Il presente articolo è stato inserito nella pagina d'archivio  "Antichi Greci, che passione!"

Sapete che mi piace molto richiamare e dimostrare la grandezza della mente degli antichi studiosi greci. Tra questi ve n'è uno non molto conosciuto ed è un peccato, dato che per primo riuscì a misurare esattamente l'area compresa tra due curve. Rimediamo subito...

Prima di passare alla dimostrazione di quanto detto nell'introduzione, richiamiamo la figura di Ippocrate di Chio. Egli visse tra il 470 e il 410 a.C., circa 2500 anni fa. Inventore delle dimostrazioni per assurdo (e dico poco...) riuscì a calcolare l'area di una "lunula" senza ancora conoscere l'area del cerchio, ma solo il teorema di Pitagora. Per conoscere l'area del cerchio bisogna aspettare Archimede.

Disegniamo la Fig. 1, in cui si vede molto bene cosa è una lunula. Il nome stesso lo fa capire: una falce di luna, in particolare quella azzurra.

La sua costruzione è facile.  Tracciamo una semicirconferenza di diametro AC. Dal suo centro O portiamo la perpendicolare al diametro AC fino a incontrare la semicirconferenza in B . Congiungiamo il punto B con il punto A e tracciamo la semicirconferenza di diametro AB. Otteniamo in questo modo la lunula azzurra.

Ciò che vogliamo determinare è la sua area senza ancora conoscere l'area del cerchio. Ciò che Ippocrate sapeva era che l'area di un cerchio doveva essere proporzionale al quadrato del diametro. Tutto lì e quindi nessuna misura precisa. Ippocrate, però, conosceva il teorema di Pitagora vissuto prima di lui.

Oggi il calcolo della lunula è immediato anche per studenti di scuola media, ma non lo era per Ippocrate. Ed ecco il suo meraviglioso "trucco".

Consideriamo il triangolo rettangolo isoscele (per costruzione) ABO.  Applicando il teorema di Pitagora, troviamo facilmente che:

AB = AO √2

o anche:

AO = AB/√2

Ne segue che

AC = 2 AO = 2 AB/√2 = AB √2

Ricordiamo che √2 era numero già noto, tanto da essere chiamato la costante di Pitagora.

Inoltre Ippocrate sapeva, come già detto, che l'area di un cerchio era proporzionale al suo diametro al quadrato, ossia:

L'area S1 del semicerchio di diametro AC è, perciò:

S1 = 1/2 k AC² = 1/2 k (2 AB²) = k AB²

L'area S2 del semicerchio di diametro AB vale

S2 = 1/2 k AB²

S2 è quindi uguale alla metà di S1. Ma la metà dell'area S1 è l'area S3 del quarto di cerchio di diametro AC. Ne segue che l'area del semicerchio di diametro AB, ossia S2,  è uguale a S3.

S2 = S3 

Scriviamo, allora, due semplici relazioni:

l'area  S_L della lunula è uguale all'area del semicerchio  di diametro AB (S2) meno l'area S_S del settore circolare ADBA

S_L = S2 - S_S

L'area S_T del triangolo rettangolo ABO è uguale all'area S3 del quarto di cerchio di diametro AC meno l'area del settore circolare S_S

S_T = S3 - S_S

Ma... un momento! Abbiamo da poco dimostrato che S2 = S3. Otteniamo, perciò

S_L = S₂ - S_S

S_T = S₂ - S_S

Non possiamo che concludere che

SL = ST

L'area della lunula è uguale all'area del triangolo.

No, Ippocrate non ha ottenuto la quadratura del cerchio... ma ha ottenuto la quadratura delle ... lunule, infatti la somma delle aree di 4 lunule è uguale all'area del quadrato di lato uguale all'ampiezza delle lunule, come mostrato in Fig. 2.

P.S.1: Questo stesso argomento era già stato trattato nel Circolo, ma ho voluto richiamarlo, magari stimolando la rilettura di questo ben più corposo articolo sulla storia del  pi greco.

P.S.2: Quanti studenti delle scuole medie (ma penso anche liceali) saprebbero oggi ricavare l'area della lunula con le conoscenze di Ippocrate?

 

Ippocrate, usando la geometria attraverso il solo uso di riga non graduata e compasso, trovò un metodo semplicissimo per moltiplicare, tra loro, ogni coppia di numeri e, inoltre, fornì un metodo altrettanto semplice per calcolare la radice quadrata. Ne parliamo QUI.