Ecco la soluzione del quiz sulle uova buttate dal grattacielo. Una soluzione volutamente molto lunga per rendere chiari  i vari approcci, anche attraverso esempi concreti. Umberto ha dato, ovviamente, il risultato esatto, ma ha anche   sviluppato un software che trova il risultato analizzando tutte le combinazioni, confermando il numero di lanci trovato come il minimo possibile. Lo pubblicherà nella seconda parte della soluzione

Le nostre due uova devono essere usate molto bene. Certamente non risolveremmo molto se cominciassimo col primo uovo dal primo piano. Lo lanceremmo finché non si rompe. Avremmo risolto il problema, ma non avremmo utilizzato assolutamente il secondo uovo e, nel caso più sfortunato, dovremmo comunque fare cento lanci. No, le due uova devono entrare in gioco tutte e due, ma svolgere compiti diversi. Chiamiamole, perciò, con nomi diversi: il primo uovo è l'ESPLORATORE, il secondo il RIFINITORE. Per non portarci dietro tutto il nome, chiamiamo il primo E e il secondo R.

Cosa potrebbe fare l'uovo E? Farsi, ad esempio, buttare giù dal piano 50 (a metà strada). Si aprono due possibilità: o si rompe o non si rompe. Se si rompe, siamo costretti a usare l'uovo R, ma questa volta lo facciamo partire dal primo piano e SIAMO sicuri che si romperà sicuramente prima di arrivare al piano 50 o al limite si romperà proprio al piano 50. Abbiamo ridotto il nostro numero di lanci a 49. Il caso peggiore sarebbe comunque il piano 50 come PIANO CRITICO, e all'uovo R basterebbero 49 lanci (più il lancio dell'uovo E). Il cinquantesimo sarebbe inutile perché è già stato "esplorato" dal primo uovo. La seconda possibilità è che l'uovo E non si rompa al piano 50. Bene! Abbiamo ancora due uova. a disposizione! Possiamo a far salire l'uovo E di dieci piani e provare a lanciarsi dal piano 60. Si ripresentano le due possibilità di prima: o si rompe oppure no. Se si rompe, entra in ballo l'uovo R che inizia a lanciarsi dal piano 51 (il 50 è già stato superato brillantemente) ed è sicuro di trovare il Piano Critico entro 9 lanci. Nel caso peggiore, infatti, il piano critico sarebbe proprio il 60 e quindi l'uovo R dovrebbe lanciarsi dal 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 e 59. Nel caso peggiore dovrebbe quindi eseguire 9 lanci. Quanti lanci avremmo effettuato in totale?

2 lanci dell'uovo E

9 lanci del uovo R

Magnifico, un totale di soli 9 + 2 = 11 lanci...

Sì, sì, tutto molto bello, ma è una strategia che ci ha sicuramente insegnato qualcosa, ma dobbiamo ricordarci che se l'uovo S si fosse rotto al cinquantesimo piano, avremmo dovuto lanciare 49 volte l'uovo R, nel caso peggiore.

1 lancio dell'uovo E

49 lanci dell'uovo R

Purtroppo, un totale di 50 lanci

E questo è il NUMERO che conta, quello relativo al caso peggiore. Il record, in questo caso e con questa strategia, sarebbe un enorme 50.

Sicuramente si può fare molto meglio!

Saliamo con calma

La strategia precedente, malgrado abbia combinato ben poco, ci ha insegnato due cose: (1) avere due uova vuol dire, male che vada, dimezzare il numero di lanci rispetto all'uovo singolo; (2) l'uovo E potrebbe non andare subito al piano 50, ma prendere le cose con più calma...

Di venti in venti ?

Proviamo a lanciare E dal piano 2o e poi , se non si rompe, farlo salire di altri 20... e via dicendo.

La faccenda cambia completamente.

E si rompe al ventesimo piano

R deve effettuare nel peggiore dei casi 19 lanci

totale dei lanci 20

E non si rompe al ventesimo piano, ma si rompe al piano 40.

R non deve più cominciare dal primo piano, ma può iniziare tranquillamente dal piano 21 e nel peggiore dei casi deve arrivare fino al piano 39, ossia effettuare 19 lanci, come prima.

Attenzione però! Il totale dei lanci non è più 20, bensì 19 + 2 =21, dato che l'uovo E ha dovuto eseguire 2 lanci. La faccenda puzza un po'...

Usiamo un piccolo schema per capire come andrà a finire...

l'uovo E si rompe al piano 20   (1 lancio)            l'uovo R non si rompe mai (19 lanci)    totale lanci : 1 + 19 = 20

l'uovo E si rompe al piano 40   (2 lanci)              l'uovo R non si rompe mai (19 lanci)    totale lanci : 2 + 19 = 21

l'uovo E si rompe al piano 60   (3 lanci)              l'uovo R non si rompe mai (19 lanci)    totale lanci : 3 + 19 = 22

l'uovo E si rompe al piano 80   (4 lanci)              l'uovo R non si rompe mai (19 lanci)    totale lanci : 4 + 19 = 23

l'uovo E si rompe al piano 100   (5 lanci)             l'uovo R non si rompe mai (19 lanci)    totale lanci : 5 + 19 = 24

Ovviamente, per come è stata scelta la strategia il secondo uovo (R), nel peggiore dei casi, non si rompe mai, ed è costretto a lanciarsi sempre lo stesso numero di volte. In poche parole, deve rifinire un intervallo che rimane costante. Purtroppo, però, i suoi lanci sono costanti, ma non quelli dell'uovo E che ogni volta ne fa uno in più.

In parole povere, il numero di lanci per essere sicuri di determinare il Piano Critico, nel peggiore dei casi (piano critico = 100), è  risultato di 24 lanci. Un bel salto qualitativo ma si può fare ancora meglio di sicuro.

Proviamo a scrivere una piccola formuletta, che ci servirà in seguito: se E si rompe al piano n deve fare 1 lancio. L'uovo R deve fare n - 1 lanci. Poi E passa al piano 2n  (due lanci) e l'uovo R deve fare sempre n-1 lanci. Il numero di lanci segue perciò la tabella simbolica

Piano       lanci E             lanci  R

n                1                    n - 1

2n              2                   n - 1

...........

100         100/n              n - 1

Ovviamente il massimo numero di lanci per l'uovo E è quando arriva al centesimo piano, mentre il numero di lanci di R è costante. Da ciò segue che il caso peggiore sarà sempre quello relativo alla rottura nel piano più alto.

Il massimo numero di lanci N (relativo al caso peggiore) sarà dato dalla somma dei lanci di E e di R

N = 100/n + (n - 1)

dove n è il piano di partenza  ed è anche l'intervallo tra un piano e l'altro dell'uovo E.

Proviamo a cambiare n tra i divisori di 100 (ossia facendo in modo che l'ultimo lancio di E sia proprio il piano 100).

n = 2

N = 50 + 1 = 51

n= 5

N = 20 + 4 = 24

n= 10

N = 10 + 9 = 19

n = 20

N = 5 + 19 = 24

n = 50

N = 2 + 49 = 51

Beh... abbiamo ottenuto qualcosa di interessante: l'intervallo migliore per ridurre il numero di lanci nel caso peggiore è risultato essere uguale a 10. In altre parole, il primo lancio  di E lo facciamo al piano 10, poi al 20, al 30, ecc. fino al 100. Nel caso peggiore si hanno 19 lanci (10 con l'uovo E e 9 con l'uovo R).

Qualcuno potrebbe dire: "E se scegliessimo un intervallo che non è un divisore di 100 ?" Non cambierebbe niente, dato che sicuramente ridurremmo il numero di lanci dell'ultima parte, ma non il numero di lanci del caso peggiore.

Proviamo, ad esempio, con n = 9 e n = 11

piano         lanci E             lanci R

9                   1                        8

18                 2                        8

27                 3                        8

36                 4                        8

45                 5                         8

54                 6                         8

63                 7                         8

72                 8                         8

81                 9                         8

90              10                         8

 99             11                        8

100              12                        0

Il caso peggiore è  quello in cui al piano 99 l'uovo non si rompe ancora e si deve comunque arrivare a 19 lanci. In altre parole, se il Piano Critico fosse proprio il 100 nulla cambierebbe. Infatti,  lanciando E al piano 100, dopo il 99 otterrei  un netto miglioramento nei lanci: 12 lanci con l'uovo E e nessuno con l'uovo R... ma questo non sarebbe più il caso peggiore. Il minimo numero di lanci nel caso peggiore sarebbe ancora di 19 lanci.

Non cambia nemmeno con 11...

piano        lanci E        lanci R

11                 1                10

22                2                10

33                3                10

44                4                10

55                 5                10

66                 6               10

77                 7                10

88                8                10

99               9              10

100              10               o

La formuletta di prima, funzionerebbe comunque... infatti:

N = 100/9 + 8 = 19.1

N = 100/11 + 10 = 19.1

Senza fare troppi conti, avremmo potuto studiare la funzione N(n) e trovarne il minimo...

dN/dn = - 100/n² + 1 = 0

N deve essere diverso da zero e posso scrivere :

-100 + n² = 0

n² = 100

n = 10

L'intervallo, per avere il minimo numero di lanci nel caso peggiore, viene proprio 10 e il numero N di lanci è proprio 19.

Possiamo anche fare il grafico della funzione N(n)... una curva niente male (ed è solo il ramo positivo)

GRAFICO

Riassumiamo un po' quello che abbiamo trovato finora:

usando l'uovo E ogni n piani abbiamo visto che le condizioni peggiori si hanno quando il piano critico si trova molto in alto. Ciò deriva dal fatto che l'uovo R viene sempre usato n-1 volte, mentre l'uovo E aumenta il numero dei suoi lanci.

Abbiamo anche visto che il valore di n più favorevole per minimizzare il numero di lanci nel caso peggiore è uguale a 10, dando luogo a 19 lanci.

Tuttavia, questa strategia , come appena detto, sfavorisce i piani più alti. Dobbiamo cercare di rendere più uniforme la situazione.

Partiamo più in alto

Ad esempio, potremmo iniziare a lanciare E da un piano m e poi andare avanti con l'intervallo n. In questo modo potremmo cercare di aumentare, fino a un certo valore prestabilito,  il numero di lanci necessari al piano inferiore, sperando in tal modo di limitare anche i lanci dai piani più alti. Partiremmo fin da subito più in alto, per poi cercare di non superare il valore del piano inferiore.

Facciamo un esempio che vale sicuramente più di tante parole.

Lo scopo è quello di ottenere meno di 19 lanci. Facciamo allora in modo che questa situazione si abbia proprio all'inizio. Iniziamo perciò al piano 18 e poi saliamo di dieci in dieci. vediamo cosa succede:

Piano             lanci E              lanci R          N

18                   1                       17                18

28                    2                          9                 11

38                    3                          9                 12

48                    4                          9                 13

58                    5                           9                 14

68                    6                           9                 15

78                    7                           9                 16

88                    8                           9                  17

98                  9                          9                18

100                10                           1                  11

Ci siamo riusciti! Il risultato peggiore è un numero di 18 lanci che si può ottenere sia se l'uovo E si rompe al piano 18, sia se E si rompe soltanto al piano 98. Beh... un piccolo passo in avanti.

E' inutile provare con un piano di partenza più basso di 18, dato che avremmo sempre come caso peggiore quello del lancio più alto di E. Il numero totale resterebbe di 18 lanci nel caso peggiore. Qualsiasi piano si scelga come piano di partenza compreso tra 11 e 18 avremmo sempre lo stesso risultato... Facciamo pure la prova con 11:

Piano             lanci E              lanci R        N

11                   1                         10                 11

21                  2                           9                 11

31                  3                           9                 12

41                  4                           9                 13

51                  5                           9                 14

61                  6                           9                 15

71                  7                            9                 16

81                  8                           9                  17

91                9                         9                 18

100              10                           8                 18

e con 17 ...

Piano             lanci E              lanci R           N

17                    1                         16                  17

27                   2                           9                  11

37                   3                           9                  12

47                   4                           9                  13

57                   5                           9                  14

67                  6                           9                  15

77                   7                           9                  16

87                  8                            9                 17

97                 9                          9               18

100               10                          2                 12

E', ovviamente, inutile provare con un intervallo maggiore o minore di 10, dato che avremmo sicuramente un valore superiore per quanto dimostrato precedentemente.

Con un po' di fatica siamo riusciti a scendere a un numero di lanci pari a 18. E' veramente il meglio che si può ottenere? Basterebbe chiedere a un bambino e saprebbe darci subito la risposta... Soprattutto se quel bambino si chiamasse Gauss!

Qual è, infatti, il vero problema che continuiamo a portarci dietro nei nostri calcoli? la variabilità del numero di lanci per ciascun intervallo. La soluzione migliore sarebbe quella di ottenere sempre lo stesso numero di lanci. E come sci i può riuscire? Beh... basta non conservare l'intervallo del lancio dell'uovo E. In tal modo, mentre sale il numero di lanci dell'uovo E. diminuirebbe il numero di lanci necessario a R.

Un bambino precoce

Torniamo al bambino... lui cosa aveva fatto quando il maestro gli aveva chiesto di sommare tutti i numeri da 1 a 100? Aveva scritto queste semplici relazioni (anzi l'aveva fatto a mente):

1       +     2  +    3  +  4  + 5  + ........  + 97 + 98 +  99 + 100

100  +  99  +  98  + .....................   +     4 +   3 +    2 +      1

Si era accorto che 100 + 1 = 99 + 2= 98 +3 = ..... = 100 +1 = 101

Le due somme dovevano dare lo stesso risultato, perciò la loro somma doveva essere il doppio di quanto richiesto dal maestro. Ma sommando i membri corrispondenti delle due somme il risultato valeva sempre 101. Bastava allora moltiplicare 101 per il numero di termini delle somme (ossia 100) per avere proprio il doppio di quanto richiesto. Ma 101 per 100 vale 10100 e quindi il risultato è la metà, ossia 5050.

Detto in termini più generali, nel caso del nostro grattacielo, la somma dei primi n numeri vale n+1 = 101 moltiplicato per n = 100 diviso per 2, ossia:

N = n (n+1)/2

Cosa vogliamo fare nel nostro grattacielo? Beh... qualcosa di simile: vogliamo che la somma dei lanci eseguiti con E e quelli eseguiti con R rimanga sempre la stessa. Al primo lancio di E devono corrispondere n-1 lanci di R. Al secondo lancio di E ne devono corrispondere n - 2 lanci di R e così via.

Infatti:

1 + n -1 = 2 + n - 2 = n

Piano         lanci di E         lanci di R                N

n                          1                     n - 1                    n

n + (n-1)            2                     n - 2                    n

n + (n-2)            3                     n - 3                    n

n  + (n -3)          4                     n - 4                    n

.......

In questo modo la somma dei lanci rimane sempre uguale a n. Imponiamo adesso un dato essenziale: il grattacielo ha 100 piani, per cui il valore finale della prima colonna non può essere più piccolo di 100 (ossia del numero dei piani).

Facciamo subito la prova con n = 12

Piano         lanci di E         lanci di R         N

12                   1                       11                    12

23                  2                       10                   12

33                  3                         9                   12

42                  4                         8                   12

50                  5                         7                   12

57                  6                          6                   12

63                  7                         5                   12

68                  8                        4                    12

72                  9                         3                    12

75                 10                        2                    12

77                 11                        1                     12

78               12                      0                   12

79                 13                        0                    13

............

  100           22                      0                  22

Cosa è successo?  Arrivati al piano 78 non possiamo più accorciare l'intervallo dato che ormai vale 0. Siamo perciò costretti ad andare avanti un piano alla volta. Anche se il piano critico fosse il 79 avrei già peggiorato il risultato, avendo lanciato 13 volte l'uovo E. Ma se il piano critico fosse ancora più in alto, supererei velocemente il 18 che avevo stabilito mantenendo costante il numero di lanci dell'uovo R.

L'alternativa sarebbe superare abbondantemente il numero dei piani del grattacielo. proviamo, ad esempio, partendo da 20 ...

20     1        19    20

39     2        18    20

ci fermiamo subito perché abbiamo subito notato che il numero di lanci  che rimane costante è già superiore a 18...

Beh... è inutile andare per tentativi. Abbiamo fatto due esempi, ma bastava dire che la prima colonna può arrivare a un valore maggiore di 100, ma questo valore deve anche essere il minimo valore maggiore di 100.

In poche parole, dobbiamo risolvere la diseguaglianza:

n + (n - 1) + (n - 2) + (n - 3) +    .....  + 1  ≥ 100                   .... (1)

n sarà il numero del piano di partenza e sarà anche il numero di lanci più piccolo nel peggiore dei casi.

Come risolvere quest'equazione ?  Ecco saltare fuori il nostro bambino prodigio. La somma dei primi n numeri è esattamente uguale alla somma dei numeri da n a 1 e vale  n(n-1)/2

Quindi nella (1) al posto della  somma inseriamo il risultato di Gauss

n (n + 1)/2 ≥ 100                          .... (2)

Consideriamo solo il segno uguale e se il risultato non sarà un numero intero, prenderemo quello immediatamente superiore.

n²/2 +n/2 - 100 = n2 + n - 200 = 0

n = (- 1 +/- √( 1 + 800))/2 = 13.65      (abbiamo preso il segno + davanti alla radice quadrata)

Il che vuol dire che il nostro numero n, uguale al piano da cui iniziare i lanci e anche uguale al minimo numero  di lanci  necessari nel peggiore dei casi, deve essere 14.

Verifichiamo...

piano          lanci E               lanci R          N

         14                 1                 13            14

         27                 2                12            14

         39                3                 11            14

         50                4                10            14

         60               5                   9            14

         69               6                    8           14

         77                7                    7           14

         84               8                    6           14

         90               9                    5           14

         95             10                    4           14

         99              11                    3           14

100              12                     0            12

La somma che ha dato il risultato appare nella prima colonna:

n + (n-1) + (n-2) + (n-3) + ..... + 1

14 + 13 + 12 + 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 105

14 · 15 /2 = 105

Forse qualcuno potrebbe dire: "Ma perché siamo dovuti andare fino a 105?". Attenzione! Non importa se si oltrepassa il 100, l'importante è che n sia il numero che risolva l'equazione e sia il più piccolo intero che supera il 100. Noi ci fermiamo comunque al piano 100.

Cosa è successo in pratica: abbiamo lanciato l'uovo E e, in qualsiasi piano si sia rotto, abbiamo utilizzato l'uovo R per determinare il Piano Critico sempre e soltanto con 14 lanci totali tra E e R. Se l'uovo E non si fosse rotto nemmeno al 99, sarebbe bastato lanciarlo dal piano 100 e avere la risposta definitiva. Tuttavia, il numero più alto di lanci sarebbe rimasto, nel caso peggiore, sempre 14. Valore questo che sarebbe, comunque, il minimo raggiungibile, dato che le altre strategie hanno portato a valori sempre più alti.

Se provassimo con 13, cadremmo nel caso di 12. Si arriverebbe, infatti, fino a 91 e poi saremmo costretti a salire di uno in uno fino all'ultimo piano (caso peggiore). E' vero che il numero di lanci sarebbe sempre uguale a 13, ma soltanto fino a 92. Poi incomincerebbe a salire fino a 13 + 8 = 21. E questo sarebbe il numero di lanci necessari nel peggiore dei casi.

Insomma, teniamoci caro il nostro numero 14 e un caro saluto a Gauss che ci ha permesso di scrivere l'equazione (2).

P.S.1.: la soluzione poteva essere data in modo più sbrigativo e senza tanti esempi praticamente inutili, ma spero che trattata in modo così sovrabbondante possa essere stata del tutto comprensibile al maggior numero di persone. Questo è sempre uno dei nostri scopi principali: non cercare il metodo più professionale, ma quello più adatto a una larga divulgazione. L'importante non è essere stringati, ma essere esaurienti, ovviamente senza  commettere errori!

P.S.2.: Nessuna accusa a chi ha preferito farsi le sue uova al tegamino!