Il perimetro di un'ellissi ...
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Chiediamo a un ragazzino di scuola media quanto vale il perimetro di una circonferenza. Molto probabilmente (speriamo, almeno...) ve lo dirà subito. Proviamo adesso a chiedere a uno studente universitario quanto vale il perimetro di un'ellissi. Scommettiamo che non saprà rispondere... e voi?
Ebbene sì... ci aveva provato anche Keplero, ma si era dovuto accontentare di un'approssimazione. Non esiste, infatti, una formula corretta per determinare il perimetro di un'ellisse. Uno dei risultati migliori è stato dato dal genio matematico indiano Ramanujan. Ricordiamo, ancora una volta, ciò che disse di lui Kangel un secolo dopo la sua morte:
«Ramanujan fu un matematico così grande che il suo nome trascende le gelosie, il più superlativamente grande matematico che l'India abbia prodotto nell'ultimo migliaio di anni. I suoi balzi di intuizione confondono i matematici ancor oggi, sette decenni dopo la sua morte. I suoi scritti sono ancora scandagliati per i loro segreti. I suoi teoremi sono applicati oggi in aree difficilmente immaginabili quando era in vita.»
Eppure anche questo inarrivabile genio si è dovuto accontentare di un'approssimazione!
Vi chiedo, allora, come è mai possibile che per l'area del cerchio e dell'ellissi esistono due forme corrette e di uso comune, mentre ne esiste una solo per la circonferenza e non per l'ellissi? Datemi una risposta immediata e poi andremo un po' più a fondo.
Soluzione: Con sommo piacere annuncio che la soluzione è stata data da Frank nei commenti!
7 commenti
Proseguo a farmi del male, ho sempre dato per scontato che ci fosse un modo per determinare il perimetro dell'ellisse specialmente trattando di astronomia dove si da per scontata la conoscenza della lunghezza delle orbite dei pianeti. Quindi non sappiamo quanto lunga realmente l'orbita della Terra? Ho dato una scorsa alle varie formule ma non capisco quanto sia il valore della approssimazione, insomma come nel caso dell'orbita terrestre di che approssimazione si parla? O meglio diciamo che dipende dalla radice che prima o poi devo approssimare, mentre nel caso del cerchio devo approssimare solo 3,14.
caro Frank... hai detto una profonda verità!
Il perimetro di un cerchio, come quello di qualsiasi altra ellisse NON, è assolutamente calcolabile con esattezza! E questo proprio perché contiene il pi greco che è sempre e soltanto un'approssimazione. Se mi fermo a 3.14 commetto un errore più grande che se usassi un'approssimazione dell'ellisse (lavorando sui suoi semiasse) usando un pi greco con cento cifre decimali! Insomma non siamo capaci a misurare perimetri, aree delle ellissi, compreso il cerchio...
Beata incommensurabilità, facciamocene una ragione.
Visto che non ci sono asterischi...azzardo un commento. Se dal punto di vista del ragionamento matematico, avendo a che fare con un numero irrazionale si avranno sempre e solo soluzioni approssimate, dal punto di vista fisico se potessimo disporre di una sufficiente estensione del π, che consentisse di approssimare nell'ordine di grandezza della lunghezza di Planck, potremmo dire di conoscere esattamente la circonferenza.
Vi prego, non massacratemi troppo...
no, no... direi che hai proprio ragione, così come per il cerchio. Otterremmo -fisicamente- la quadratura del cerchio!! Sempre nei limiti imposti da Heisenberg...
Per il calcolo del perimetro della circonferenza l’approssimazione data dal π è accettato per la sua approssimazione: per l’ellisse questa approssimazione non c’è.
Ma siamo sicuri?
Il fatto è che ci siamo bloccati sull’”Integrale ellittico……………….” in attesa che qualcuno lo risolva: e nel frattempo?
Eppure! Zappalà forse sei troppo giovane per sapere che una volta si ricorreva, alla pesata per le aree o alla quadratura delle curve per il perimetro.
Facciamo un esempio empirico alla ERATOSTENE maniera, che piantò un palo in Alessandria e dalla sua ombra dedusse il valore della curvatura terrestre.
Se prendo un cerchio di metallo e lo stringa su due poli ottengo una ellisse e più stringo e più il cerchio, cioè l’ellisse, si allarga fino al toccarsi dei due poli.
Tutte queste ellissi formeranno una “famiglia di ellissi” che avranno sempre lo stesso perimetro del cerchio di partenza.
Qual è allora l’ellisse che corrisponde a questo cerchio?
Un Teorema di geometria dimostra questa corrispondenza.
Ecco due Applet che illustrano l’applicazione del Teorema:
1) Corrispondenza tra Ellisse e Circonferenza
https://www.geogebra.org/m/rmqyfpxf
2) Calcolo di un arco di Ellisse
https://www.geogebra.org/m/bwdsjapc
M.Vagliecoπ
caro Vaglieco,
a parte che ti ringrazio per darmi del troppo giovane (75 compiuti, come puoi vedere nella presentazione). E poi dici esattamente ciò che dico io... ed Eratostene, Pitagora, ecc. li conosco molto bene, stai sicuro /a