Nella soluzione che propongo a questo quiz ci si rifà pari pari alla formula trovata da Dirac, sia sostituendo pi greco al numero 2 sia scrivendo 2 in altro modo... Ringrazio ufficialmente Karl, Andy e Fabrizio per la volontà, l'interesse e le capacità dimostrate!

Riporto anche la parte rimasta nascosta, in modo che il "quiz" rimanga tale e quale per eventuali altri risolutori..

Si racconta che i fisici e matematici dell'Universita' di Georg-August di Gottinga (Bassa Sassonia) stavano affrontando, con poco successo, il problema di scrivere i numeri da 1 a 100 usando tutti i possibili segni algebrici applicati al solo numero 2. Ad esempio, i numeri 3 e 5 possono essere scritti come

(2² - 2/2) = 3

(2² + 2/2) = 5

Questo problema fu sottoposto a Paul Dirac (uno dei fondatori della meccanica quantistica) che trovo' una soluzione generale per scrivere qualsiasi numero intero positivo:

n = - log₂(log₂(√ √ .... √2))

Dove il terzo 2 è incluso in n radici quadrate

Provare per credere...

Analizziamola con calma ricordando le proprietà delle radici quadrate e delle potenze...

- log₂(log₂(√√....√2))

Come detto le radici sono tante quant'è il numero n.

Cominciamo dalle radici...

Poniamoci nel caso più semplice:

√2 = 2^1/2

sappiamo, infatti, che scrivere radice quadrata equivale a scrivere la potenza di base 2 ed esponente uguale a 1/2.

In parole più generali, possiamo dire che la potenza di 2  ha come esponente 1 diviso 2 elevato, a sua volta, al numero di radici. In questo caso il numero di radici è uno.

Mettiamo il tutto sotto un'altra radice:

√√2 = √2^1/2 = 2^{(1/2 · 1/2)} = 2^1/4

Abbiamo avuto la conferma. Per 2 radici l'esponente è diventato 1 diviso 2 elevato al numero 2, ossia al numero di radici.

Mettiamo nuovamente tutto sotto radice:

√√√2 = 2^{1/4· 1/2}  = 2^1/8

La formula vale sempre, dato che 8 (il denominatore dell'esponente) è proprio uguale a 2³.

In generale, abbiamo, perciò, la formula

√√√ ... √2 = 

Bene, possiamo scrivere l'ultima espressione al posto di tutte quelle radici (è abbiamo fatto comparire il numero intero n).

- log₂(log₂(√√....√n)) = - log₂(log₂ )

Pensiamo, adesso al logaritmo in base 2 dell'espressione .

Cos'è il logaritmo di un numero, in qualsiasi base si voglia? E' l'esponente che bisogna dare alla base per ottenere quel numero. Nel nostro caso la base è 2 e il numero da ottenere è  . Qual è l'esponente che dobbiamo dare alla base 2? Beh... facilissimo: 1/2ⁿ.

Ne segue che il risultato del logaritmo più a destra è proprio 1/2ⁿ. La formula si è ridotta di molto...

- log₂ (1/2ⁿ)

Applichiamo, adesso, un'altra proprietà del logaritmo (qualsiasi base abbia):

log a/b = log a - log b

la nostra espressione diventa:

- log₂ (1/2ⁿ) = - (log₂1 - log₂ 2ⁿ).

Ma, per quanto detto prima su cos'è un logaritmo segue che il logaritmo, in base 2, di 2 elevato a n non è altro che n! Inoltre, qualsiasi sia la base, affinché il logaritmo di un numero qualsiasi sia uguale a 1 è necessario che l'esponente da dare alla base sia uguale a zero. Nel nostro caso:

log₂1 = log₂2⁰ = 0

La formula si riduce ancora...

- log₂ (1/2ⁿ) = - (log₂1 - log₂ 2ⁿ) = - (0 - n) = n

Ci siamo riusciti! Dirac era proprio un mago!

Prendere coscienza di questa fantastica soluzione è un gesto più che doveroso trattandosi nientepopodimeno che di Dirac, l'uomo che forse ha scritto una delle formule più appassionanti di sempre, chiamata anche la formula dell'amore.  Ricordiamola brevemente nella sua espressione concettuale: essa dice che se due sistemi interagiscono tra loro per un certo periodo di tempo e poi vengono separati, non possono più essere descritti come due sistemi distinti, ma in qualche modo, diventano un unico sistema. In altri parole, quello che accade a uno di loro continua ad influenzare l’altro, anche se distanti chilometri o anni luce.

Praticamente è proprio la descrizione  dell’entanglement, che fornisce la base per una  nuova visione dell'intero Universo e delle sue leggi. Ovviamente vale soltanto per sistemi microscopici o, meglio ancora, per particelle singole. Vale anche il fatto che se una delle due interagisce con un altro sistema l'"amore" si spezza. Non sto a scrivere nemmeno la formula, dato che si dovrebbero introdurre simboli tutti da descrivere con mezzi che vanno oltre il nostro "circolo". Normalmente si trova scritta in modo molto semplificato (ma errato). Ci può bastare il concetto e il suo stretto legame tra Relatività Generale e Meccanica Quantistica, dato che si applicano le regole della MQ a corpi in moto relativistico.

Ma torniamo a noi e vediamo come la formula ben più banale che regala qualsiasi numero n possa essere trasferita al caso in cui si vogliano al posto del 2 ben quattro π. Tra parentesi, se invece del segno meno davanti alla formula, mettessimo il segno più, otterremmo tutti i numeri interi negativi.

Partiamo dal fatto acquisito che valga la formula di Dirac e che essa dia esattamente il numero n richiesto. Ciò che ci resta da fare è TRASFORMARE la formula in qualcosa che sia esattamente uguale a lei, senza più avere tra i piedi il numero 2 ma solo il famosissimo numero π. La faccenda acquista un interesse particolare dato che operando su un numero non solo irrazionale, ma addirittura trascendente, si riesce a ottenere un numero naturale!

La prima cosa che salta in mente è quella di cambiare la base 2 nella base π. Non ci sarebbe niente di male e il risultato sarebbe simile (tutto da controllare, però). Resta il problema che nessuna calcolatrice è capace di calcolare i logaritmi in base π (così come non è capace di calcolare i logaritmi in base 2). Una difficoltà non insormontabile. Più fantasia necessita il secondo requisito, cioè quello che ci obbliga a usare quattro π e non solo tre.

Vediamo di andare avanti per gradi...

Cominciamo a scrivere la formula di Dirac inserendo π al posto di 2. Attenzione! Lo possiamo anche fare, ma abbiamo l'obbligo di non cambiare la formula di Dirac, perché è lei che è uguale a n! Lasciamo ancora al suo posto il primo 2 (base del primo logaritmo).

- log₂(log_π(√√....√_π))

Questo fatto non ci disturba dato che le radici e il secondo logaritmo si eliminano tra di loro e il risultato è indipendenete dalla base. Vogliamo provare?

√√....√_π =

logπ = 1/2ⁿ

Perfetto! pur utilizzando π al posto di 2, il secondo logaritmo ci dà lo stesso risultato della formula di Dirac. Possiamo scrivere:

- log₂(log₂(√√....√2)) = - log₂(log_π(√√....√π)) = - log₂(1/2ⁿ)

Fino a questo punto non abbiamo cambiato niente nella formula di Dirac.  Ma rimane quel 2 nella base del primo logaritmo e questo non lo vogliamo... Può diventare un π ? A parte che non ci basterebbe, ma non lo potremmo fare... dato che:

- log₂(1/2ⁿ) ≠ - log_π(1/2ⁿ)

Attenzione! Il 2 che compare nel secondo membro NON può essere cambiato in π, dato che è legato alla radice quadrata.

No, non possiamo cambiare la base soltanto, dato che non varrebbe più la formula di Dirac. Cosa possiamo fare? Prendere "due piccioni con una fava", ossia lasciare il 2 che ci manterrebbe inalterata la formula di Dirac (che sappiamo dare come risultato il numero n), ma esprimerlo in termini di DUE π. Come fare? Un po' di fantasia e il problema è risolto!

Quante vale il coseno di π ?

cos π = - 1

E allora perché non scrivere l'uguaglianza:

2 = -(- 2) = - (cos π + cos π)

La base resterebbe 2, ma scritta in modo diverso, tale che appaia due volte il coseno di π. Ecco la formula "finale":

- log _{- (cos π + cos π)}  (log_π(√√....√π))                       .... (1)

Anche se con una base molto strana questa espressione è SICURAMENTE uguale a n, dato che è esattamente uguale alla formula di Dirac e, inoltre, contiene proprio i quattro π richiesti.

Tutto finito? neanche per sogno! Nessuna calcolatrice tascabile è capace di calcolare l'espressione (1)!

Nessuna paura e torniamo tra le braccia del logaritmo naturale, ricordando che:

log_x y = ln y/ln x

Nel nostro caso:

log_π(√√....√π) = ln ((√√....√π) )/ln π

log _{- (cos π + cos π)}(logπ(√√....√π)) = ln(logπ(√√....√π))/ln (- (cos π + cos π))

e ancora:

ln(logπ(√√....√π))/ln (- (cos π + cos π)) = ln(ln (√√....√π)/ln π)/ln (- (cos π + cos π))

La formula finale rimane quella di Dirac, anche se non compare più il numero 2

- log₂(log₂(√√....√2)) = - ln(ln (√√....√π)/ln π)/ln (- (cos π + cos π)) = n

La nostra calcolatrice può bastare e non compare esplicitamente nessun altro numero a parte pi greco!

 

A proposito di Dirac...

QUI ne parlano Einstein e Bohr nell'ambito di un fanta-dialogo che ci siamo inventati noi

QUI naufraghiamo dolcemente nel suo "mare"