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LA DISUGUAGLIANZA DI BELL
Stato entangled di una coppia di fotoni

La disuguaglianza di Bell alla quale vogliamo arrivare riguarda un grandezza ricavabile da misure su particolari coppie di fotoni. Partiamo direttamente dalla configurazione con la quale possono essere fatte queste misure.

Figura 4.1

La sorgente emette coppie di fotoni. I due fotoni della coppia sono normalmente emessi in versi opposti. Ciascuno di questi fotoni incontra un apparato di misura fatto da un cristallo polarizzatore ed dai relativi contatori, come nella configurazione del precedente articolo.

L’elemento nuovo è un contatore di coincidenze che ci permette di mettere a confronto i risultati delle misure sul fotone di destra con quelli ottenuti sul fotone di sinistra. Questo contatore registra una coincidenza se i fotoni delle stessa coppia sono rivelati dai contatori marcati nello stesso modo (A a destra e A a sinistra o B B). Invece registra una discordanza se sono rivelati da contatori marcati in modo diverso (A B o B A).

Una grandezza che ci dà una sintesi dei risultati registrati è il loro valore medio. Per calcolare il valore medio però occorrono dei risultati numerici. Li otteniamo assegnando alla coincidenza il valore +1 e alla discordanza il valore -1. La media di questi risultati, che identifichiamo con E, è normalmente denominata coefficiente di correlazione.

Abbiamo l’obiettivo di calcolare il valore di E applicando la MQ nella interpretazione standard quando la coppia di fotoni è emessa dalla sorgente in un particolare stato detto entangled, aggrovigliato.

Prima di procedere, ripropongo l’ultima tabella dell’articolo precedente per ricordare il procedimento per il singolo fotone. Procedimento che dovremo impiegare nuovamente. Tabella 4.1

Partiamo con il caso più semplice di due fotoni indipendenti l’uno dall’altro. Come situazione non è molto interessante, ma utile per capire il caso più complesso dei fotoni non indipendenti, entangled.

Potremmo trattare separatamente i due fotoni nello stesso modo dello scorso articolo proprio perché sono indipendenti. Invece cerchiamo di seguire l’evoluzione dello stato della coppia di fotoni. Così ci prepariamo per il caso dei fotoni entangled dove saremo obbligati a trattare la stato della coppia perché non esiste uno stato dei singoli fotoni.

Lo stato della coppia di fotoni indipendenti deve essere composto di due parti che non si influenzano tra loro, altrimenti non sarebbero indipendenti. Semplicemente, otteniamo lo stato della coppia di fotoni indipendenti affiancando gli stati di polarizzazione dei due fotoni.

Quello che ho chiamato “affiancamento” dei due stati è un particolare tipo di prodotto. Lo abbiamo già incontrato nel precedente articolo quando lo abbiamo usato per includere nello stato del fotone lo stato di polarizzazione e lo stato relativo alla posizione. Ripeto anche qui che non si tratta del prodotto scalare, che produce un numero. Non è neanche il prodotto vettoriale che spesso si incontra in fisica. Questo prodotto è chiamato prodotto diretto. Il risultato di questo prodotto è ancora una entità trattabile come vettore. Però, non è di quelli rappresentabili con una freccia. Non mi avventuro oltre a dire cosa è questo prodotto. Il testo di MQ che ho citato in un precedente articolo che ci rassicurava sulle operazioni con i vettori, nel capitolo dedicato a questo tipo di prodotto è molto meno rassicurante. Termina il capitolo dicendo che non c'è una semplice analogia con i vettori elementari e raccomanda di rileggere il capitolo una seconda volta . Queste le cattive notizie. La buona notizia è che, in questo articolo, possiamo comunque trattare questo prodotto con le regole algebriche che conosciamo. Dobbiamo fare solo attenzione al fatto che i due vettori che compongono il prodotto sono due entità diverse tra loro. Una rappresentazione grafica che può illustrare, almeno parzialmente, il risultato del prodotto penso sia proprio l’affiancamento delle rappresentazioni dei due vettori. Tabella 4.2 C'è da notare che i due vettori sono su piani differenti, sono due mondi diversi. Le basi con i quali scomporli sono quindi differenti, un base specifica per ciascuno dei piani. Non posso scomporre il vettore di destra nella base di quello di sinistra e viceversa. Comunque non facciamo troppo affidamento su questa immagine. Vedremo più avanti il perché.

Vediamo un caso particolare nel quale i due fotoni della coppia hanno la stessa polarizzazione. Scelgo questo particolare stato perché sarà una parte delle stato entangled che dovremo trattare più avanti.

Seguendo lo schema riportato sopra, dobbiamo espandere lo stato dei due fotoni secondo le basi definite dal cristallo che il fotone incontrerà. In questo caso abbiamo due fotoni e due apparati di misura. Per non confonderli uso simboli di colore diverso per i due lati ed aggiungo nei simboli all'interno dei ket il prefisso d per distinguere i ket del fotone di destra o il prefisso s per quelli del fotone di sinistra.

Tabella 4.3

Nella prima riga c'è il vettore di stato della coppia ottenuto dal prodotto dei vettori di stato dei due fotoni indipendenti. Nelle righe successive ci sono le espansioni di questi due ultimi vettori di stato che abbiamo già incontrato nel precedente articolo.

Ora applichiamo a questo stato la stessa procedura vista per il fotone singolo. Supponiamo che sia il fotone di destra ad incontrare per primo l’apparato di misura. Il risultato non cambierebbe se fosse quello a sinistra. Seguo la solita procedura per il fotone di destra, mentre lo stato del fotone di sinistra rimane invariato. Poi segue la stessa procedura per il fotone di sinistra.

Tabella 4.4

La prima misura effettuata sul fotone di destra non ha effetto sullo stato del fotone remoto, quello di sinistra, che mantiene invariato il suo stato. Nella rappresentazione dello stato, ciò si deve al fatto che i due vettori di stato relativi ai due possibili risultati, |d, μ⟩ e |d, μ+90°⟩, sono entrambi moltiplicati per lo stesso stato del fotone di sinistra |s, α⟩.

Il risultato della seconda misura è calcolabile nello stesso modo di quello della prima, questa volta a partire dallo stato del fotone di sinistra. Alla fine abbiamo 4 possibili combinazioni delle quali possiamo calcolare la probabilità.

Ora possiamo passare a vedere cosa succede ad una coppia di fotoni in uno stato entangled. Intanto cerchiamo di capire cosa è uno stato entangled.

Nel caso precedente abbiamo visto una particolare coppie di fotoni in due stati non entangled. I due fotoni sono indipendenti. L’indipendenza dei due fotoni si manifesta nella forma dello stato della coppia. Lo stato è composto da due fattori. Ciascun fattore contiene lo stato di uno solo dei due fotoni.

Tabella 4.5

Non è sempre evidente che la stato è composto dai due fattori. L'espansione dei due vettori può avere mescolato le carte. Se espando lo stato della tabella sopra ottengo questa espressione. Tabella 4.6

Il comportamento di coppie di fotoni con stati fattorizzati o fattorizzabili non differisce da quello dei due fotoni visti singolarmente. La misura effettuata su uno dei fotoni non modifica lo stato dell’altro fotone. Ciascun fotone ha una sua propria polarizzazione.

Il significato fisico di quest'ultima proprietà è che possiamo trovare sia a destra che a sinistra delle posizioni del cristallo nelle quali il 100% dei fotoni vengono rivelati da uno solo dei due contatori del lato. Prendiamo ad esempio il caso visto sopra.

Tabella 4.7

Queste proprietà sono legate alla fattorizzabilità dello stato. Però non tutti gli stati sono fattorizzabili. Vediamone uno non fattorizzabile.

L’interpretazione standard stabilisce che se una certa entità, nel nostro caso la coppia di fotoni, può essere in due o più stati allora è possibile anche uno stato sovrapposto dei due o più stati. Abbiamo già incontrato questa regola e l'espressione degli stati sovrapposti.

Qui sotto vediamo come si può ottenere lo stato sovrapposto non fattorizzabile che ci interessa. Uno degli stati che lo compongono è quello che abbiamo usato sopra. A questo si aggiunge uno stato con gli angoli di polarizzazione dei due fotoni ruotati di 90°

Tabella 4.8

Per convincerci che questo è uno stato non fattorizzabile proviamo a scriverlo in una base diversa.

Tabella 4.9

Lo stato rimane sovrapposto qualunque base venga adottata. In appendice ci sono i passaggi. Quell'angolo α che appare nella espressione di partenza non ha nulla di speciale, la forma dell'espressione rimane invariata qualsiasi sia l'angolo che scegliamo.

Così abbiamo la conferma che questo stato non permette di separare in due distinti fattori le proprietà dei due fotoni in qualsiasi base scegliamo di esprimerli.

La conseguenza è che si perdono le due caratteristiche che abbiamo visto sopra. I fotoni non sono più indipendenti e non hanno una polarizzazione definita.

Questo stato non fattorizzabile non è rappresentabile con i due piani affiancati visti sopra. Si possano rappresentare i due stati fattorizzabili che lo compongono, ma non lo stato non fattorizzabile.

Il fatto notevole è che si possono realizzare sorgenti che emettono coppie di fotoni di questo tipo. Proviamo a vedere cosa accade se la sorgente nella configurazione di prova della prima figura emettesse coppie di fotoni in questo stato. Procediamo seguendo i passi che abbiamo fatto negli esempi precedenti.

Come al solito la prima operazione da fare è quella di scomporre il vettore di stato nella base definita dal primo cristallo incontrato da uno dei fotoni. Supponiamo che sia quello di destra. Se fosse quello di sinistra comunque non cambierebbe il risultato.

Per quanto abbiamo visto sopra questa scomposizione ce l'abbiamo pronta. Qualsiasi sia l'inclinazione μ del cristallo di destra la forma dello stato è sempre la stessa.

La stato così scomposto ci permette di calcolare le probabilità di ciascuno dei risultati della misura a partire dal valore dei coefficienti delle componenti del vettore.

Seguiamo questo processo per lo stato entangled che abbiamo visto sopra.

Tabella 4.10

Mi fermo qui, dopo la prima misura, perché è qui che avviene qualcosa di interessante. Quello che Einstein chiamò "spukhafte Fernwirkung", “inquietante azione a distanza”.

La misura sul fotone a destra ha cambiato lo stato della copia di fotoni. Che in MQ una misura cambi lo stato dell’entità misurata credo ormai sia acquisto. Ma qui sembra accedere qualcosa di più. L’effetto del cambiamento dello stato riguarda non solo il fotone di destra, quello misurato. Riguarda anche il fotone di sinistra, nonostante sia distante e non sia passato per alcun apparato di misura.

I due esiti possibili della misura portano entrambi ad uno stato separabile, non più entangled. A questo punto anche il fotone di sinistra ha un sua polarizzazione definita. Questa polarizzazione è la stessa che ha assunto l’altro fotone, diversa a secondo dell’esito della misura sull’altro fotone. Quindi lo stato che assume il fotone non misurato dipende da cosa è accaduto al fotone distante. È questa l'inquietante azione a distanza. Inquietante perché secondo l’interpretazione standard avviene istantaneamente, indipendentemente dalla distanza dei due fotoni che potrebbero essere anche molto lontani. Istantaneamente perché lo stato iniziale è della coppia di fotoni, quindi il cambiamento è contemporaneo per i due fotoni. Se si “sgroviglia” lo stato si liberano entrambe i fotoni.

L’effetto di questo cambiamento di stato lo possiamo vedere proseguendo con la misura sul fotone di sinistra.

Tabella 4.11

Dopo la prima misura, lo stato entangled si è “sciolto”. Quindi la misura sul fotone di sinistra è uguale alle misure che abbiamo visto in precedenza per i fotoni singoli o in stati separabili.

La grafica è differente perché deve tenere conto che, in questo caso, il fotone si può presentare con due diverse polarizzazioni a secondo dell’esito della prima misura. L'espansione dello stato |s, μ⟩ ha la forma che abbiamo incontrato più volte. L'espansione di uno stato del tipo |s, μ+90°⟩ è descritta in appendice nella tabella 4A.1.

I risultati descritti nella figura precedente sono alquanto strani, per diversi aspetti.

Li esamineremo la prossima volta per ricavare il valore previsto dalla interpretazione standard per la grandezza oggetto della disuguaglianza di Bell.

Qui analizziamo solo un caso particolare spesso citato. Il caso è quello con i due apparati di misura posizionati nello stesso modo.

Tabella 4.12

Gli esiti possibili della seconda misura, in questo caso possono produrre solo due combinazioni. Le due combinazioni sono entrambe coincidenze dei risultati. Se l’esito della prima misura è stato A, anche il risultato della seconda misura sarà A. Lo stesso vale per l’esito B. Questo è dovuto al fatto che dopo la prima misura il fotone a sinistra ha preso la stessa polarizzazione con la quale è stato trovato il fotone di destra.

Da notare che questi risultati dipendono dalla posizione reciproca del primo cristallo e del secondo cristallo. La tecnologia permette di stabilire queste posizioni poco prima delle misure. Questo assicura che lo stato iniziale della coppia di fotoni non può essersi adattato alla particolare misura effettuata e che l’informazione del tipo e dell’esito della prima misura non può arrivare al secondo fotone prima che raggiunga il suo apparato di misura.

APPENDICE

Cambio della base dello vettore di stato entangled

Prepariamo due espansioni di vettori che utilizzeremo.

Tabella 4A.1

Ora passiamo al cambiamento di base dello stato entangled.

Tabella 4A.2

Per ora è tutto, arrivederci alla prossima.

Fabrizio Panaioli 2020