Categorie: Matematica
Tags: numeri interi numeri naturali quiz scatole
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:14
Aggiungi un numero nella scatola */.../********....
Il nostro Umberto ci ha già deliziato con i teoremi di Ramsey... Io voglio proporvi qualcosa all'apparenza molto più semplice che può diventare un intrigante passatempo e che, in qualche modo, richiama proprio i numeri multicolori, pur agendo in bianco e nero...
Questo passatempo è per tutti, a partire dai bambini delle elementari per finire a... boh? non lo sappiamo!
Limitiamoci ai casi più semplici.
Una scatola
Immaginiamo di avere una sola scatola e di volere inserire al suo interno i numeri naturali a partire da uno fino a quando si potrà. Esiste, infatti una legge che blocca l'introduzione di un nuovo numero nella scatola: il nuovo numero NON può essere la somma di una coppia di numeri già all'interno della scatola. Ad esempio, se dentro la scatola abbiamo già introdotto il 3 e il 4 non possiamo più inserire il 7, dato che 3 + 4 = 7.
Il caso più facile e rapido di tutti è proprio quello relativo a una sola scatola. Si fa molto in fretta a terminare la sequenza dei numeri ammessi.
Inseriamo 1, poi inseriamo 2, ma NON possiamo inserire 3 (2 + 1 = 3). Il gioco è già finito!
Due scatole
Aumentiamo il numero di possibilità per ogni nuovo numero, partendo fin dall'inizio con due scatole. Nella prima possiamo tranquillamente mettere 1 e 2; il 3, invece, lo dobbiamo mettere nella seconda scatola. Il 4 può essere messo in entrambe, ma attenzione al 5... La sua possibilità di essere usato dipende da dove abbiamo messo il 4. Se è stato messo nella prima il 5 non trova posto in quella scatola (4 + 1 = 5) ed è obbligatorio metterlo nella seconda, insieme al 3. E via dicendo... Mi fermo per non togliervi il piacere di provare da soli.
Vi accorgerete che con due scatole si può arrivare a un numero un po' più alto del 3, ma non di molto... Un problema, comunque, per bambini un po' svegli... niente di complicato. Aggiungiamo fin dall'inizio altre scatole...
Tre scatole
Quattro scatole
Cinque scatole
Sei scatole ?
Per ogni caso vogliamo sapere qual è il numero più alto raggiungibile.
Essendoci più di una soluzione potete scriverla come sequenza del numero della scatola usato. Ad esempio:
1123327
vuole dire che 1 è stato messo nella prima
2 nella prima
3 nella seconda
4 e 5 nella terza
6 nella seconda
7 nella seconda e via dicendo...
Forza, ce n'è per tutti i livelli...
QUI la soluzione
14 commenti
La prima distribuzione che mi viene istintiva fornisce questi risultati.
Scatole. Numeri fino a...
1. 2
2. 7
3. 21
4. 192
Etc..
Ma la domanda è precisamente" fino a quanti numeri si possono mettere nelle scatole disponibili, senza che all'interno di ciascuna di esse ci siano numeri ottenibili sommandone altri due" ...
Oppure la domanda è un'altra?
Le sequenze che illustrano la distribuzione dei numeri nelle scatole tendono a diventare molto lunghe. A parte le prime due o tre, diventano di difficile lettura.
Per ora non sto a indicarle.
La domanda è proprio quella... qual é il numero naturale massimo che si può inserire... mi spiace, ma hai già cominciato male. Forse era meglio farlo fare ai più piccoli. Tu avresti dovuto cominciare proprio dall'etc.
La prima scatola è giusta. "Cominciato male" è sbagliato.
Se mai , "continuato male"
provaci ancora Sam e aspettiamo anche qualcun altro...
ma alla prima era già stata data la soluzione... non contava...
Seconda scatola 8
11212221
proviamo a far giocare anche gli altri?... Tu dedicati a 5 scatole...
Va bene, 5 scatole. Ma le scatole successive, che vengono messe in gioco una per volta, solo al momento in cui non si può continuare con quelle disponibili, implicano che i numeri già sistemati in un certo modo, nelle scatole precedenti, non possano essere ridisposti in una possibile variante, oppure si possono riposizionare?
Si parte fin dall'inizio con più scatole a disposizione!! Pensavo fosse chiaro, ma ho aggiunto una paio di frasi in più nel testo per non far cadere in confusione.
Aggiornamento lampo per dirvi che in quattro scatole sono riuscito per ora a piazzare solo 62 numeri.
Temo che Amazon non mi assumerà mai per occuparmi delle sue spedizioni.
Questa è la stringa delle posizioni per numero e scatola
1
1
2
1
2
2
2
1
3
3
1
3
3
3
3
3
3
3
2
3
2
1
2
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
1
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
1
un bel risultato, comunque! Se qualcuno è riuscito a far di meglio... si faccia vivo!!!! Non temiate... no sareste i soli a sbagliare. Chi tace acconsente... (non c'entra niente ma fa fine e non impegna).
E almeno ditemi quante ne avete messe in tre scatole!!!
Il migliore risultato che ho trovato per 5 scatole è 185.
Tra i tentativi fatti, i criteri che sembrano dare i migliori risultati sono:
1) proseguire con la medesima scatola fino a che è possibile
2) utilizzare le scatole già iniziate fino a che è possibile
3) iniziare una nuova scatola solo quando non sono possibili 1 e 2
In realtà applicando questi criteri si arriva a 180 con 5 scatole.
Per arrivare a 185 occorre fare eccezione per il 4, che invece di essere messo nella 2a scatola deve essere messo nella 1a scatala, come ha fatto Oreste. Dico eccezione perchè non ho trovato una regola alternativa. Potrebbero esserci altre eccezioni, ma non le ho trovate.
La sequenza dell'inscatolamento è questa:
Il riempimento delle scatole è questo:
grazie Fabry...
Hai sicuramente ragione... per riuscire a proseguire ci sono sicuramente alcune regole più o meno empiriche. Ad esempio dove stanno i numeri piccoli non si riesce a inscatolare una serie continua di numeri grandi. Ad esempio se voglio inscatolare 121,122,123,124,125,126 tutti assieme devo farlo in una scatola che non contiene 1,2,3,4,5. L'avere 5 scatole aiuta nel tenersi in qualche modo lo spazio libero per intere serie di numeri consecutivi...
Avrete già capito che il problema è un classico esempio di quando la matematica riesce a volte ad annodarsi da sola. Così come è anche ovvio che invece di scatole si possono dare 5 colori e quindi ne derivano sottoinsiemi di colore diverso. Il problema è sia trovare questi sottoinsiemi sia trovare il numero massimo che può permettere una tale suddivisione. A un certo punto al nuovo numero non sarà possibile assegnare nessun colore.
Vi è anche una versione più stringente e non so se più facile,,,
Quella di considerare nella somma anche lo stesso numero. Esempio...
Nella prima scatola metto 1. Bene se non ho altre scatole non posso mettere il 2 dato che 1 +è 1 = 2. Ciò comporta una riduzione del numero massimo ottenibile.
Resta il fatto che può diventare un gioco a due o più persone. Si prendano ad esempio 6 scatole e ognuno faccia il suo tentativo... State sicuri che ci sarà sempre un vincitore diverso... E poi si può permettere di rifare l'ultima mossa, ad esempio per tre volte, in modo da permettere piccoli ripensamenti.
Insomma... i suoi asterischi li vale tutti!
P.S.: ricordiamoci del "bombo": lui risolve automaticamente il problema del commesso viaggiatore. Noi soltanto con l'utilizzo di super computer. Chissà se esiste un animale capace di suddividere i fiori da visitare in sezioni diverse o qualcosa del genere?
Ah... dimenticavo...
non so se può rincuorare oppure no, ma il numero di possibili suddivisioni (a parità di massimo numero)per 4 scatole supera 29000... Da un lato le possibilità sono moltissime, dall'altro lo devono anche essere le combinazioni che non rispettano anche una sola volta la regola fondamentale...