Questo è il terzo articolo della serie "Ponti sospesi, catenarie, parabole & co."

 

In questa sezione vogliamo dimostrare come le funzioni iperboliche possano anche essere definite attraverso la partecipazione attiva del numero e. Nel contempo vogliamo anche mostrare la relazione che esiste tra funzioni trigonometriche classiche e le funzioni iperboliche. Per fare ciò è fondamentale utilizzare la formula di Eulero, proprio quella che ha portato, come caso particolare, alla sua celeberrima identità, di cui abbiamo già parlato.

Per attuare questa dimostrazione dovremo entrare nel campo dei numeri complessi e, in particolare, fare uso di i, l'unità immaginaria. Non abbiate, comunque, alcuna paura. Tutto ciò che ci servirà sarà soltanto l'identità:

i = √(-1)

e il suo quadrato

i² = - 1

Eulero aiutaci tu ...

Nel capitolo precedente abbiamo visto come le funzioni trigonometriche classiche possano essere estremamente simili, come definizione, a quelle iperboliche. Tuttavia, adesso vogliamo vedere se esiste una vera relazione tra loro. Dimostreremo che la relazione esiste, ma  che essa si esprime solo nel mondo "misterioso" dei numeri complessi.

Partiamo dalla formula di Eulero, che lega gli esponenziali con le funzioni trigonometriche classiche:

e^iθ = cos θ + i sen θ                ....  (3)

Scriviamola anche per un valore negativo di θ

e^-iθ = cos(- θ) + i sen(- θ)

e^-iθ = cos θ - i sen θ                .... (4)                   (ricordando le funzioni trigonometriche di angoli negativi)

La (3) e la (4) possono essere considerate un sistema di due equazioni in due incognite (cos θ e sen θ), che si può risolvere facilmente addizionandole e sottraendole

e^iθ + e^-iθ= cos θ + i sen θ  + cos θ - i sen θ  = 2 cos θ

cos θ = (e^iθ + e^-iθ)/2             .... (5)

e^iθ - e^-iθ= cos θ + i sen θ  - cos θ + i sen θ  = 2 i sen θ

sen θ = (e^iθ - e^-iθ)/2i             .... (6)

La (5) e la (6) hanno la parte sinistra appartenente al campo reale, mentre la parte destra appartenente al campo complesso. Cerchiamo di ottenere  il contrario...

Spostiamo i compless...ati!

Consideriamo, allora, θ come numero complesso e lo scriviamo:

θ = it

Andiamo a sostituire nella (5)

cos it = (e^{i (it)} )+ e^{-i (it)})/2

Adesso, facciamo molta attenzione:

i · i = i²  = -1

-i · i  = - (i · i) = - i² = - ( -1) = 1

Per cui otteniamo:

cos it = (e^-t + e^t)/2  = (e^t + e^-t)/2           .... (7)

Per il coseno tutto è andato liscio. Passiamo al seno:

sen it = (e^{i (it)} ) - e^{-i (it)})/2i

Segue:

sen it = (e^-t - e^t)/2i

i termini del secondo membro vanno un po' aggiustati...

sen it = - (e^t - e^-t)/2i

- i sen it = (e^t - e^-t)/2                    .... (8)

Anche in questo caso siamo riusciti a portare tutto l'immaginario al primo membro, lasciando al secondo solo la parte reale.

L'iperbole aspetta i nuovi inquilini

Poniamo, adesso:

x = cos it = (e^t + e^-t)/2   

y = - i sen it = (e^t - e^-t)/2   

Vogliamo provare a inserire queste due "coordinate" all'interno dell'equazione dell'iperbole equilatera unitaria? Dovessero soddisfarla avremmo ottenuto un risultato non da poco... dato che sappiamo dal capitolo precedente cosa siano x e y (proprio le funzioni iperboliche!).

Forza e coraggio...

x² - y² = 1

(e^t + e^-t)²/4 -  (e^t - e^-t)²/4  = 1 

Ricordando il solito arcinoto prodotto notevole: a² - b² = (a - b)(a + b), possiamo scrivere:

(e^t + e^-t  - e^t ₊ e^-t)(e^t + e^-t + e^t - e^-t)/4 = 1

2e^t · 2 e^-t/4 = 1

e^{(t - t)} = 1

e⁰ = 1

Due piccioni con una fava

Avendo ottenuto un'identità possiamo proprio dire che la x e la y soddisfano l'equazione dell'iperbole.

Ne segue che

x = cos ht =  cos it = (e^t + e^-t)/2

y = sen ht = - i sen it =  (e^t - e^-t)/2  

Abbiamo ottenuto un DOPPIO risultato:

1. Abbiamo trovato il legame "complesso"  che esiste tra funzioni trigonometriche classiche e funzioni trigonometriche iperboliche

cos ht =  cos it

sen ht = - i sen it

2. Abbiamo trovato una nuova definizione delle funzioni trigonometriche iperboliche in funzione dell'esponenziale

cos ht =   (e^t + e^-t)/2 

sen ht =  (e^t - e^-t)/2  

Beh... un bel colpaccio, non vi sembra?