Questo articolo è stato inserito nella sezione d'archivio "Sezione Aurea, spirale di Fibonacci e altre forme ricorrenti nell'Universo"

 

Il quiz sul distanziamento sociale è stato risolto brillantemente dai "nostri" abilissimi lettori. Non mi resta che sintetizzare il tutto e proporre una dimostrazione facile (va beh... "abbastanza" facile) per la geniale formula di Binet.

I nostri governanti e i vari virologi mediatici che sono spuntati come funghi dopo un bel temporale non conoscono sicuramente la serie di Fibonacci. Altrimenti le regole del distanziamento sociale sarebbero state molto semplici, senza bisogno di promulgare decreti su decreti e usare una burocrazia sempre più intricata. Bisogna, però, averla studiata e su questo c'è poca speranza, anche se nei tempi passati parlare di rapporto aureo e serie di Fibonacci era argomento normale. E poi basterebbe guardare la Natura, molte opere d'arte ed essere attratti dall'armonia...

Bando alle ciance e affrontiamo il problema degli sgabelli del bar in modo elementare.

PRIMA PARTE

Cominciamo considerando solo uno sgabello:

le posizioni  possibili sono solo DUE, o è occupato oppure no

x                      (occupato)

0                      (vuoto)

Passiamo a due sgabelli: le posizioni sono adesso TRE

0   0

x   0

0   x

Continuiamo con tre sgabelli: le posizioni sono adesso CINQUE

0   0   0

0   x    0

0   0    x

x    0   0

x    0    x

Ecco adesso quattro sgabelli che danno OTTO possibili posizioni

0    0    0    0

0    0    x    0

0    0    0    x

0    x    0    0

0    x    0    x

x    0   0    0

x    0    x    0

x    0    0    x

Già a questo punto è facile pensare a una successione molto famosa, la serie di Fibonacci, che conosciamo bene, a partire da 2 possibilità relative a uno sgabello (escludiamo i primi due 1):

 1     1     2      3      5      8    ....  

Con un solo sgabello abbiamo due posizioni, con due tre, con tre cinque e via dicendo...

N_sgabelli       N_posizioni

1                               2

2                               3

3                               5

4                               8

.............

dove ogni termine  è la somma dei due precedenti, ossia 8 = 5 + 3; 5 = 3 + 2; 3 = 2 + 1; 2 = 1 + 1

In altre parole per un certo numero n di sgabelli le posizioni ammesse sono la somma di quelle relative a n-1 e a n-2 sgabelli.

In parole matematiche stringate (n è il numero degli sgabelli):

F_n   = F_n-1 + F_n-2

Nel nostro caso

F₂ = 2 + 1 = 3

F₃ = 3 + 2 = 5

F₄ = 5 + 3 = 8

Con 5 sgabelli si ottengono, allora:

F₅ = F₄ + F₃ = 8 + 5 = 13

E via dicendo fino a 10 sgabelli

F₆ = 13 + 8 = 21

F₇ = 21 + 13 = 34

F₈ = 34 + 21 = 55

F₉ = 55 + 34 = 89

F₁₀ = 89 + 55 = 144

La faccenda si risolve facilmente conoscendo la serie di Fibonacci.

SECONDA PARTE

Tuttavia, pur conoscendo la serie di Fibonacci, non è detto che si sappiano a memoria i suoi termini. Se gli sgabelli fossero davvero tanti, bisognerebbe arrivare al numero voluto calcolando tutti i numeri precedenti. L'ideale sarebbe avere una formula che permettesse di calcolare il numero di Fibonacci in funzione solo e soltanto del numero degli sgabelli. Questa formula esiste ed è stata trovata da Jacques Philippe Marie Binet , matematico e astronomo francese vissuto a cavallo del 1800 (1784 - 1856).

Chiamando f_N  l'ennesimo numero della successione di Fibonacci, egli ricavò il suo valore come:

f_N = (1/√5)(((1 + √5)/2)^N - ((1 - √5)/2)^N )

Nel nostro caso n è il numero degli sgabelli, per cui  N della formula di Binet è uguale a 12, non avendo noi tenuto conto dei primi due numeri della successione di Fibonacci, ossia 1 e 1. In altre parole, il decimo termine della nostra successione corrisponde al dodicesimo della successione completa di Fibonacci.

f₁₂ = F₁₀ = 144 (provare per credere...).

Vi sono vari metodi per ricavare la formula di Binet. Noi usiamo quello che ci appare il più semplice, anche se all'inizio sembra che abbia ben poco a che fare con il nostro problema...

Consideriamo l'equazione:

x² - x - 1 = 0                  .... (1)

Cosa c'entra con Binet e Fibonacci? Beh... per capirlo basta trovarne le soluzioni:

Esse sono:

x₁ = (1 + √5)/2

x₂ = (1 - √5)/2

Due valori che si collegano subito a Fibonacci, dato che il primo è il celebre rapporto aureo, che è proprio il limite per n che tende a infinito del rapporto tra f_N e f_N-1.

La (1) può anche scriversi:

x² = x + 1             .... (2)

Scriviamo adesso i successivi valori di x^N utilizzando la (2)

x³ = x²· x = (x +1) · x = x² + x = (x + 1) + x = 2x + 1

x⁴ = x³· x = (2x + 1) · x = 2x² + x = 2(x + 1) + x = 3x + 2

x⁵ = x⁴ · x = 5x + 3

x⁶ = 8x + 5

...

E' facile notare che il coefficiente di x e il termine noto seguono la serie di Fibonacci. In particolare il coefficiente corrisponde proprio al valore N a cui è elevata la x, mentre il termine noto al valore subito precedente, ossia N - 1.

Possiamo allora scrivere il termine generale:

x^N = f_N x + f_{N-1              .... (3)}

Le soluzioni della prima equazione, per come abbiamo costruito le potenze, devono soddisfare anche la (3). Possiamo allora scrivere:

x₁^N = f_N x₁ + f_N-1 

x₂^N = f_N x₂ + f_N-1

Sottraendo la seconda dalla prima

x₁^N - x₂^N  = f_N (x₁ - x₂) + f_N-1 - f_N-1 

x₁^N - x₂^N  = f_N (x₁ - x₂)

Sostituiamo a x₁ e x₂ i loro valori

((1 + √5)/2)^N - ((1 - √5)/2)^N = f_N ((1 + √5)/2 - (1 - √5)/2)

Da cui, ricavando f_N

f_N = (1/√5)(((1 + √5)/2)^N - ((1 - √5)/2)^N )

otteniamo proprio quello che volevamo, ossia il termine ennesimo della successione di Fibonacci.

Il QUIZ lo trovate QUI