Un problema che ci avvicina  al numero di Nepero (o di Eulero) "e" e che, inoltre, ci permette di richiamare lo studio di una funzione, i limiti e le derivate, nonché un po' di logaritmi naturali.

Come si può notare facilmente, facendo un po' di esempi, la faccenda è tutt'altro che immediata. A volte è maggiore A^B, a volte è maggiore B^A. Tutto quello che si può fare è cercare di trovare una regola che permetta di dare la risposta senza calcolare ogni volta i due valori e, soprattutto, che sia descrivibile con una sola funzione.

Cerchiamo, perciò, la funzione che ci appare più maneggevole e trattabile. Per fare questo dobbiamo ricordarci le proprietà delle disuguaglianze e, in particolare, di quelle che utilizzano numeri reali positivi. La più importante, per noi, è quella che dice: "Elevando alla stessa potenza reale e positiva "m" i due membri della diseguaglianza, il suo segno NON CAMBIA". In parole matematiche

se

a ≥< b

anche

a^m ≥< b^m

Applichiamola al nostro caso, ad esempio dicendo che:

se

A^B > B^A

allora vale anche:

(A^B)^m > (B^A)^m

che si può anche scrivere (proprietà delle potenze):

A^Bm > B^Am

Che ne dite di scegliere

m = 1/AB ?

Ottima idea, infatti si ha:

A^B/AB > B^A/AB

A^1/A > B^1/B

Ogni membro è adesso diventato funzione di una sola variabile, ma il segno di diseguaglianza non è certo cambiato, per cui possiamo dire che se

A^B≥<B^A

allora vale anche:

A^1/A≥<B^1/B

La funzione da studiare è perciò

y = x^1/x                 per ogni suo valore positivo.

Disegnata lei è immediato ricavare il risultato della diseguaglianza confrontando le ordinate delle due ascisse A e B  e stabilire un andamento generale. In poche parole, se vogliamo che sia, ad esempio, A^B > B^A basta guardare quale ascissa tra A e B comporta l'ordinata maggiore e quello sarà il valore di A.

Descriviamo allora la nostra curva, trovandone le caratteristiche essenziali. Innanzitutto, vediamo cosa fa per x che tende a infinito.

lim _x→ ∞ x ^1/x

Appare subito che il risultato appartiene alle forme indeterminate e, in particolare, a quella ∞⁰

Nessun problema... ricordiamoci il significato di logaritmo naturale (ln) di x. Esso è quel numero a cui bisogna elevare il numero e per ottenere proprio x. Ossia, possiamo scrivere:

x = e ^{ln x}

Usiamo la stessa  trasformazione per x^1/x ... ricordando però che

ln x^1/x = (1/x) ln x = (ln x)/x

x^1/x = e ^{(ln x)/x}

per cui

lim _x→ ∞ x ^1/x = lim _x→ ∞e ^{(ln x)/x} = e^∞/∞

Abbiamo ancora una forma indeterminata, che, però si risolve applicando la regola di l'Hospital (a parte che basterebbe sapere che x è un infinito di ordine maggiore di ln x). Deriviamo numeratore e denominatore di ln x/x e otteniamo 1/x, che per x che tende a infinito vale 1/∞ ossia 0. Ne segue che

lim _x→ ∞e ^{(ln x)/x}  = e⁰ = 1

La nostra funzione ha, perciò, un asintoto orizzontale ed esso vale y = 1.

Vediamo ora se ha dei massimi o dei minimi. Per fare questo dobbiamo ricavare la derivata prima e uguagliarla a 0.

Anche in questo caso conviene calcolare la derivata utilizzando la formula

y = e ^{(ln x)/x}

E' una funzione di funzione, per cui abbiamo (la derivata di e^z è sempre e^z):

y' = e ^{(ln x)/x} (d/dx((ln x)/x)) = e ^{(ln x)/x} (x/x - ln x · 1)/x²

Sostituiamo nuovamente e ^{(ln x)/x} con la funzione iniziale x ^1/x e otteniamo:

y' = - (x^1/x/x²) (ln x - 1) = 0

y' = - x^{(1/x - 2 )}(ln x - 1) = 0

Il valore, maggiore di 0, che annulla la derivata si ottiene ovviamente per

ln x - 1 = 0

ln x = 1

x = e          (ricordiamo ancora che il logaritmo naturale di x è quel numero a cui dobbiamo elevare e per ottenere x , ossia  e^{(ln x )}= e¹ = e)

Questo è facile dimostrare che è un massimo, dato che rappresenta il valore più alto della y.

Possiamo tracciare la nostra curva nella figura che segue, ricordando che

y = x^1/x calcolata nel punto 0 vale 0, infatti:

y = 0^1/0 = 0^∞ = 0      (0^∞  NON è una forma indeterminata, dato che moltiplicando infinite volte zero per se stesso il risultato rimane sempre zero!)

Come si può sintetizzare la situazione per mezzo della funzione appena studiata e rappresentata? Possiamo riassumerla come segue (la linea verde corrisponde all'ascissa e):

Per valori di A e B inferiori al numero e chi domina è sempre la base. In altre parole, è sempre maggiore la potenza che ha la base maggiore : A^B > B^A se A > B

Per valori di A e B maggiori del numero e chi domina è invece l'esponente, ossia è maggiore la potenza che ha la base minore: A^B > B^A se A < B.

Se A è più piccolo di 1 e B è maggiore di 1, allora sicuramente è maggiore la potenza con A all'esponente.

Negli altri casi si eleva  il numero all'inverso di se stesso e quello che dà il risultato maggiore deve essere inserito come base della potenza maggiore.

Infine, se uno dei due numeri è proprio e, la potenza maggiore è sicuramente quella che ha lui come base. Il che ci permette di rispondere subito a casi particolarmente interessanti, come : "E' maggiore e^π o π^e ?"

Ovviamente, tracciando una linea orizzontale, che intersechi in due punti la curva, si hanno subito due potenze uguali (sempre che la retta sia del tipo y>1).

Ridendo e scherzando abbiamo fatto un bel ripasso di studio di funzioni, di esponenziali, di limiti e derivate... Vi sembra poco?

Il quiz lo trovate QUI