Categorie: Matematica
Tags: formuletta risolvente quiz rettangoli scacchiera
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:23
Contiamo i rettangoli... *** (con aiuto **)
Niente da fare... Arturo e Fabrizio sono delle macchine schiacciasassi, anzi schiacciaquiz! Rapidi, precisi e infallibili. Soprattutto ammiro la loro fantasia e la chiarezza delle risposte, che permettono di proseguire nell'analisi dei risultati e allargare il campo anche in un algebra apparentemente elementare, ma piena di risvolti imprevisti. La matematica, in fondo, può anche divertire! Mi sono di grande aiuto in questo momento... Tuttavia, devo riuscire a metterli in difficoltà! Forza amici lettori cercate di essere più veloci o, magari, ancora più precisi e fantasiosi. Un premio speciale a chi riuscirà a batterli come, in fondo, è riuscito a fare Marco... Latita Mau, ma è sicuramente impegnato in altre faccende insieme al suo amico Oreste. Lui è un altro che non perdona! Per chi volesse far scendere un po' la difficoltà vi è un aiuto nascosto al fondo dell'articolo. Non lo guarderanno certo i nostri super eroi...
Questo "quiz" è forse meno matematico, ma ancora più fantasioso... Prendiamo una bella scacchiera e facciamo anche a meno di colorarla. Quello che ci interessa è il numero di caselle che contiene: 8 x 8 = 64. Su questo non ci piove... Le caselle sono ottenute tracciando i 4 bordi della scacchiera, sette segmenti orizzontali e sette verticali o, se preferite, nove segmenti orizzontali e nove segmenti verticali, come mostrato nella figura che segue.
Ora vi potrei chiedere:
Quanti rettangoli esistono in questa struttura ?
Basta contarli... eh sì, ma è un bel lavoraccio, vi assicuro. La cosa migliore sarebbe trovare una formuletta (da poter usare anche senza calcolatrici) tale da permetterci di dare il risultato immediatamente, qualsiasi sia il numero di righe orizzontali e verticali ... ho saputo che sul terzo pianeta di Vega esistono scacchiere con 2000 righe orizzontali e 2000 verticali !
Vi chiedo allora di trovare questa formuletta con un procedimento alla portata di tutti e con un po' di fantasia. Una volta trovata, per dare il risultato, basterà saper fare le quattro operazioni.
N.B.: Ho detto con un procedimento semplice, alla portata di tutti (chiunque può arrivarci, ve lo assicuro) e senza entrare nell'ambito del calcolo combinatorio. Anzi, una volta trovata la formuletta nel modo elementare, i più bravi potranno anche dedurla in modo ancora più immediato. Sarebbe un'ulteriore e decisiva conferma della sua correttezza!
QUI la soluzione
23 commenti
Il rettangolo è un quadrilatero che ha tutti gli angoli interni congruenti tra loro (e, di conseguenza, retti). Il quadrato è un tipo particolare di rettangolo, caratterizzato dall'avere tutti i quattro lati congruenti (fonte: WikiPapalPedia)
Domanda (forse) stupida: dobbiamo contare anche i quadrati?
Chiaramente, se non specificato, un quadrato è anche un rettangolo.
Sia n generico il numero di quadrati. Che compongono la scacchiera.Consideriamo un rettangolo con base di k quadrati consecutivi e altezza di h quadrati consecutivi. Il gruppo di k colonne consecutive della base può essere scelto in n+1−k modi differenti. In modo simile il gruppo di h righe consecutive dell’altezza può essere scelto in n+1−h modi differenti. Quindi il numero totale dei rettangoli di dimensioni k×h è (n+1−k)(n+1−h).
Ora i rettangoli con una data base fissata k, possono avere altezza uguale a {1,2,⋯n}. Quindi in totale il numero dei rettangoli con base k è (n+1−k)(1+2+⋯+n)=(n+1−k) n(n+1)/2.
Anche la base k può assumere i valori {1,2,⋯n}. Quindi il numero totale dei rettangoli è (1+2+⋯n) n(n+1)/2 =(n(n+1)/2)^2
Premetto che ho interpretato la richiesta del quiz nel senso che , chiamati a e b i lati del generico rettangolo, deve essere comunque a diverso da b. Inoltre, se indico con a il lato della generica casella quadrata della griglia, i rettangoli possibili sono quelli avente lato minore pari ad a o suoi multipli interi. Se, per esempio, la scacchiera è composta da 9 caselle quadrate disposte su 3 righe e 3 colonne, allora i rettangoli possibili, sia in direzione x che in direzione y, sono quelli di lati:
base a e altezza 2a o viceversa
base a e altezza 3a o viceversa
Naturalmente, non posso conteggiare uno stesso rettangolo più volte, quindi, una volta conteggiato, dovrò fare attenzione a non riconteggiarlo.
Cosa mi vieta di partire proprio da una griglia 3x3 ?
Per conteggiare i rettangoli, parto con quelli di lato minore pari ad a, iniziando dalla casella in basso a sinistra e spostandomi poi lungo x per poi salire alla riga superiore ripartendo da sinistra, e così via. Pongo inoltre, a =1 . In questo modo, conteggio 18 rettangoli di dimesioni 1x2 e 1x3 (o 2x1 e 3x1). Passo poi a conteggiare i rettangoli di lato minore pari a 2a, in questo caso pari a 2. Ne conto 4, di dimensioni 2x3 o 3x2. Mi pare non se ne possano individuare altri.
E se passo ad una griglia 4x4 ? Stesso ragionamento e procedimento, ottengo:
48 rettangoli di dimensioni 1x2, 1x3 e 1x4 (oppure 2x1, 3x1 e 4x1) ;
18 rettagoli di dimensioni 2x3 e 2x4 (oppure 3x2 e 4x2)
4 rettangoli di dimensioni 3x4 (oppure 4x3)
E con una griglia 5x5 ? Ottengo:
100 rettangoli di dimensioni 1x2, 1x3, 1x4 e 1x5 (oppure (2x1, 3x1, 4x1 e 5x1)
48 rettangoli di dimensioni 2x3, 2x4 e 2x5 (oppure 3x2, 4x2 e 5x2)
18 rettangoli di dimensioni 3x4 e 3x5 (oppure 4x3 e 5x3)
4 rettangoli di dimensioni 4x5 (oppure 5x4)
A questo punto mi accorgo che, passando da una griglia a quella successiva, ho un numero di rettangoli possibili dato dalla somma di termini riferiti alla griglia precedente più un termine dato da n*n*(n-1). Infatti:
per la griglia 3x3 : numero rettangoli pari a 4+18 (dove 18 = 3x3x2)
per la griglia 4x4 : numero rettangoli pari a 4+18+48 (dove 48=4x4x3)
per la griglia 5x5 : numero rettangoli pari a 4+18+48+100 (dove 100=5x5x4)
e così via
Quindi, estensivamente:
per la griglia 6x6 avrei numero rettangoli pari a 4+18+48+100+180 (180=6x6x5)
per la griglia 7x7 avrei numero rettangoli pari a 4+18+48+100+180+294 (294=7x7x6)
e , infine, per la griglia 8x8, avrei numero rettangoli pari a 4+18+48+100+180+294+448 (dove 448 = 8x8x7), cioè 1092 rettangoli.
Sempre se non ha sbagliato i conti e se ho interpretato correttamente il quesito.
Naturalmente, in base al ragionamento da me fatto nel commento precedente, la formula risolutiva sarebbe:
dove:
N= numero totale dei rettangoli ottenibili (con lati tra loro diversi)
n= numero di caselle in una riga della scacchiera ( o in una colonna, essendo la scacchiera a pari numero di righe e colonne)
Hanno ragione Papalscherzone e Karl (benvenuto!!): i quadrati vanno conteggiati perché sono un tipo particolare di rettangolo.
Capisco che per chi conosce un minimo di calcolo combinatorio la soluzione non è certo difficile (basta ricordare un qualcosa di ben conosciuto e spesso usato nel circolo). Ma, sarei più contento che la soluzione venisse fuori lavorando in due modi diversi in modo empirico e semplice anche per chi non conosce il calcolo combinatorio...
Insomma mi piacerebbe la soluzione più "semplice" e più empirica. Arturo sta andando in quella direzione... ma deve ancora semplificare... un poco...
Grazie a tutti per l'interesse...
Conteggiando anche i quadrati, con il mio ragionamento ottengo:
griglia 3x3 : 4+18+(1+4+9) = 36 rettangoli (in parenetesi tonde i rettangoli quadrati 3x3, 2x2 e 1x1) )
griglia 4x4 : 4+18+48+(1+4+9+16) = 100 rettangoli
griglia 5x5 : 4+18+48+100+(1+4+9+16+25) = 225 rettangoli
griglia 6x6 : 4+18+48+100+180+(1+4+9+16+25+36) = 441 rettangoli
griglia 7x7 : 4+18+48+100+180+294+(1+4+9+16+25+36+49) = 784 rettangoli
griglia 8x8 : 4+18+48+100+180+294+448+(1+4+9+16+25+36+49+64) = 1296 rettangoli.
Formula del tipo sommatoria :
che si asemplifica agevolmente in:
Chiaramente , questa formula richiede di partire da n=2 e calcolare i termini fino al valore n dato, contrariamente alla formula diretta che, invece, richiede solo di sostituire ad n il dato del problema e trovare subito il risultato.
Faccio notare che la soluzione sopra , oltre a soddisfare i requisiti richiesti ,non fa uso di alcun elemento di calcolo combinatorio. Non si parla ne di permutazioni, né di disposizioni ne di combinazioni. Se poi qualcuno avesse dei dubbi sulla sua veridicità si sostituisca a n n+1 nel ragionamento e grazie alla formula di Gauss si perviene alla formula in tale caso sostituendo direttamente a n n+1, senza nemmeno passare per il principio di induzione.
Va bene, Karl, è sicuramente corretta... ma vi è un metodo più intuitivo e empirico che porta allo stesso risultato. Comunque va benissimo la tua risposta...
Con riferimento alla formula riportata nel mio ultimo commento, volendo semplificarla un pò, posso invocare il teorema di Nicomaco, secondo il quale la sommatoria dei cubi dei numeri interi da 1 a n è uguale al quadrato della somma dei numeri. Questo mi evita di dover calcolare tanti cubi e sommarli e mi consente, invece, di calcolare una semplice somma e poi elevarla al quadrato. Quindi, il numero totale di rettangoli è dato, più semplicemente, da:
Nel caso specifico:
Che poi, guarda caso (ma non è ovviamente un caso) , la somma dei primi n numeri interi è proprio uguale a n * (n+1) / 2 . Quindi si ritrova la formula diretta indicata da Karl.
esattamente... bravo Karl e bravo anche te... Non è molto che abbiamo ricordato Gauss bambino...
Tuttavia, si può ancora arrivare alla quadrato della somma agendo direttamente sui risultati dei primi tre sottoinsiemi... senza scomodare i cubi...
E poi c'è il metodo più elegante che sfrutta il ... C B...
Premetto che non ho letto alcun commento, ma solo il suggerimento nascosto nell'articolo, dopodiché ho un po' "annaspato" contando manualmente i rettangoli nei primi cinque casi e cercando delle regolarità che, alla fine, credo di avere trovato... pubblico un'immagine riassuntiva del mio labirinto mentale, spero si capisca qualcosa:
Bene Daniela... hai usato uno dei metodi che pensavo. Però è ancora un bel lavoraccio dover calcolare il numero di rettangoli della scacchiera del terzo pianeta di Vega (2000 x 2000).
Immagina ...
13 + 23 + 33 +........ + 20003
Con lo stesso tipo di approccio si può trovare (anche senza ricordarlo dall'algebra) un altro algoritmo che permette una formula molto più maneggevole...
Ancora un piccolo sforzo!!!
Comunque, brava!!!
Macché lavoraccio... con excel ci ho messo un paio di minuti a trovare il numero di rettangoli della scacchiera veghiana (non vegana, eh!)
k
k^3
1
1
2
8
3
27
4
64
5
125
6
216
7
343
1995
7940149875
1996
7952095936
1997
7964053973
1998
7976023992
1999
7988005999
2000
8000000000
4,004E+12
Ovvero 4,004 volte 10 alla 12^
Ops... la tabella excel è diventata incomprensibile, la reinserisco sotto forma di immagine
Certo che se dovessi calcolare il numero di rettangoli di una scacchiera Betelgeusiana, che notoriamente non ha mai meno di 2 milioni di righe e colonne, ci metterei ben più di due minuti usando excel...
...ma, per ora, mi accontento, tanto non ho in programma viaggi su Betelgeuse per questa estate!
Veramente avevo detto che il meglio era non usare calcolatrici o cose simili ... va beh! è inutile... tornare a carte e matita è diventata una operazione fuori moda. Peccato, insegnava molte cose, come, ad esempio, imparare qualche trucchetto che limitasse le operazioni. Comunque il risultato era poco importante, più importante era escogitare un metodo che permettesse un calcolo senza calcolatrici... Lo spirito era quello, anche per il caso più generale di n qualsiasi...
Il bambino Gauss piangerebbe o forse riderebbe di noi e dei nostri metodi moderni...
Lo so, lo so... ma non ti accontenti mai... per me è già tanto essere arrivata qui (giuro che senza il suggerimento nascosto non ci avrei neanche provato per mancanza di un’idea sulla quale lavorare). Ora mi metto tranquilla ad aspettare la soluzione per poi dire “mannaggia, non era poi così difficile, forse ci sarei potuta arrivare”!
ce la faresti sicuramente... è sotto gli occhi di ... excel...
Il Prof ha scritto: "Tuttavia, si può ancora arrivare al quadrato della somma agendo direttamente sui risultati dei primi tre sottoinsiemi... senza scomodare i cubi..."
In effetti:
griglia 3x3 : 1+4+9+4+18 = 1+4+9+4+6+12 = (1+2+3)^2
griglia 4x4 : 1+4+9+16+4+18+48 = 1+4+9+4+6+12+16+2*4*(1+2+3)= (1+2+3)^2+4^2+2*4*(1+2+3) = [(1+2+3)+4]^2= (1+2+3+4)^2
e così via
In pratica, basta mettere insieme i numeri per far uscire il quadrato della somma degli stessi.
Ah, pure io avevo usato un foglio di calcolo di ultimo grido, una ..potenza di fuoco... lo vedete nella foto seguente
Così mi piaci, grande Artù!!! Quello che ci interessa rimane tra parentesi e basta chiedere al piccolo Gauss. Poi non ci rimane che fare il quadrato...
La mia soluzione è solo una variante di quella indicata da Karl.
Un rettangolo può essere caratterizzato da due suoi vertici estremi. Nella figura sotto sono marcati con il cerchietto verde e con il cerchietto rosso.
I vertici sono all'incrocio di due righe che compongono la scacchiera. Se la scacchiera ha N caselle per lato, allora le righe sono N+1. Quindi per il primo estremo ci sono a disposizione (N+1)(N+1) punti .
Per formare un rettangolo, il secondo estremo non deve essere allineato verticalmente o orizzontalmente con il primo. Quindi delle (N+1) linee verticali e orizzontali ne rimangono N. I punti disponibili per il socondo estremo del rettangolo sono quindi N N.
Però in questo modo ho contato 4 volte lo stesso rettangolo come si vede in figura. Il numero totale di rettangoli va diviso per 4.
Il numero di rettangoli in una scacchiera con lato di N caselle è
infatti}{R(N)}=\frac{\frac{(N+1)^2(N+2)^2}{4}}{\frac{N^2(N+1)^2}{4}}=\frac{(N+2)^2}{N^2})
Sì Fabrizio... molto bene...si gira sempre lì intorno. Il modo forse più elegante (che io pensavo per la parte degli esperti) era di dire che siamo interessati (in senso orizzontale) ai sotto insiemi di k elementi partendo da n elementi (le righe)
Quindi il coefficiente binomiale (n k) = n!/(k!(n-k)!) . Nel nostro caso = 9 . 8/2 = 36
Lo stesso deve valere per le colonne, per cui il risultato finale è 362.
Ovviamente, il coefficiente binomiale è proprio il termine della serie di Gauss... per cui la formula finale è la stessa ((n+1)n/2)2