Russel, finisce qui. Forse un giorno tratteremo tutte e due le teorie più a fondo. Per adesso,  vi prometto che proporrò una versione "geometrica" del paradosso di Russel risolvibile solo con l'impostazione delle classi  NGB.