Con questo articolo torniamo a uno degli scopi base del nostro Circolo: quello di rendere comprensibili a tutti coloro che hanno la volontà di conoscere, le meraviglie dell'Universo e, di conseguenza, della fisica e del suo linguaggio (la matematica). Tratteremo in modo elementare le equazioni differenziali, cardine di tutta la ricerca scientifica, non solo astronomica. Inizieremo dalle più semplici, quelle che hanno un riscontro immediato nella realtà di tutti i giorni, e poi, un po' alla volta e valutando la vostra risposta, allargheremo sempre più il discorso.

Ci sarebbero centinaia di modi per parlare delle equazioni differenziali che, storicamente,  sono state introdotte, attraverso il calcolo infinitesimale, da Leibniz e Newton nel diciassettesimo secolo. Se andiamo, ad esempio, su Wikipedia troviamo una loro definizione che è sicuramente corretta, ma che fa subito saltare alla fase operativa in cui le cose si complicano immediatamente dal punto di vista sia concettuale che pratico:

In analisi matematica un'equazione differenziale è un'equazione che lega una funzione incognita alle sue derivate: se la funzione è di una sola variabile e l'equazione presenta soltanto derivate ordinarie viene detta equazione differenziale ordinaria; se, invece, la funzione è a più variabili e l'equazione contiene derivate parziali della funzione stessa è detta equazione alle derivate parziali.

Parliamoci chiaro: per chi conosce bene l'analisi matematica, questa definizione è estremamente banale e più che sufficiente per capire lo scopo e le possibili applicazioni, ma non credo lo sia altrettanto per chi ha imparato la matematica in modo molto elementare, spingendosi magari fino alle derivate e agli integrali con molta leggerezza. Noi abbiamo cercato di farlo nel corso di matematica elementare, in modo abbastanza accurato e semplificato, raggiungendo lo scopo di riuscire a studiare una funzione, anche abbastanza complessa. Abbiamo affrontato le derivate in quanto esse ci hanno permesso di avere una rappresentazione generale della funzione che si sta studiando senza ricavarla pedestremente punto per punto. Giocoforza abbiamo anche imparato a conoscere e a capire quanto sia più complicata l'operazione inversa della derivata, ossia l'integrale. Per questa operazione, infatti, non esistono regole così precise e sempre uguali come per la derivata, ma spesso bisogna inventarsi trucchi o accettare - senza piangere troppo- che non si è in grado di ottenere il risultato (almeno per adesso). Un esempio classico è, ad esempio, il moto dei tre corpi.

Noi, però, preferiamo, con queste conoscenze acquisite, affrontare l'argomento in modo un po' diverso e usufruibile da tutti (almeno lo speriamo) dandogli una giustificazione concreta, basata su una netta differenza tra matematica e fisica e sul loro legame strettissimo. Un articolo, quindi, che meriterebbe un solo asterisco se il corso di matematica fosse stato digerito nella sua interezza, ma a cui diamo due asterischi, tenendo conto che qualche ricordo si sia sbiadito e necessiti di una rinfrescata.

Le equazioni

In matematica esistono le equazioni e le conosciamo molto bene. Normalmente (nel caso più banale) abbiamo una certa incognita x che  è inserita dentro un certa espressione che, se trattata in modo conveniente, permette di ricavare il valore numerico della x.

Facciamo un esempio banalissimo, ma più che significativo:

x + 3 = 5

Questa è un'equazione di primo grado in cui la variabile è la x. E' una semplice equazione che porta a un solo valore dell'incognita x. Possiamo anche tentare un  esempio pratico che comporti l'equazione precedente.

Quante mele devo aggiungere alle tre mele che ho sul tavolo per ottenere un totale di cinque mele?

Bene, da un punto di vista puramente matematico basta portare 3 nel secondo membro dell'equazione e fare la differenza tra il totale desiderato (5) e il numero di mele che sono già in mio possesso (3). L'equazione diventa:

x = 5 - 3 = 2

Bene, l'equazione è stata risolta in modo puramente matematico e abbiamo ottenuto, come era del tutto prevedibile, che avremmo bisogno di altre 2 mele.

Abbiamo usato la matematica per risolvere un caso molto pratico e potremmo fare mille esempi anche molto più complessi. Vi ricordate, ad esempio, le celebri vasche da bagno con l'immancabile buco da cui fuoriusciva una certa quantità di acqua? Nessuno ha mai pensato di chiamare un idraulico e fare aggiustare il buco, cosicché la vasca si è trascinata con la sua imperfezione molto fastidiosa per anni e anni, dando la possibilità di scrivere una bella equazione per sapere se si riusciva o no a lavarsi completamente: la matematica al servizio dei bisogni e delle richieste dell'uomo, come linguaggio sintetico per ottenere una soluzione senza andare per tentativi o cambiare la vasca da bagno.

Le leggi fisiche

La Natura, però, non è solo fatta di vasche da bagno troppo vecchie e malandate, ma segue delle regole ben più generali che possiamo definire come leggi fisiche. Leggi generali che possiamo imparare a conoscere e anche cercare di utilizzare a nostro vantaggio. Tuttavia, non possiamo certo cambiarle se non inserendo complicazioni che solo apparentemente possono dare l'impressione di averle modificate. Prendiamo, ad esempio, la testa di Newton (vecchia fakenew ormai entrata nei libri di storia). La mela si è staccata in quanto matura (legge biologica) e ha seguito una legge fisica: la caduta dei corpi per effetto della gravità terrestre. La testa di Newton ha "interrotto" lo svolgimento di questa legge fisica e ne ha impostata un'altra, quella di azione e reazione, come evidenziata dal bernoccolo apparso sulla testa del grande scienziato. Notiamo come una legge di pura dinamica si possa trasformare in una legge biologica che abbisogni, a seconda del peso della mela, anche di cure mediche

Le leggi fisiche possono essere molto più complesse e articolate e, per essere espresse nel modo più sintetico e generale possibile, si cerca di trasformarle in relazioni matematiche, che,  conoscendo la quasi totalità  dei parametri in gioco, possono permettere di ricavare quello incognito, ossia diventare proprio delle equazioni.

La prima legge della dinamica

Avendo parlato di Newton e di mele, prendiamo proprio la sua prima legge della dinamica (che, in realtà, era già stata espressa dal nostro Galileo). Essa dice che ciascun corpo persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme, salvo che sia costretto a mutare quello stato da forze applicate ad esso. Per iniziare proprio da zero e dall'esempio delle mele fatto precedentemente, immaginiamo che il corpo sia fermo. Esso deve, perciò, continuare a restare fermo se niente lo viene a disturbare. Ricordiamo che questo fatto indica una generale "pigrizia" dei copri che noi chiamiamo solitamente inerzia.  Qual è l'equazione che andremo a scrivere, chiamando x la posizione del corpo in un certo sistema di riferimento (a una sola dimensione)? Presto detto:

x = costante.

O, se preferite, scegliendo il sistema che più ci conviene:

x = 2

Che siano poi metri, centimetri, chilometri, poco importa nel nostro caso.

Guardando bene questa banale scrittura, essa  ci dice proprio che se niente interviene a disturbare la nostra mela, essa rimane nella sua posizione in eterno.

L'equazione è talmente semplice che è già di per se stessa il risultato!

La seconda parte della prima legge comporta già un problema in più...

Essa parla di moto uniforme e per esprimere le condizioni di moto uniforme è necessario fare entrare in ballo un'altra grandezza fisica: la velocità. Fortunatamente, una velocità uniforme può essere espressa come un semplice rapporto tra lo spazio percorso e il tempo necessario a percorrerlo. Se abbiamo a disposizione un orologio, possiamo tranquillamente scrivere un'equazione leggermente più complicata:

v = costante = 2 (metri al secondo o km/h o quello che vogliamo)

v = x/t = 2

x/t = 2

x = 2 t                 .... (1)

Misurando t con l'orologio (ad esempio vale un secondo o un'ora o quello che vogliamo), possiamo ottenere il valore dell'incognita x (ossia lo spazio percorso in un secondo)

x = 2 · 1 = 2 metri o chilometri o quello che avevamo scelto come unità di misura.

Ancora una volta ci è bastata una banalissima equazione per risolvere il problema, misurando il tempo impiegato a percorrere lo spazio che volevamo conoscere.

Nel frattempo, abbiamo anche scritto una vera funzione, ossia abbiamo sintetizzato in linguaggio matematico come lo spazio sia legato al tempo. Una funzione elementare che non è altro che l'equazione di una retta che abbia x come incognita e il tempo t come variabile (x = f(t))

Tuttavia, teniamo presente che vi era un altro dato molto importante nell'equazione che abbiamo scritto, ossia la costanza della velocità, che ci ha permesso di trattarla come un semplice rapporto tra numeri finiti e ben misurabili.

Immaginiamo, invece, che la velocità non sia uniforme, ossia che essa vari col tempo. La faccenda si complica enormemente dato che non possiamo più trattarla come un semplice rapporto. Ad esempio se il nostro corpo continuasse ad andare sempre più veloce il risultato dello spazio percorso x in un certo intervallo di tempo unitario varierebbe in funzione del momento nel quale effettuiamo la misura. Ad esempio, dopo un secondo la velocità  potrebbe valere 5, ma dopo due secondi potrebbe valere 10. Sapere quanto vale x vorrebbe dire, perciò, anche sapere a quale momento ci riferiamo o -meglio ancora- a quale intervallo di tempo di riferiamo: tra 1 secondo e 2 secondi dopo l'inizio o tra 4 e 5 secondi dopo l'inizio? Tuttavia, la faccenda non è nemmeno così semplice, perché se potessi dire che tra un secondo e due secondi la velocità è data dal rapporto tra spazio x e tempo t, potrei nuovamente scrivere un'equazione come quella precedente (a velocità costante). Purtroppo non posso farlo se non commettendo un gravissimo errore di approssimazione. Non dobbiamo infatti dimenticare che la velocità cambia continuamente. Per piccolo che si prenda l'intervallo di tempo il valore dello spazio percorso non può essere dato dalla banale moltiplicazione di un numero costante (la velocità) per il tempo trascorso, dato che la velocità è in continuo cambiamento con una certa legge che non conosciamo.

In altre parole (che già abbiamo imparato a conoscere nel corso di matematica), v non è più un rapporto tra numeri grandi a piacere, ma è il rapporto tra due intervalli estremamente piccoli, tendenti a zero: proprio gli infinitesimi di Newton e Leibniz. Possiamo permetterci di chiamarla con il suo vero nome: la velocità è la derivata dello spazio rispetto al tempo e la possiamo scrivere proprio come rapporto di intervalli tendenti a zero, ossia:

v = dx/dt

Questa è la sua veste più generale e più corretta. Lo è anche nel caso in cui risulti uniforme. Proviamo, infatti, a scrivere la nostra equazione risolvente nel caso generale:

v(t) = dx/dt

Un'equazione che non può certo essere risolta, dato che non sappiamo come varia la v rispetto al tempo.

Ammettiamo, nuovamente, che essa sia costante, ossia che il moto sia uniforme. In tal caso abbiamo v(t) = costante, ad esempio v₀. L'equazione diventa:

dx/dt = v₀

Questa, benché sia la stessa che abbiamo già risolto con un semplice rapporto e con un'equazione normale, è diventata un'equazione differenziale, dato che l'incognita x non compare direttamente, ma sotto forma della sua variazione rispetto al tempo, ossia della sua derivata prima rispetto al tempo.

Cosa dovremmo fare per risolvere la nostra equazione differenziale? Eseguire il processo inverso della derivata, ossia l'integrale. Beh... in questo caso non vi sono certo problemi:

∫((dx/dt)dt)  = ∫(v_o dt)

Ma l'integrale della derivata di x è proprio la variabile x (prendo x, ne faccio la derivata e poi torno indietro, ritrovando ovviamente x).

v_o è invece una costante e la posso portare fuori dall'integrale che quindi diventa:

vo∫1 · dt = v₀ t + c

Ricordiamoci che nell'integrazione dobbiamo sempre portarci dietro una costante, dato che l'integrale è definito a meno di una costante (non è una sola funzione, ma tutta una famiglia di  funzioni "primitive" che differiscono di una costante. Infatti derivando nuovamente tutta la famiglia otterremmo una sola funzione, dato che la derivata di una costante è zero).

Otteniamo:

x = v₀ t + c

Imponendo che al tempo t = 0, la posizione sia proprio x = 0, si ricava la costante c:

0 = 0 + c

c = 0

L'equazione differenziale ci regala il valore della incognita x attraverso un'equazione che è ormai diventata del tutto normale:

x = v₀ t,

dove se v₀ = 2, ricadiamo esattamente nella (1)

Ridendo e scherzando, abbiamo risolto la nostra prima equazione differenziale, ricadendo in un'equazione normale che può essere definita (vale la pena ricordarlo) come un'uguaglianza tra due espressioni contenenti una o più variabili dette incognite. (tra parentesi il nome equazione, da "aequatio" latina, sembra che sia dovuta proprio al nostro vecchio amico Fibonacci (QUI e QUI)).

Anche se abbiamo appena cominciato, direi che possiamo fermarci qui e dare il tempo necessario per digerire bene il concetto essenziale che ormai dovremmo avere fatto nostro. Non siamo ancora in grado di affrontare le equazioni differenziali che appaiono negli articoli sui modelli (SI o SIS o SIR che siano), ma quantomeno iniziano già a spaventarci un po' meno.

Lo riassumiamo:

Nelle leggi fisiche non è assolutamente detto che l'incognita x sia espressa in modo diretto. Può darsi benissimo che essa compaia anche attraverso le sue derivate. In tal caso l'equazione di fibonacciana memoria diventa un'equazione differenziale, che deve essere risolta attraverso una o più operazioni di integrazione (l'inverso della derivazione) per ricondurre il tutto a un'equazione pura e semplice, dove compaia solo l'incognita in modo più o meno complicato che sia.

E' altrettanto semplice capire che una volta ottenuta l'equazione risolvente avremo in mano una incognita x in funzione di una certa variabile (spesso e volentieri il tempo, ma potrebbe essere qualsiasi altra cosa). Fissata la variabile si ottiene immediatamente l'incognita, ma può essere molto utile studiare come varia l'incognita in funzione della variabile ed eccoci allora alla necessità di studiare la funzione che le lega (in generale noi lo abbiamo fatto prendendo come incognita la y e facendo variare la x). In quel caso (studio di funzione) è facile che sia necessario fare il lavoro inverso, ossia utilizzare le derivate della funzione per capire le variazioni istantanee della nostra curva. Insomma, tutto è legato strettamente assieme e, in generale, potremmo crearci un nostro piccolo schema:

equazione differenziale (legge fisica) --> equazione (espressione matematica (funzione) con un'incognita e una variabile) --> studio della funzione, ossia studio anche grafico di una legge fisica che ci permette di trovare un certa incognita in funzione della variabile.

Nell'esempio riportato oggi, lo schema si traduce in:

La prima legge di Newton (legge fisica) si scrive come equazione differenziale che si trasforma in equazione attraverso l'integrazione. A questo punto abbiamo una incognita in funzione di una variabile (spazio in funzione del tempo) e possiamo studiare tale funzione in modo anche grafico (una retta passante per l'origine degli assi) e calcolare il valore di x per ogni valore della variabile t. Tutto ciò perché la velocità è una grandezza costante ossia è uniforme (moto rettilineo uniforme).

La prossima volta, faremo un passetto in più e affronteremo nientepopodimeno che la seconda legge della dinamica!

 

Le tre leggi delle dinamica (insieme a molto altro) le trovate QUIà

 

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