Iniziamo proprio a dimostrare la formula del coseno della differenza di due angoli. Utilizziamo il nostro cerchio trigonometrico (raggio unitario). Consideriamo tutto nel primo quadrante, ma la cosa non ha assolutamente importanza.

L'angolo a e l'angolo b sono delimitati dall'asse x e dai segmenti OA e OB, rispettivamente. L'angolo AOB è proprio l'angolo differenza (a - b). Ruotiamo questo angolo in modo da portare il lato OB a coincidere con OD. OA va, allora, a coincidere con OC. Abbiamo così individuato quattro punti sulla circonferenza di centro O. Per come sono stati costruiti l'angolo AOB deve essere uguale a COD. Ne segue che, se sono uguali gli angoli al centro, devono anche essere  uguali le corde AB e CD. Non ci resta che scrivere le distanze AB e CD e uguagliarle tra loro.  Vediamo, allora, le coordinate di questi 4 punti:

A (cos a, sen a)

B (cos b, sen b)

C (cos(a - b), sen (a - b))

D (1, 0)

Ricordiamo che la distanza tra due punti P1 (x1, y1) e P2(x2, y2) è data da:

d² = (x2 - x1)² + (y2 - y1)²

Nel nostro caso:

AB² = (cos a - cos b)² + (sen a - sen b)²

CD² = (cos(a -b) - 1)² + sen²(a - b)

Esplicitiamo i quadrati e uguagliamo

cos²a + cos²b - 2cos a · cos b + sen²a + sen²b - 2sena · senb = cos²(a - b) + 1 - 2 cos(a - b) + sen²(a - b)

La somma delle funzioni in grassetto, in nero, in rosso e in blu danno come risultato 1, per cui l'espressione diventa:

1 - 2cos a · cos b + 1 - 2sena · senb = 1 + 1 - 2 cos(a - b)

semplificando, abbiamo proprio la formula che cercavamo:

cos(a - b)  = cos a · cos b + sen a · sen b

Potremmo ripetere lo stesso procedimento anche per le altre funzioni, ma se ne può fare tranquillamente a meno. Basta ricordare quanto valgono le funzioni degli stessi angoli negativi...

sen(-a) = - sen a

cos(-a) = cos a

E le funzioni di (90 + a)

sen (90 + a) = cos a

cos (90 + a) = - sen a

Nella formula del coseno della differenza, possiamo inserire al posto di b l'angolo (-b)

cos(a - (-b))  = cos a · cos(-b) + sena · sen(-b)

cos(a + b) = cos a cos b - sen a sen b

che è proprio la formula relativa alla somma di due angoli.

Prendiamo adesso l'angolo a uguale a (90 + a)

cos(a + 90 - b)  = cos (90 + a) · cos b + sen (90 + a) · sen b

cos(90 + (a - b))  = cos (90 + a) · cos b + sen (90 +a) · sen b

- sen(a - b) = - sen a · cos b + cos a · sen b

sen(a - b) = sen a · cos b -  cos a · sen b

E abbiamo il seno della differenza di due angoli.

Usando quest'ultima e cambiando b in (-b)

sen(a - (- b)) = sen a · cos(-b) -  cos a · sen(-b)

sen(a +b) = sen a · cos b +  cos a · sen b

Che è la formula del seno della somma di due angoli

Passiamo, infine, alle formule relative alla tangente, ricordando che tan a = sen a/cos a

Per far ciò, dobbiamo imporre che a, b, (a+b) e (a -b) NON siano uguali a 0° o a 180° per evitare valori che vadano a infinito.

tan(a - b) = sen(a -b)/cos(a - b)

esplicitando...

tan(a - b) = (sen a · cos b - cos a · sen b)/(cos a · cos b + sen a · sen b)

dividendo ogni fattore sopra e sotto per cos a · cos b (possiamo farlo perché abbiamo imposto a e b diversi da 90°  e 180°), abbiamo:

tan(a - b) = (sen a · cos b/(cos a cos b) -  cos a · sen b/(cos a cos b))/(cos a · cos b/(cos a cos b) + sen a · sen b/(cos a cos b))

Semplificando...

tan(a - b) = (tan a - tan b)/(1 + tan a · tan b)

che è la formula relativa alla differenza dei due angoli

Considerando adesso

tan (a + b) = sen (a + b)/cos(a + b) = (sen a · cos b +  cos a · sen b)/(cos a · cos b - sen a · sen b

e dividendo nuovamente ogni fattore per cos a · cos b

tan(a + b) = (sen a · cos b/(cos a cos b) + cos a · sen b/(cos a cos b))/(cos a · cos b/(cos a cos b) -  sen a · sen b/(cos a cos b))

tan (a + b) = (tan a + tan b)/(1 - tan a · tan b)

che è la formula relativa alla somma degli angoli.