Nel quiz avevo cercato di fare apparire Pappo come il più "sfortunato", ma fatti alcuni facili calcoli si dimostra che è proprio lui a vincere sempre.

I nostri amici hanno risposto esattamente e sono contento che non siano caduti nel banale trabocchetto legato al modo di porre le domande.

Bando alle ciance e calcoliamo, nel caso più generale possibile, il tempo impiegato dai nostri due fratelli.

PAPPO

Chiamiamo t_A il tempo impiegato nella sola andata. Sappiamo che la  velocità v è costante e possiamo scriverla come

v = s/t_A

quindi il suo tempo di sola andata è:

t_A = s/v

Ma lo spazio del ritorno è uguale allo spazio dell'andata, per cui vale:

t_R = s/v = t_A

Basta, perciò, sommare i due tempi:

t_Pa = t_A + t_B = s/v + s/v = 2s/v

t_Pa = 2s/v

e a Pappo poco importa a che velocità va il nastro trasportatore. Lui impiegherà sempre questo tempo!

PIPPO

Non siamo nella relatività e quindi le velocità si possono sommare tranquillamente... All'andata, perciò, Pippo viaggia a una velocità che  è:

t_A = s/(v + V)

Al ritorno invece, dato che il nastro viaggia sempre alla stessa velocità e sempre nello stesso verso, si devono sottrarre le velocità.

Imponiamo anche che sia v > V :

t_R = s/(v - V)

Dobbiamo imporre anche v ≠ V per non fare annullare il denominatore.

Sommiamo i due tempi per ottenere t:

t_Pi = t_A + t_R = s/(v + V) + s/(v - V)

t_Pi = [s (v - V)+ s(v + V)]/(v² - V²) = (sv - sV + sv + sV)/(v² - V²) = 2sv/(v² - V²)

Per confrontarlo con il tempo di Pappo, facciamo comparire nell'espressione appena trovata la quantità t_Pa= 2s/V. Non è difficile, basta moltiplicare e dividere per v² (v deve essere maggiore di zero se no non ci sarebbe gara...):

t_Pi = (2sv/v²) ·  1/(v²/(v² - V²)) = (2s/v) · 1/(v²/(v² - V²))

dividiamo numeratore e denominatore dell'ultima parentesi per v²

t_Pi = (2s/v)/((v²/v²)/((v² - V²)/v²)) = (2s/v) · (1/(1 - V²/v²))

ossia:

t_Pi = t_Pa · (1/(1 - V²/v²))

e ancora:

t_Pa/t_Pi = 1 - V²/v²

Ricordiamoci che abbiamo imposto v > V... ne segue che il rapporto tra i tempi è SEMPRE minore di 1, dato che togliamo a 1 una quantità sempre positiva (quadrato) e minore di 1.

Come accennato all'inizio, Pappo impiega sempre un minor tempo rispetto a Pippo.

L'ipotesi V ≥ v non avrebbe alcun senso, dato che NON farebbe mai tornare indietro Pippo, che rimarrebbe a metà percorso (proverebbe a tornare ma il nastro che va più veloce di lui lo porterebbe indietro).

L'unica possibilità di pareggio si ha quando V = 0, ossia se il nastro trasportatore NON FUNZIONASSE. 

P.S.: In Italia, questa sarebbe la soluzione più frequente!

Il quiz lo trovate QUI