Continuiamo con la nostra integrazione per parti e facciamo un paio di esempi (QUI l'articolo precedente).

Ricordiamoci innanzitutto la formula che ci dà la derivata di un prodotto di funzioni. Per semplicità di scrittura, invece di f(x) o g(x), scriviamo solo f e g, così come facciamo per le derivate (f’(x) = f’ e g’(x) = g’). Quando sarà il momento scriveremo tutto per bene…

(f g)’ = f’ g + f g’

e scriviamola in questo modo:

f g’ = (f g)’ - f’ g                       .... (1)

L’integrale che noi vorremmo risolvere è della forma

∫f G

Ossia l’integrale del prodotto di due funzioni. Se il prodotto f G non è riconducibile in qualche modo a una derivata, è impossibile trovare la sua primitiva ossia quella funzione la cui derivata è proprio f G. Come sappiamo l’integrale ci obbliga a scrivere la primitiva di una funzione e poco importa che sia un prodotto di due funzioni. Se non ne siamo capaci tutto sembra arenarsi …

Tuttavia, c’è una POSSIBILE via di salvataggio (non è assicurato, però, che capiti e che vi sia una soluzione immediata): la funzione G (da sola) è proprio la derivata di una funzione nota, ossia di lei conosciamo immediatamente l’integrale, ossia la sua primitiva. Ad esempio se G fosse 1/x sapremmo subito che la funzione ln|x| è una sua primitiva, in quanto la derivata di ln|x|) è proprio 1/x. In altre parole, possiamo scrivere che G = g’.

L’integrale che vorremmo risolvere è quindi della forma

∫f G = ∫f g’

Ma la (1) ci dice che:

f g’ = (f g)’ – f’ g

integrando …

∫f g’ = ∫(f g)’ - ∫f’ g                        .... (2)

Cosa è successo?

Beh … il membro a sinistra è proprio l’integrale che vorremmo risolvere. A destra abbiamo l’integrale di una derivata e quindi la sua primitiva è immediata (vale f g) e poi c’è un “nuovo” integrale che ha al suo interno la derivata della funzione f e una funzione g, che per quanto abbiamo stabilito fin dall’inizio è proprio una primitiva della funzione G (la derivata di g è proprio G).

In realtà non abbiamo ancora risolto nulla, ma abbiamo scritto il nostro integrale di partenza come differenza tra un integrale di cui conosciamo il risultato, dato che contiene proprio una derivata) e un integrale che POTREBBE essere più semplice di quello iniziale.

Abbiamo, in pratica, “spostato” il problema, affidandoci al fatto che siamo in grado di calcolare sia la derivata di f, sia l’integrale di G.

Lo schema da seguire è quindi molto semplice:

prendo f e ne faccio la derivata f’

prendo G e ne faccio l’integrale g

(ricordiamo ancora che g’ = G e quindi che l’integrale di G è proprio uguale a g)

L’integrale del prodotto di queste funzioni è un nuovo integrale che si spera (ma abbiamo già fatto una scelta nella giusta direzione) sia più immediato di quello di partenza.

Riprendiamo ancora la (2)

∫f g’ = ∫(f g)’ - ∫f’ g

Il primo membro è proprio l’integrale di partenza, mentre il secondo membro diventa ora

∫f g’ = (f g) - ∫f’ g                     .... (3)

Ossia un semplice prodotto di funzioni MENO un integrale diverso da quello iniziale.

 

Facciamo subito una prova pratica che spiega molto di più di tante parole …

L’integrale da calcolare sia quello del prodotto delle funzioni x e cos(x).

∫x cos(x) dx

Scriviamo la (3)

∫x cos(x) dx =  ∫x (d(sen(x)/dx) dx =  (x sen(x)) - ∫1 sen(x) dx

Ripetiamo ancora cosa abbiamo fatto.

Abbiamo considerato cos(x) come la derivata di sen(x). Poi abbiamo scritto il prodotto tra f(x) = x e la primitiva di cos(x), ossia di quella funzione la cui derivata è proprio cos(x). Essa è sen(x). Dentro l’ultimo integrale deve comparire la derivata di f(x) = x che è uguale a 1 moltiplicato per la solita primitiva di G = g’, ossia g = sen(x).

L’ultimo integrale, però, è diventato molto più semplice di quello di partenza, dato che si è ridotto semplicemente all’integrale di sen(x) ossia è uguale a quella funzione la cui derivata è sen(x). E questa funzione è immediata in quanto vale - cos(x).

In conclusione, il nostro integrale di partenza è stato risolto, in quanto:

∫x cos (x) dx = x sen(x) – (- cos(x)) = x sen(x) + cos x

Lo schema è allora il seguente:

Funzione f(x) = x             Funzione G(x) = g’(x) = sen(x)

f’ = 1                                   g(x) = ∫G(x) = ∫sen(x) = - cos(x)                (La derivata di – cos(x) è proprio sen(x))

All’atto pratico devo saper fare solo la derivata della prima funzione e l’integrale della seconda.

 

Proviamo con qualcosa di “leggermente” più difficile:

∫x ln(x) dx

Consideriamo come derivata la funzione x. La sua primitiva è x²/2.

G = g’ = x

f = ln(x)

∫f g’ = fg - ∫f’g

Devo saper fare la derivata di f(x) = ln(x)                   che è 1/x

devo saper fare l’integrale di G = g’(x) = x                 che è x²/2

∫ ln(x) x dx = ln(x)(x²/2) - ∫(1/x)(x²/2) dx

∫ ln(x) x dx = ln(x)(x²/2) – 1/2 ∫x dx

∫ ln(x) x dx = ln(x)(x²/2) – 1/2 (x²/2) + c

∫ x ln(x) dx = (x²/2) (ln(x) – 1/2) + c

Meditateci sopra per bene e se non avete compreso qualcosa chiedete pure senza crearvi problemi: non conoscere è cosa del tutto normale, NON voler conoscere è cosa molto negativa.

continua ...

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