Ho aspettato a lungo prima di dare la soluzione al quiz su Gigi Riva, per rispetto alla passione e volontà mostrata da Franco. Ecco, adesso, una doppia possibilità, con o senza trigonometria. La trigonometria è quella che ha usato anche Franco per risolvere il problema.

Iniziamo col rendere generale la soluzione, chiamando a la distanza tra il limite di fondo campo della traiettoria di Giggiriva e il punto più lontano della porta e b la distanza del punto più vicino della porta.  La porta viene ad avere una larghezza pari ad a - b. Schematizziamo tutto in Fig. 1.

Risulta chiaro che dobbiamo ricavare l'angolo  tra le due congiungenti Riva-palo più lontano e Riva-palo più vicino.

Sfruttando i triangoli rettangoli RFP1 e RFP2 possiamo scrivere la tangente di quell'angolo in funzione della tangente dei due angoli FRP1 e FRP2. Per far ciò ricordiamo la formula della tangente relativa alla differenza di angoli. Essa vale:

tan (α - β) = (tan α - tan β)/(1 + tan α tan β)

ma

tan α = a/x

tan β = b/x

per cui

tan(α - β) = (a/x - b/x)((1 + ab/x²)

tan(α - β) = x(a - b)/(x² + ab)                      .... (1)

Se è massima la tangente deve essere anche massimo l'angolo (α - β). Basta allora derivare la (1) rispetto a x e porla uguale a zero.

d(tan(α - β))/dx = (a - b)(ab - x²)/(x² + ab)² = 0

Il denominatore non può mai essere uguale a zero e, quindi, per ottenere zero è necessario che:

ab - x² = 0        (la soluzione a = b è banale e non viene calcolata, ovviamente)

x² = ab

x = √ab               (è stato scelto il segno più dato che a,b e x sono positivi)

Questo è il punto dove deve tirare Giggiriva!

Alla stessa soluzione si può arrivare senza trigonometria e derivate, ma solo con il teorema di Pitagora e la proprietà dell'angolo alla circonferenza di un cerchio.

Disegniamo la Fig. 2, con gli stessi punti della Fig. 1.

Consideriamo una circonferenza che abbia due punti fissati (P1 e P2). C sia il loro punto di mezzo. Sappiamo che per tre punti passa sempre una circonferenza. Scegliamo il terzo punto in modo che scorra lungo una parallela a OC, ad una distanza P1F = b (P2F = a).

Quando si ottiene la circonferenza con il raggio minore che soddisfi questa condizione? Sicuramente quando il punto R è tangente alla circonferenza e quindi RO perpendicolare a OC e uguale al raggio. In questa situazione il raggio r è minimo e quindi è massimo l’angolo al centro P1OP2. Dato che P1RP2 è un angolo alla circonferenza con base P1P2, deve essere la metà dell’angolo al centro. Se è massimo quest’ultimo deve essere massimo anche P1RP2. Consideriamo, allora il triangolo rettangolo P1OC e otteniamo:

r² = x² + ((a - b)/2)²                     .... (2)

Ma r è anche la distanza tra R e il cerchio di centro O, per cui:

r = b + (a - b)/2

e la (2) diventa:

(b + (a - b)/2)² = x² + ((a - b)/2)²

con facili passaggi

1/4(a + b)² = x²+ 1/4 (a - b)²

x² = ab

x = √ab

Si ottiene, ovviamente, lo stesso risultato di prima.

E' interessante notare che √ab è la media geometrica di a e b, ossia è la media geometrica tra le distanze dal punto di fondo campo della traiettoria di Giggiriva e i dei due pali della porta.

GOAL !!!