Un altro metodo piuttosto semplice per integrare qualcosa che sembrerebbe a prima vista piuttosto difficile è quello che comporta una sostituzione di variabile.

A titolo di esempio, se abbiamo una certa funzione g(x), potremmo porre t=g(x) e sperare di migliorare la situazione. Ciò che prima appariva come un integrale difficile, si trasforma, magicamente, in un integrale molto più facile se non immediato.

Tutto si basa sulla formula della derivazione di funzione di funzione. Ricordiamone la formula:

d(f(g(x))/dx = f '(g(x)) g'(x)

E di conseguenza

∫(d(f(g(x))/dx) dx = ∫f '(g(x)) g'(x) dx

Se poniamo

g(x) = t         .... (1)

il secondo membro diventa:

∫f '(t ) dt

Infatti, derivando la (1):

d(g(x))/dx = dt/dx

g'(x) dx = dt

E' quindi necessario che all'interno dell'integrale vi sia una funzione, di cui è nota la primitiva, moltiplicata per la sua derivata.

Facciamo subito un esempio che vale più di tante parole...

∫x² sen(x³) dx

La derivata potrebbe benissimo essere sen(x³), di cui conosciamo la primitiva...

Poniamo

t = x³

Deriviamo:

dt = 3x² dx

Moltiplichiamo e dividiamo il nostro integrale per 3

∫(3x²)/3) sen(x³) dx

Eseguiamo la sostituzione

∫(3x²/3) sen(x³) dx = (1/3)∫sen(x³) 3x² dx = (1/3)∫sen(t) dt

L'integrale è ora banale: la primitiva di sen(t) non è altri che - cos(t). Ne segue:

(1/3)∫sen(t) dt = - (1/3) cos(t) + c

Torniamo all'integrale di partenza, che è uguale a quello appena risolto, inserendo nuovamente t = x³

∫x² sen(x³) dx = - (1/3) cos(x³) + c

 

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