Quiz: Oro, argento e ..rame! **,???,**?
Esiste una classe di affascinanti problemi , nell'ambito del piano o dello spazio, in cui i punti sono contraddistinti da determinate proprietà. Vedremo come questo quesito potrà servire per introdurre una importante classe di problemi di matematica discreta. Tanto per essere originali, assegneremo, ad ogni punto del piano, il metallo di cui è costituito. Diciamo che teoricamente il piano è quello Euclideo, e si estende indefinitamente in tutte le direzioni.Nella pratica, tale piano è realizzato con dei metalli nobili, quali oro, argento e rame.
In parole povere, ad ogni punto del piano è associato il metallo di cui è costituito. Attenzione; questo è un problema fondato su concetti matematici astratti ma ha niente a che vedere con la struttura della materia, o altre branchie della fisica microscopica. Possiamo cioè trovare punti di metallo infinitesimamente vicini. Non ha molta importanza dunque quali siano le proprietà che contraddistinguono i punti; l'importante è mettersi d'accordo su di esse. Ma veniamo dunque alla formulazione del quesito;
I punti in un piano di estensione infinita sono realizzati con tre metalli diversi, oro, argento e rame. Dimostrare che, per ogni distanza d assegnata , esistono sempre due punti dello stesso metallo a distanza d l' uno dall'altro.
Notiamo che non ha importanza quale sia il materiale; l'importante è che sia lo stesso per i due punti.
Mi permetto di dare un piccolo suggerimento di carattere generale; non c'è bisogno di calcoli astrusi, ma solo di qualche piccolo concetto di geometria Euclidea base, e tanto ragionamento logico di tipo "ad esclusione".
Dimenticavo; con molta pazienza in rete si possono trovare soluzioni a problemi analoghi, peraltro ben codificate, e quindi facilmente riconoscibili. Noi dobbiamo fare qualcosa in più di quello che hanno fatto gli altri, anche se questo sarà molto difficile. Vista la difficoltà e l'importanza del quesito, prendiamoci pure il tempo che vogliamo. Ogni tanto ve lo ricorderò.
27 commenti
i punti dei tre metalli sono messi a caso?
Si, senza alcuna logica
Caro Umberto, so bene che per un matematico quello che sto per dire è una grande sciocchezza, ma lasciami esprimere quello che per me è il significato di infinito.
Sul piano infinito, formato da minuscoli punti di metallo, ove i punti sono distribuiti senza alcuna logica predeterminata, immagino zone in cui la capricciosa disposizione dei punti in oro riproduce il testo di questo stesso quiz, e anche questo commento che sto scrivendo, con tutte le possibili variazioni di parole o di errori ortografici.
In una diversa zona ( infinita) del piano infinito, è scritta "la divina commedia", seguita da "ventimila leghe sotto i mari". Insomma un po' come la biblioteca di Borges, senza la limitazione delle 410 pagine di lunghezza per ciascun testo in essa contenuto.
Immagino anche altre aree del piano infinito, tra le infinite configurazioni possibili, in cui questi stessi testi sono raffigurati dalla disposizione di punti in argento (o in rame) , sullo sfondo di punti in oro, e altrove troveremmo ancora tutte le altre combinazioni possibili tra metallo del testo e metallo dello sfondo .
In altre zone del piano questa distribuzione dei punti di un certo metallo non da origine a immagini interpretabili come testo, ma eventualmente come figure o geometrie semplici, oppure complesse.
Tra queste geometrie non potranno mancare rette costituite unicamente da punti di uno stesso metallo, rette sulle quali la distanza tra due punti potrà essere qualsiasi, da una distanza minima, infinitesima (magari inferiore anche alla distanza di Planck), ad una distanza incommensurabilmente grande, ben oltre i risibili 15 miliardi di anni luce in cui è confinato l'universo, fino a giungere in territori remoti dove la luce non è ancora arrivata e chissà quando arriverà. E tutte le distanze intermedie tra questi punti sono possibili.
Ecco , in uno spazio bidimensionale infinito, tutto sembra inevitabilmente possibile, anche riuscire a trovare sempre due punti del medesimo metallo distanti "d" tra di loro, qualunque sia il valore di "d".
E' come se la dimostrazione di questa caratteristica fosse inevitabilmente implicita nella natura stessa della dimensione infinita del contesto.
Maurizio, il tuo commento è molto bello e molto poetico, ma ho delle considerazioni da fare su di esso. Innanzi tutto ho supposto infinito il piano dove accade il tutto per comodità di esposizione; si potrebbe riferirsi ad un piano finito con i dovuti rimaneggiamenti del testo del quiz (e questa è la cosa più strana). Secondariamente, non è che parlando di infiniti e divina commedia, tutto sia concesso (vedi http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/2017/10/06/paradosso-borel-parte-1/). Per non parlare, sempre nel campo degli insiemi infiniti , della non decidibilità della congettura "l'ipotesi del continuo", dovuta a Cantor. NB lì il problema non si cerca nemmeno di risolverlo, ma si dimostra che non è possibile farlo.
Un teorema non molto famoso, ci assicura poi che nel piano , nel campo delle proprietà puntuali come quelle del quiz , non sempre tutto è possibile, nemmeno a livelli molto più bassi come quelli del quesito. Lo scopo del seguente quiz serve proprio per introduzione a questo argomento. Ma bando alle chiacchiere , il quiz è qualcosa di molto più semplice di quanto si immagini, e la soluzione lavora molto di più a livello locale che a livello globale, e si basa su delle figure geometriche basilari per la loro simmetria.
Quando parliamo di distanze immutabili, due figure del piano che saltano all'occhio sono il cerchio e il triangolo equilatero. Ma perchè non il quadrato? Questa era la mia curiosità, se è cioè possibile riuscire in altro modo a risolvere il quesito. Per adesso consideriamo le prime due figure di cui abbiamo parlato e proviamo a giocherellare su di esse, facendo delle ipotesi sulla composizione (metallica) dei loro punti. Per esempio, se traccio un cerchio, posso cominciare a chiedermi di che natura siano i suoi punti (bronzo,argento o rame) e analizzare le possibilità che peraltro non sono tante.. e poi continuare su questa strada. Per adesso non dico altro, vi assicuro però che la dimostrazione è molto avvincente per sua semplicità.
Prima di leggere il commento in cui dici che i punti sono messi sul piano senza alcuna logica, avevo in effetti fatto qualche ragionamento sulla possibilità di riempire il piano con una figura regolare, in particolare il triangolo equilatero.
Ecco l'immagine che avevo abbozzato...
Il primo disegno mostra ai vertici del triangolo un punto giallo (oro) grigio (argento) e rosso (rame). Con triangoli come questo si può tassellare l'intero piano. I punti del medesimo metallo risultano a distanza minima costante (per tutti i metalli ), pari al doppio della lunghezza della altezza del triangolo equilatero.
Il secondo disegno mostra come questa distanza si riduce al valore della altezza del triangolo, se si dispongono punti "intermedi" sui lati: argento tra oro e rame, oro tra rame e argento e rame tra argento e oro.
Il procedimento di ripartizione dei triangoli può essere reiterato indefinitamente ottenendo distanze sempre più ridotte tra i punti dello stesso metallo. Procedendo in senso opposto nella tassellatura del piano, ossia costruendo triangoli "attorno a ciascun triangolo" anziché "dentro" di esso, si formano triangoli con lati sempre più grandi, quindi distanza tra i punti sempre maggiori.
Dato che il lato originale ha una misura arbitraria possiamo immaginare di generare distanze tra i punti a nostro piacimento.
Tuttavia questo modo di procedere, anche se avesse senso, non è affatto una disposizione casuale, senza alcuna logica, al contrario è una struttura che obbedisce ad una regola ben precisa.
Ma forse il tuo suggerimento andava in una direzione diversa.
Si, non sappiamo come sia costruito il piano. La soluzione passa comunque per la geometria euclidea.
Le due immagini relative al quiz sono state aggiornate. Contengono un piccolo suggerimento.
Purtroppo ho il computer in "ospedale" e posso utilizzare solo brevemente quello di mia figlia...
Devo, però, ammettere che forse non ho capito bene le basi del problema (a parte il fatto che si parla di due immagini, ma io ne vedo una sola...). Non vi è nessuna regola nel distribuire i punti nel piano, per cui potrei benissimo pensare che in una zona di raggio D>d vi sia un solo punto di oro al centro e solo punti di rame tutt'attorno. In questo caso potrei non avere due punti di oro o di argento a distanza d, ma sicuramente due punti di rame. Le condizioni peggiori sarebbero un punto di oro al centro e tutti punti di argento intorno, ma solo su un raggio minore di d. Poi circondati da punti di rame. Beh... si risolve lo stesso dato che tra due punti d'argento (che stanno su una circonferenza di raggio minore di d) esiste sempre una corda maggiore di d, che quindi permetta di arrivare alla distanza d tra due punti di argento. E se non basta ce ne deve essere uno al di fuori, altrimenti farebbe coppia con uno di rame o addirittura con quello d'oro.
In generale, penso (di brutto) che esiste sempre una circonferenza capace di produrre la distanza d tra due punti dello stesso minerale. Dovrei cercare di sistemare meglio le cose, ma ho bisogno di tempo e di PC...
Provo a mettere una figura...
Le condizioni peggiori sono: un punto di oro al centro circondato da un cerchio di rame. Se il raggio è d si risolve subito perché ci sono sempre due punti di rame che hanno distanza d. Oppure la stessa cosa cosa con diametro minore di d. I punti di rame sono fregati... ma al di fuori di loro ci devono essere almeno altri punti di oro o d'argento (altrimenti si risolve subito). Ma se ci sono punti di oro vi è una d tra il centro e uno di questi punti, oppure (e) vi sono due punti di argento a distanza d. Basta far passare un cerchio da un punto di argento e se non incontra niente si ritorna al caso precedente con il punto d'argento al centro...
Sicuramente si può migliorare, ma vado un po' di fretta... Dateci dentro
Parlavo di due immagini perchè una è in evidenza, l'altra all'interno dell'articolo. In realtà è una sola.
Il modo do procedere è proprio questo: usare proprietà di cerchio e corde, e le alternative (se un punto non è di bronzo, allora o è rame o oro ecc.); io ho usato anche i triangoli equilateri. Non so se senza di essi si possa risolvere comunque. Sono molto contento che tu abbia rotto il ghiaccio, nel vero senso della parola.
ti ringrazio Umberto... se riesco cerco di mettere a posto il quadro generale, ma spero che qualcun altro approfitti e vada a fondo...
Ok grazie a te
Vedendo che la soluzione tarda, provo a dire la mia (sperando di non sbagliare).
Scusate ma nella figura ho chiamata R,B e V i tre metalli (rosso, blu e verde )
Senza perdere di generalità, pongo R al centro di un cerchio di raggio d. I punti della sua circonferenza possono essere solo B o V. In particolare, se considero l'esagono iscritto, devo avere i vertici B e V alternati come in Fig. 1
FIGURA 1
A questo punto traccio i cerchi di raggio d tangenti esternamente al cerchio di base, nei punti V e B in alto (Fig. 2)
FIGURA 2
I due nuovi cerchi non possono avere entrambi i centri R, dato che il loro punto di tangenza dovrebbe essere o V o B, ma in entrambi i casi farebbe coppia con distanza d.
Proviamo a metterne uno R e l'altro V (senza perdere di generalità), in Fig. 3
FIGURA 3
La faccenda non può andare. Il punto tangenza deve essere B e fa ancora coppia.
Non ci rimane che mettere i due centri B e V (Fig. 4), disegnando il cerchio che passa per V,B e R, di raggio d. Il suo centro C non può essere né B, né V né R, perché farebbe sempre coppia!
FIGURA 4
Senza perdere in generalità abbiamo dimostrato che qualsiasi sia la combinazione plausibile si ottiene sempre una coppia di pari colore a distanza reciproca d.
Che ne dici Umberto? Ho dimenticato qualcosa?
Vedo adesso. A me sembra bene ma devo rileggerlo più a fondo.
Adesso ci sono. Mancherebbe da spiegare per chi non lo sa che quelle due corde sui due cerchi tangenti sono uguali al raggio. Questa è una soluzione alternativa che cercavo. Complimenti
In realtà, non ho spiegato molto bene. Il d' iniziale non è quello che vogliamo. Tuttavia ci permette di dire che dato un certo d' otteniamo alla fine il risultato per la d che vogliamo (tra d' e d vi è una differenza misurabile).
Mi spiego ancora meglio (acci alla fretta...). La prima parte serve per trovare un triangolo equilatero che abbia i tre vertici di colore diverso. Poco importa il lato. Posso poi sempre zoomare in avanti o indietro il triangolo (che si ottiene per qualsiasi valori del lato) in modo che le distanze dal baricentro ai vertici sia proprio il d voluto.
O sbaglio?
Non so. La prima parte va bene come inizio. Se il discorso dei cerchi tangenti e della corda anche, il discorso filerebbe
Mettiamola così, il procedimento è diviso in due parti,
Prima parte: trovare un triangolo equilatero che abbia i tre vertici di colore diverso. Il suo lato deve essere un certo kd (con k tale che d sia la distanza tra baricentro e vertici). Operazione piuttosto semplice come riportato.
Seconda parte (quasi immediata); se esiste un triangolo di questo genere deve esistere per forza una distanza d tra una coppia di colori, dato che le distanze tra il baricentro e i tre vertici devono per forza portare a questo caso. Questa è una diretta conseguenza della prima parte.
Ovviamente il fattore k lo conosco fin dall'inizio e vale per tutti i triangoli equilateri, essendo il rapporto tra lato e distanza tra baricentro e vertici.
Ne segue che se tu mi dici che d deve essere 5, io farò in modo di costruire un triangolo equilatero di lato k5. Qualsiasi sia il lato la costruzione si effettua sempre nello stesso modo...
La faccenda è estremamente più semplice ancora e non necessitano cerchi.
Il procedimento è il seguente:
Tu mi chiedi di dimostrare che esistono sempre due colori uguali che stiano alla distanza d.
Se tu mi permettessi di dire: "Basta costruire un triangolo equilatero con i tre vertici di colore diverso che abbia come lato L = d√3", il discorso sarebbe concluso. Infatti, se esistesse un tale triangolo, il suo baricentro C avrebbe pari distanza d dai tre vertici e quindi dovrebbe sempre esistere una coppia di colori uguali a distanza d.
Se tu, invece, mi dicessi: "Dimostrami che esiste un triangolo equilatero con i tre vertici di colore diverso", a me basterebbe costruire questo triangolo imponendo che due colori uguali non siano a distanza L. Cosa che posso sempre fare allo scopo di trovare il triangolo cercato.
A questo punto ricado nella situazione iniziale.
afferro un po' a fatica i tuoi ragionamenti. Certamente per questo non posso dire che non siano validi. il fatto è che ho sempre in mente la soluzione che fa riferimento ad disegno che ho suggerito.
Comunque ti ringrazio .
Se si potesse dire che esiste sempre un triangolo equilatero con tre vertici di colore diverso la soluzione sarebbe immediata, dato che il baricentro soddisfa la tua domanda.
Ho solo cercato , se ce ne fosse bisogno, che si può sempre costruire un triangolo equilatero con tre vertici di colore diverso e di lato qualsiasi... tutto lì!
Quello di cui non sono ancora certo e proprio questo:
, a me basterebbe costruire questo triangolo imponendo che due colori uguali non siano a distanza L.
Non riesco a capire perché sia sempre possibile.
Adesso mi sembra che tu sia molto vicino alla soluzione alternativa. Ma mi servirebbe la costruzione passo passo del triangolo equilatero con i tre vertici diversi. Sperando non sia banale.
Si può costruire cercando che non ci sia nessuna coppia che stia a distanza L. In tal modo si costruisce proprio un triangolo con i tre vertici diversi. Un triangolo che puoi sempre costruire per qualsiasi distanza L.
Il procedimento è quello della prima parte, Scelto un punto R a distanza L può esserci solo un blu o un verde. Scelgo blu. Ne segue che l'altro vertice deve essere verde... tutto lì. Se fosse blu o rosso avremmo una coppia di uguale colore a distanza L.
Leggo adesso. Ok. Forse ti chiederò di scriverla in modo compatto per metterla nella soluzione. Se non riesco io.
Grazie