Il problema della quintica si risolve con tanta pazienza, molta algebra elementare e un po' di fantasia! Andy c'è riuscito molto bene.

Le tre espressioni di partenza (che devono essere accettate come tali) sono

a + b + c = 1                      …. (1)

a² + b² + c² = 2                  …. (2)

a³ + b³ + c³ = 3                  …. (3)

Qualcuno potrebbe pensare che il gioco continui..

a⁴ + b⁴ + c⁴ = 4

a⁵ + b⁵ + c⁵ = 5

eccetera, eccetera …

No, assolutamente no! La faccenda è molto meno semplice e non si può sperare di trovare una qualche formula ricorrente basandosi solo su quello che conosciamo. La faccenda rimane di algebra elementare, ma il lavoro da compiere è abbastanza lungo. Andy, dopo un primo tentativo troppo semplice, ha trovato la strada giusta. Il procedimento che seguo io è molto simile al suo, anche se non del tutto identico (chissà quanti altri metodi si potrebbero utilizzare), e tocca gli stessi punti chiave. Questo è il bello della matematica che può diventare un vero gioco in cui la fantasia ha campo libero. Grazie ancora ad Andy che oltre a maneggiare l’algebra con grande maestria non si fa mai mancare la fantasia. Un lettore “attivo” molto prezioso!

Bando alle ciance e cominciamo …

Risolviamo per prima l’espressione

a⁵ + b⁵ + c⁵

Cominciamo a moltiplicare tra loro la (2) e la (3)

(a² + b² + c²)(a³ + b³ + c³) = 6

Occupiamoci della parte sinistra dell’espressione

a⁵ + b⁵ + c⁵ + a²b³+ a²c³ + b²a³ + b²c³ + c²a³ + c²b³         …. (4)

Notiamo che i primi tre termini sono proprio quelli della espressione che vogliamo ricavare…

Organizziamo meglio la (4)

a⁵ + b⁵ + c⁵ + a²b²(a + b) + b²c²( b + c) + a²c² (a + c)         …. (5)

E’ giunto il momento di usare l’espressione (1), ossia a + b + c = 1

Essa ci dice che:

a + b = 1 – c

b + c = 1 – a

a + c = 1 – b

Andiamo a sostituire queste espressioni nella (5)

a⁵ + b⁵ + c⁵ + a²b²(1 - c) + b²c²(1 - a) + a²c²(1 - b) =

a⁵ + b⁵ + c⁵ + a²b² + b²c² + a²c² – a²b² c – ab²c² – a²bc² =

a⁵ + b⁵ + c⁵ + a²b² + b²c² + a²c² – abc (ab + bc + ac)             … (6)

Sospendiamo per un attimo lo sviluppo di questa espressione e torniamo alle tre espressioni di partenza. In particolare, eleviamo la (1) al quadrato:

(a + b + c)² = (1)² = 1

a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2 bc = 1

a² + b² + c² + 2(ab + ac + bc) = 1

Ma sappiamo quanto vale somma dei primi tre termini, ossia sappiamo che:

a² + b² + c² = 2

Sostituiamo …

2 + 2(ab + ac + bc) = 1

ab + ac + bc = -1/2

Bene, possiamo inserire questo risultato nella (6) e ottenere:

a⁵ + b⁵ + c⁵ + a²b² + b²c² + a²c² + abc(1/2)                 …. (7)

Vediamo, adesso, come ricavare abc.

Riprendiamo nuovamente la (1) ed eleviamola al cubo. Ovviamente, ancora una volta, il risultato sarà uguale a 1, dato che (a + b + c) = 1:

1 = (a + b + c)³ =  (a + b + c) ∙ (a + b + c)² = (a + b + c) ∙ (a² + b² + c² + 2(ab + ac + bc))

1 = a³ + b³ + c³ + 2abc + 2bac + 2cab + ab² + ac² + ba² + bc² + ca² + cb² + 2a²b + 2a²c + 2ab² + 2b²c + 2ac² + 2bc²

Ma sappiamo anche che a³ + b³ + c³ = 3. Inoltre ho raccolto un po' di termini uguali (si poteva anche ricordare subito la formula relativa al cubo di un trinomio):

1 = 3 + 6abc + 3a²b + 3a²c + 3ab² + 3b²c + 3ac² + 3bc²

1 = 3 + 6abc + 3(a²b + a²c + ab² + b²c + ac² + bc²)

1 = 3 + 6abc + 3(a²(b + c) + b²(a + c)+ c²(a + b))

Ricordiamo nuovamente che

b + c = 1 – a

a + c = 1 – b

a + b = 1 – c

Sostituiamo …

1 = 3 + 6abc + 3(a²(1 - a) + b²(1 - b)+ c²(1 - c))

1 = 3 + 6abc + 3(a² – a³ + b²- b³ + c² – c³)

Non ci resta che ricordare che a² + b² + c² = 2 e  a³ + b³ + c³ = 3 (espressioni di partenza) e sostituire:

1 = 3 + 6abc + 3(2 – 3)

E, infine, ricavare il valore di abc

abc = 1/6

Possiamo tornare alla (7) e sostituire il valore di abc

a⁵ + b⁵ + c⁵ + a²b² + b²c² + a²c² + 1/6 (1/2)

a⁵ + b⁵ + c⁵ + a²b² + b²c² + a²c² + 1/12           …. (8)

Dobbiamo ancora determinare in qualche modo la somma dei quadrati di ab, ac e bc.

Abbiamo, però, già ricavato il valore di (ab + ac + bc) che vale  – 1/2

Facciamone il quadrato, sapendo già quanto deve valere:

(ab + ac + bc)² = (-1/2)(-1/2) = 1/4

1/4 = (ab + ac + bc)² = a²b² + b²c² + a²c² + 2a²bc + 2ab²c + 2abc²

1/4 = a²b² + b²c² + a²c² + 2abc(a + b + c)

Fantastico! Conosciamo anche l’ultimo termine ed esso vale 2 ∙ 1/6 ∙ (1) = 1/3. Sostituiamo e ricaviamo il valore di a²b² + b²c² + a²c² :

1/4 = a²b² + b²c² + a²c² + 1/3

a²b² + b²c² + a²c²  = 1/4 - 1/3 = (3 – 4)/12 = - 1/12

a²b² + b²c² + a²c²  = - 1/12

Finalmente (questa volta veramente) possiamo concludere tornando alla (8) e sostituire l’ultimo valore trovato

a⁵ + b⁵ + c⁵ - 1/12+ 1/12

Ricordiamo che tutto questo vale 6 e, quindi:

a⁵ + b⁵ + c⁵ - 1/12+ 1/12 = 6

a⁵ + b⁵ + c⁵ = 6

 

Bene, bene … possiamo concludere che il risultato sia sempre un numero intero? No, non illudiamoci e proviamo a calcolare (anche se non richiesto) il valore di

a⁴ + b⁴ + c⁴

Impresa piuttosto facile, con le conoscenze acquisite precedentemente.

Basta fare il quadrato di a² + b² + c²…

(a² + b² + c²)( a² + b² + c²) = a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2(a²b² + b²c² + a²c² )

Ma, ormai, sappiamo che a²b² + b²c² + a²c² = - 1/12

(a² + b² + c²)( a² + b² + c²) = a⁴ + b⁴ + c⁴ - 2/12 = a⁴ + b⁴ + c⁴ – 1/6

Ma sappiamo anche che

(a² + b² + c²)( a² + b² + c²) = 2 ∙ 2 = 4

Possiamo allora scrivere:

4 = a⁴ + b⁴ + c⁴ – 1/6

a⁴ + b⁴ + c⁴ = 1/6 + 4

a⁴ + b⁴ + c⁴ = 25/6  

 

Trovato il valore della quartica, diventa molto facile trovare anche il valore relativo alla”sestica” (si dice così?), che, comunque si potrebbe anche determinare prima di tutti gli altri.

a⁶ + b⁶ + c⁶

Questa volta calcoliamo il cubo del trinomio a² + b² + c² = 2

2³ = 8 = (a² + b² + c²)³ = a⁶ + b⁶ + c⁶ + 3a⁴b² + 3a⁴c² + 3b⁴c² + 3b⁴a² + 3a²c⁴ + 3b²c⁴ + 6a²b²c²

(se non ricordate la formula finale del cubo di un trinomio, potete sempre moltiplicare l’espressione all’interno della parentesi per se stessa due volte… algebra “noiosa” ma elementare)

Conosciamo già il valore di abc che vale 1/6, per cui 6(abc)(abc) = 6/36 = 1/6

8 = 1/6 + a⁶ + b⁶ + c⁶  + 3a⁴b² + 3a⁴c² + 3b⁴c² + 3b⁴a² + 3a²c⁴ + 3b²c⁴

Raccogliamo qualcosa …

8 = 1/6 + a⁶ + b⁶ + c⁶  + 3a⁴ (b² + c²) + 3b⁴ (c² + a²) + 3c⁴(a² + b²)

E sostituiamo …

8 = 1/6 + a⁶ + b⁶ + c⁶  + 3a⁴ (2 – a²) + 3b⁴ (2 – b²) + 3c⁴(2 – c²)

8 = 1/6 + a⁶ + b⁶ + c⁶  + 6a⁴ + 6b⁴ + 6c⁴– 3a⁶ – 3b⁶ – 3c⁶

8 = 1/6 + a⁶ + b⁶ + c⁶  + 6(a⁴ + b⁴ + c⁴) – 3(a⁶ + b⁶ + c⁶)

Sappiamo, però che la somma a⁴ + b⁴ + c⁴  è uguale a 25/6 e, inoltre possiamo raccogliere i termini alla sesta potenza:

8 = 1/6 -2(a⁶ + b⁶ + c⁶) + 6(25/6)

8 = 1/6 -2(a⁶ + b⁶ + c⁶) + 25

a⁶ + b⁶ + c⁶ = 25/2 + 1/12 – 8/2

a⁶ + b⁶ + c⁶ = ((25 ∙ 6) + 1 – (8 ∙ 6))/12 = (150 + 1 – 48)/12

a⁶ + b⁶ + c⁶ = 103/12

Banale Watson, veramente banale!

 

P.S.: In realtà, tutti questi calcoli potrebbero ridursi al calcolo di un identità scoperta dal solito Newton (per l’esattezza da Newton e Girard o ancora meglio da Girard e Newton), che è relativa ai polinomi simmetrici e che li lega proprio ai polinomi composti da somma di potenze. Ma, forse, potremmo farne a meno... Boh... la notte porta consiglio.

P.S.2: La notte ha portato consiglio... non so se sia quello giusto, ma me l'ha dato Newton in sogno quindi non potevo non ascoltarlo! Ecco a voi l'identità di Girard-Newton, ovvero la formula ricorrente per risolvere il quiz.