Grazie al nostro amico Giorgio mi è tornato in mente questo vecchio articolo, già inserito nell'archivio (in Spaziotempo/Cosmologia), in cui si affrontano in modo veramente semplice (spero...) argomenti come il cono di luce, lo spaziotempo, l'espansione dell'Universo, la legge di Hubble, ecc. Una novità per i nuovi arrivati e magari una rinfrescata per chi lo ha letto parecchio tempo fa...

 

Due dei concetti più “indigesti” per entrare nella “filosofia” dell’Universo sono senz’altro lo spazio-tempo e una sua rappresentazione utilissima: il cono di luce. Vorrei dimostrare che sono, invece, alla portata di tutti e che tutti, ogni giorno, li vivono in prima persona, magari senza accorgersene..

Per essere estremamente semplice, considero, nella prima parte, lo spazio-tempo vicino a noi, legato alle azioni quotidiane. Posso, quindi, permettermi di  trascurare alcune situazioni che nella seconda parte dovranno, invece, fare la loro comparsa. La semplificazione più importante (ma più che accettabile per il teatro della nostra avventura) è l’espansione dello spazio e -a maggior ragione- le deformazioni dello stesso a causa delle masse. Gli oggetti celesti mantengono, perciò, la stessa distanza tra di loro e lo spazio è immutabile. Li consideriamo fermi, ossia senza alcun movimento proprio: si muovono solo nella direzione del tempo (nascono, crescono, invecchiano e si trasformano).

Per adesso, però, non occupiamoci di stelle, ma solo di scolari che alla mattina devono andare a scuola.

 

Lo spazio-tempo in un paese di montagna.

L’inizio delle lezioni è fissato per le ore 9. Siamo in un piccolo paese e anche la scuola è piccola e non ha luoghi riparati dove poter aspettare il primo suono della campanella.  E’, inoltre, un luogo di montagna, molto freddo: aspettare all’esterno è decisamente sconsigliato. E’ stato, perciò, espressamente chiesto ai genitori di fare arrivare gli scolari all’ora esatta di apertura, alle 9 in punto, non un secondo prima e nemmeno uno dopo. Il custode è sulla porta della scuola a controllare l’arrivo degli scolari.

Come dicevo, il paese è piccolo e non ci sono mezzi pubblici. Fortunatamente, non vi sono nemmeno pericoli e gli scolari possono benissimo recarsi a scuola a piedi. Ovviamente, però, c’è che abita vicino alla scuola e chi abita molto più lontano. Per potere arrivare tutti assieme all’ora esatta i vari scolari devono partire da casa a orari diversi. La montagna, però, insegna a camminare e a usare un passo cadenzato e costante. Ne segue che tutti gli  scolari camminano alla stessa velocità. Ossia, percorrono la stessa distanza nello stesso intervallo di tempo. In particolare, tutti gli scolari percorrono dieci metri in un minuto. Una velocità bassa, ma almeno non sudano e il vento freddo che scende dalle vette imbiancate non gli causa mal di gola o raffreddore.

La Fig. 1 ci mostra il villaggio. Ho messo in evidenza quattro scolari (A, B, C, D) che devono recarsi alla scuola S. A abita a 400 metri dalla scuola, B a 100 metri, C a 200 metri e D, il più fortunato, a 50 metri. Dato che la velocità di ognuno è 10 metri al minuto, A impiega 40 minuti per arrivare a scuola, B ne impiega 10, C 20 e D soltanto 5 minuti (può dormire più a lungo di tutti).

La domanda è, allora: “Sappiamo il tempo necessario per arrivare a scuola e sappiamo che tutti e quattro devono arrivarci alle 9 esatte. A che ora ogni scolaro deve uscire da casa per essere sicuro che con il suo passo cadenzato e preciso (velocità costante) raggiunga la scuola all’ora giusta?”

La risposta è veramente banale e qualsiasi bambino delle elementari è capace di rispondere. A sa che deve camminare per 40 minuti, per cui deve uscire da casa alle ore 9 meno 40 minuti, ossia alle 8 e 20. Analogamente, B deve partire alle 8 e 50, C alle 8 e 40 e D (non commentiamo più la sua fortuna) alle 8 e 55. Scriviamo anche questi orari vicini alle case  e otteniamo la Fig. 2.

A questo punto, abbiamo in mano tutti i dati per descrivere percorso e tempi necessari. Tuttavia, nella figura vi sono troppi numeri, alcuni legati allo spazio da percorrere e altri legati al tempo che passa. Si può fare confusione.

Facciamo allora finta che il paese in cui si muovono gli scolari sia il piano in cui ho disegnato le case e la scuola. “Schiacciamo” tutto su questo piano. Immaginiamo, in altre parole, che le abitazioni, la scuola e gli scolari non abbiano altezza. Le case e la scuola si riducono a dei rettangoli e gli scolari a dei cerchietti. In altre parole, è come se vedessimo tutto da grande altezza, appiattito, o come se il paese fosse dipinto su un quadro.

Perché lo facciamo? Per disegnare anche il tempo. Al posto delle altezze mettiamo il tempo che scorre andando verso l’alto, come indicato nella Fig. 3.

Il paese, le sue abitazioni e la scuola vengono rappresentati in Fig. 4. Avendo un asse del tempo, potremmo  benissimo eliminare gli orari di partenza e di arrivo e il tempo necessario ad arrivare a scuola. Questi numeri li inseriremo direttamente nel nuovo tipo di figura, proprio lungo l’asse del tempo.

Prima di andare avanti nel discorso, riflettiamo un momento su ciò che comporta questa semplice e utilissima rappresentazione. Lo spazio, ossia il piano in cui ho disegnato il paese, le sue case e abitanti, è relativo solo e soltanto a un tempo t ben determinato. Un minuto (ma anche un secondo o una frazione di secondo) dopo, il paese è già diverso da prima. Le case hanno magari una piccola fessura in più. Gli abitanti sono impercettibilmente più vecchi e si sono spostati, la neve caduta è leggermente superiore, e via dicendo.

L’intero paese è cambiato, anche se a prima vista non si nota. Che cosa voglio dire? Che lo spazio cambia costantemente con il tempo. A ogni secondo (o frazione di secondo) dovrei rappresentare un nuovo spazio. Ciò vuole anche dire che mentre lo scolaro si muove dalla sua casa verso la scuola non percorre soltanto una distanza nello spazio, ma descrive una traiettoria spazio temporale. Ossia si muove nello spazio e nel tempo.

Abbiamo definito una traiettoria spazio-temporale! Ed è quella che fa ciascuno di noi quando cammina, ma anche quando sta fermo. Nell’ultimo caso, non si è mosso nello spazio, ma è lo spazio a essersi mosso, cambiando continuamente al variare del tempo. L’utilizzo delle Fig. 4  ci permette di disegnare questa traiettoria spazio-temporale, come possiamo vedere nella Fig. 5, relativa al percorso fatto dallo scolaro che abita nella casa A.

Alle ore 8 e 20 minuti la casa di A è il rettangolino rosso scuro e la scuola S il rettangolino azzurro chiaro. Entrambe stanno nello stesso spazio, quello relativo al tempo 8 ore e 20 minuti. In questo spazio la distanza da percorrere tra casa e scuola è sA. Questa distanza non cambia al passare del tempo, dato che sia la casa A che la scuola S non si muovono. Infatti, al tempo 9 ore e 0 minuti la casa si viene a trovare in A’ (rettangolino rosa chiaro), mentre la scuola S si è spostata in S’ (rettangolino blu scuro). La loro distanza, nel nuovo spazio relativo al tempo 9 ore e 0 minuti, non è assolutamente cambiata.

Quali sono stati esattamente i loro spostamenti nello spazio-tempo? Facile a dirsi: le traiettorie AA’ e SS’, parallele tra loro e all’asse del tempo. Non essendosi mosse nello spazio, hanno viaggiato solo nel tempo. La distanza è la stessa, ma il tempo è passato comunque. Entrambe avranno sul tetto un po’ più di neve, un vetro si sarà sporcato, il vento avrà fatto cadere una tegola, e cose del genere.

Possiamo perciò dire senza paura che sia la casa che la scuola si sono spostate nello spazio-tempo, ma di un movimento spaziale uguale a zero e di un intervallo di tempo uguale a 9 ore e 0 minuti meno 8 ore e 20 minuti, ossi a 40 minuti. La velocità, che si misura in spazio diviso per il tempo, è quindi data da zero metri divisi per 40 minuti. Abbiamo zero al numeratore e quindi anche il risultato della divisione è zero, quindi la loro velocità è zero. Come volevasi dimostrare: non si sono mosse.

Ben diversa è la situazione dello scolaro che in quei quaranta minuti percorre lo spazio che va da A a S. Ad ogni istante, lui si trova in uno spazio diverso (questo succede anche alle case e alla scuola) ma anche in una posizione diversa rispetto al tempo precedente. Ad ogni istante si avvicina sempre di più alla scuola e si allontana sempre più da casa. La sua traiettoria spazio temporale è il segmento AS’.

Cerchiamo di comprender bene la situazione. AS’ non può misurarsi in metri o in minuti, dato che è una traiettoria che avviene sia nello spazio che nel tempo. Infatti, lo spazio percorso dallo scolare è comunque solo e soltanto sA. AS’, che esiste solo in un grafico che non riusciamo a vedere praticamente, ma che rappresenta veramente la realtà dell’Universo, indica molto bene la velocità con cui si è mosso lo scolaro. L’angolo che la traiettoria AS’ fa con l’asse del tempo indica proprio di quanto lo scolaro si sposta nell’unità di tempo. Se quest’angolo diventa più piccolo vuol dire che lo scolaro va più piano: nello stesso intervallo di tempo percorre uno spazio minore. Se, invece, l’angolo si allarga vuol dire che lo scolaro va di corsa, percorrendo, sempre nella stesso intervallo di tempo, uno spazio ben maggiore.

Se, infatti, facessi partire da casa tutti e quattro gli scolari alla stessa ora (per esempio alle 8 e 20) vedrei che la traiettoria BS’, CS’ e, a maggior ragione, DS’ formerebbero angoli diversi con l’asse del tempo (ossia con SS’). Tutti sarebbero più “acuti” rispetto a quello di AS’, dato che tutte e tre le case sono più vicine alla scuola. In particolare, l’angolo di DS’ sarebbe estremamente piccolo, ossia lo scolaro di D andrebbe veramente al rallentatore! Questa figura la lascio disegnare a voi per vedere se avete compreso bene il concetto.

 

Il cono di luce della scuola.

A noi interessa, invece, che gli scolari si muovano all’ora giusta per arrivare puntuali a scuola, andando tutti alla stessa velocità. Questa situazione la vediamo nella Fig. 6.

Cosa succede esattamente? Ve lo descrivo passo dopo passo. Iniziamo con lo scolaro di A. La sua traiettoria spazio-temporale la conosciamo già: è data da AS’. Lui è partito alle 8 e 20 ed è arrivato esattamente a scuola alle 9. Lo scolaro di B, invece, impiega solo 10 minuti per raggiungere la scuola e allora può stare tranquillamente a casa (magari anche a dormire) fino alle 8 e 50, ossia fino al punto B’. Poi esce e raggiunge la scuola in dieci minuti, arrivando anche lui esattamente alle 9. Qual è stata la sua traiettoria spazio temporale dalle 8 e 20 fino alle 9? Facile a vedersi nella figura. Dalle 8 e 20 fino alle 8 e 50 é stata una traiettoria solo temporale, avendo seguito esattamente quella della sua casa (BB’). Poi, dalle 8 e 50 alle 9 ha percorso il segmento spazio-temporale B’S’. L’angolo tra B’S’ e l’asse del tempo è uguale a quello formato da AS’, dato che entrambi gli scolari vanno alla stessa velocità.

Analogo discorso vale per C. Esso descrive il tratto da C a C’ e poi il segmento C’S’, che (devo ancora ripeterlo?) forma un angolo con l’asse del tempo uguale a quello delle traiettorie precedenti. Infine, D se ne sta tranquillo fino a D’ e poi percorre la breve traiettoria D’S’. Notate, ancora una volta, che lo spazio percorso dai quattro scolari è quello che è, come nel caso della Fig. 1. Anche il tempo è passato ugualmente per tutti e quattro. E cambiata, invece, la traiettoria spazio-temporale.

Mettiamoci, adesso, nei panni del custode della scuola che aspetta sulla porta con l’orologio in mano. Lui non si è mai mosso e ha seguito la traiettoria della scuola da S a S’. Ormai conosce bene gli scolari e non si meraviglia di certo di vederli arrivare, contemporaneamente, all’ora esatta. Li vede arrivare tutti assieme, anche se provenendo da direzioni diverse. Il custode non abita, però, in paese e non conosce le abitazioni dei ragazzi. Per lui sono soltanto scolari puntuali.

Li vede arrivare nello stesso momento ma non può sapere a che ora sono partiti e che distanza hanno dovuto percorrere.

Vi rendete conto di quello che ho appena detto? Una frase fondamentale per chi osserva il Cielo notturno. Analogamente al custode della scuola, anche il nostro osservatore vede contemporaneamente centinaia di oggetti luminosi senza poter sapere quando è partita la loro luce e quale traiettoria spazio-temporale ha dovuto percorre. Di conseguenza, non sa nemmeno quanto distanti sono da lui. Possono essere come D che abita vicinissimo a scuola o come A che ha una casa molto lontana.

La visione delle stelle non ci permette di sapere se sono vicine o se sono lontane. Nemmeno possiamo sapere se la loro luce è partita migliaia di anni prima o solo da pochi anni. Di fronte all’Universo siamo esattamente come il custode della scuola: vediamo soltanto la luce di oggetti celesti che arriva puntualmente a scuola, ossia al nostro occhio, nello stesso istante preciso, ad esempio OGGI. Da dove è partita e per quanto ha viaggiato rimane un mistero (che gli astronomi hanno però risolto). In altre parole, possiamo vedere stelle lontane e antiche (rispetto a noi) o stelle giovani e vicine, tutte nello stesso istante.

A titolo di esempio, vediamo contemporaneamente sia la luce della Luna che è partita solo poco più di un secondo prima sia quella di una stella che è partita migliaia di anni fa. Proprio un “mix” fantastico di spazio e di tempo, come volevasi dimostrare.

Vale la pena fare l’ultimo piccolo passo e definire il cono di luce della scuola e di conseguenza quello della nostra Terra o di qualsiasi altro oggetto celeste.

Finora abbiamo parlato di scolari che si recano a scuola. Immaginiamo, però, che la tormenta di neve sia proprio terribile. Il custode è riuscito ad arrivare a scuola, ma lo stesso non possono fare gli scolari. Tuttavia, il custode è una persona gentile e sensibile. Non riesce a stare tranquillo e ha chiesto un particolare favore a tutti gli scolari: all’ora esatta in cui avrebbero dovuto partire da casa devono accendere una luce molto intensa. Vedere le luci gli darebbe la garanzia che i ragazzi non sono dispersi nella bufera, ma al caldo delle loro case.

Purtroppo, questo stratagemma non funziona molto bene. Perché? Beh la luce delle lampadine non viaggia alla velocità degli scolari. E’ molto più veloce. Invece di dieci metri al minuto percorre ben trecentomila chilometri al secondo.

Si devono perciò rifare tutti i calcoli per sapere esattamente quando accendere le luci tenendo conto della distanza dalla scuola. Ovviamente, trattandosi di un paese che si estende per poche centinaia di metri, sarà sufficiente che accendano tutti e quattro la luce alle 9. Il custode le vedrà praticamente tutte assieme anche se in direzioni diverse. La luce percorre, infatti, le varie distanze in frazioni infinitesime di un secondo, come riporta la Fig. 7.

La sola differenza rispetto alla figura 7 è che i tempi di accensione differirebbero teoricamente tra loro solo di frazioni impercettibili di un secondo. Immaginiamo, quindi, che l’ultima figura abbia un asse del tempo che copra molto meno di un secondo, ossia sia dilatato in modo enorme. Facendo un po’ di calcoli si riuscirebbe comunque a disegnare la figura esatta.

Le traiettorie spazio-temporali, indicate, come al solito, dai segmenti rossi, sono adesso relative alla luce delle lampadine. Anch’essa ha una velocità costante (i famosi 300 000 km/sec) e quindi l’angolo tra esse e l’asse del tempo deve rimanere uguale, anche se adesso, nella scala della Fig. 7, sarebbe enormemente più grande (maggiore spazio percorso nell’unità di tempo).

Le varie linee rosse, facendo lo stesso angolo con SS’, descrivono una superficie conica (il cono è proprio descritto dall’insieme delle rette che formano un angolo costante rispetto a una retta fissa). Questo cono prende il nome di cono di luce e rappresenta proprio la direzione della luce inviata da punti diversi nello spazio e nel tempo che giunge in un certo momento all’osservatore.

Quello della figura è il cono di luce della scuola o  -se preferite- del suo custode. Dato che è un cono diretto verso il passato (è descritto dalle direzioni della luce che proviene dal tempo passato) rappresenta solo la parte relativa al passato. Vedremo, la prossima volta, cosa rappresenta la sua parte proiettata verso il futuro.

Se per la scuola e le abitazioni la luce che arriva alle 9 può essere tranquillamente inviata anche alle 9, dato che la luce percorre le distanze del paese in un tempo ridicolo, lo stesso non è più vero se invece di luci accese nelle case si considerano le luci delle stelle e delle galassie che distano migliaia, milioni o miliardi di miliardi di chilometri. Per loro il tempo può essere stato di anni, di milioni di anni e anche di miliardi di anni prima di raggiungere il custode.

Tuttavia, il cono di luce è sempre lo stesso, sia a piccole dimensioni che a dimensioni spaventosamente più grandi. Basta allungare le traiettorie spazio-temporali che confluiscono verso il custode. Se non ci fosse neve e non fosse giorno, lui vedrebbe contemporaneamente sia la luce delle lampadine che quella di stelle che hanno inviato la loro luce migliaia o milioni o miliardi di anni prima (negli ultimi casi dovrebbe però avere un telescopio molto potente!).

La Fig. 8 rappresenta, infine, il cono di luce applicato alle stelle e all’Universo nel suo insieme. Al posto del custode e della scuola inserisco tranquillamente la Terra T che posso considerare ferma rispetto alle stelle così lontane. Il custode, la scuola, il villaggio, coincidono con l’intera Terra, a questa scala.

Ogni stella (A, B, C, D) percorre la sua traiettoria temporale lungo le linee verdi, parallelamente a quella della Terra e dell’asse del tempo. Il cono di luce passato della Terra è il cono di color giallo-bruno. Ovviamente le stelle emettono luce continuamente, ma quella che riceviamo sulla Terra all’istante OGGI è solo quella che è partita dalle stelle nelle posizioni A’, B’, C’ e D’ (ai tempi tA’, tB’, tC’ e tD’) e che percorre le linee rosse che giacciono sul cono di luce della Terra relativo all’istante OGGI. Esattamente come capitava per gli scolari e la scuola. Ieri o domani il cono di luce era o sarà diverso, dato che la Terra T si sposta lungo l’asse del tempo. In altre parole, ieri e domani ha ricevuto o riceverà la luce delle stelle inviate in tempi diversi da quelli di oggi.

Per concludere: il cono di luce rappresenta tutto l’Universo che riusciamo a vedere in un certo istante. Non ditemi che l’Universo sembra stare tutto su una circonferenza (quella dell’intersezione del cono con uno spazio qualsiasi)! Ciò capita perché abbiamo considerato lo spazio schiacciato su un piano. Se potessimo disegnare lo spazio a tre dimensioni e aggiungere nella figura anche la quarta dimensione (il tempo), la circonferenza diventerebbe una sfera, proprio la sfera celeste che tutti conoscete molto bene e che vi mostra tutte le stelle visibili in un certo momento, senza però sapere quanto siano lontane e quanto siano vecchie.

Tanto per prendere dimestichezza con le traiettorie tipiche dell’Universo, le linee verdi delle stelle, parallele tra loro, vengono chiamate linee di Universo e rappresentano le traiettorie temporali degli oggetti celesti che non si muovono nello spazio, rimanendo sempre immobili. Chi viaggia, anche  nello spazio, è solo la loro luce (con le ipotesi fatte all’inizio).

Tuttavia, le linee sono parallele tra loro solo perché non ho considerato l’espansione dello spazio. Lo vedremo tra poco…

 

Uno scolaro e un custode dentro al cono

Torniamo al cono di luce della scuola relativo all’istante ADESSO, ossia alle ore 9:00. Sappiamo benissimo come l’istituto sia stato raggiunto dai quattro scolari con il loro passo cadenzato all’ora esatta e sappiamo, nel caso di una forte nevicata, come anche la luce delle loro lampadine possa giungere contemporaneamente agli occhi del custode. Nell’ultimo caso, il cono di luce ci indica proprio le traiettorie spazio-temporali della luce delle lampadine (o delle stelle).

Dove stanno, rispetto al cono di luce della scuola, le traiettorie spazio temporali degli scolari quando camminano verso la scuola? Sono all’interno del suo cono di luce passato. Perché all’interno? Perché i bordi del cono sono descritti solo dalla cosa più veloce che esista, ossia dalla luce, tutto il resto (scolari compresi) devono andare a velocità più bassa e quindi l’angolo delle loro traiettorie, rispetto alla linea di Universo della scuola, deve essere minore di quello formato dalla luce.

Come possiamo, allora, definire il cono di luce di un certo oggetto (o pianeta, o stella o quello che volete)? E’ lo spazio-tempo (è un cono che si disegna nello spazio-tempo e non solo nello spazio!) in cui si sono potuti muovere tutti gli oggetti che hanno raggiunto la scuola sia nel passato che all’istante ADESSO. In altre parole, all’interno del cono di luce della scuola all’istante ADESSO, vi sono tutte le traiettorie descritte, fin dalla sua costruzione, dai vari scolari che si sono succeduti, dei professori e anche del simpatico e gentile custode.

Se fate scorrere il cono di luce passato verso il basso (ossia verso ieri, l’altro ieri, ecc.) vi accorgerete che ogni cono di luce è contenuto dentro a quello più recente. Ciò vuol dire che quello di ADESSO contiene tutti coni di luce passati e, quindi, anche tutte le traiettorie di chi ha raggiunto la scuola in tempi precedenti. Questo importante concetto è illustrato nella Fig. 9.

Nessun oggetto esterno al cono di luce della scuola può entrare al suo interno e  raggiungere l’istituto, dato che per farlo dovrebbe andare più veloce della luce (l’angolo tra la sua traiettoria spazio-temporale e la linea di universo della scuola sarebbe più grande di quella delle traiettorie descritte dalla luce).

Consideriamo, adesso, la Fig. 10. Come esiste il cono di luce passato di un oggetto o di un luogo, così esiste anche il suo cono di luce futuro. Basta prolungare le rette che descrivono le traiettorie della luce.

Cosa indica il cono di luce futuro della scuola? Esso contiene al suo interno tutte le possibili traiettorie future di persone o cose che stanno dentro la scuola. Nessuna di esse, però, potrà mai uscire dal cono dato che per farlo dovrebbe andare più veloce della luce. Ovviamente, nessuna traiettoria può nemmeno andare verso il passato. Dall’istante ADESSO si può solo andare verso il futuro.

Siamo ormai pronti per vedere dettagliatamente il passato e il futuro dello scolaro A e del custode Cu in relazione al cono di luce della scuola alle ore 9:00. Cominciamo con il custode Cu. Durante la notte egli dorme nella sua casa (e quindi è fermo) fino a Cu’. Poi si mette in moto e raggiunge la scuola in Cu1. Deve arrivare prima delle 9:00 per aprire le porte e per aspettare i ragazzi. Resta nella scuola fino a Cu2, quando è sicuro che tutti gli scolari siano tornati a casa, e, infine, ritorna alla sua abitazione in Cu” dove può riposarsi.

Qual è invece la traiettoria spazio-temporale di A? Fino ad A’ sta a casa, poi si mette in cammino e raggiunge la scuola in S’ (il custode è già sul posto). Segue le lezioni e riparte quando è in S” , per giungere di nuovo a casa in A” per mangiare, fare i compiti e giocare.

Insomma, con il cono di luce si possono descrivere con facilità tutti i movimenti spazio-temporali. Ovviamente, noi consideriamo solo il cono di luce della scuola, ma ogni cosa o persona possiede il proprio cono di luce. Perfino il Big Bang deve averne uno dato che deve contenere tutti gli altri coni di luce dell’Universo, poiché tutto l’Universo è nato da lui!

Siete ormai capaci di divertirvi da soli e descrivere, ad esempio, i percorsi spazio-temporali degli altri ragazzi e non solo.

Io posso solo, nella Fig. 11, ripetere la trattazione di prima, applicando il concetto al Sole. Questa volta è il Sole che sta fermo e si muove solo lungo la sua linea dell’Universo. Nel suo passato vediamo la traiettoria di un asteroide che lo ha colpito proprio adesso, ma anche la traiettoria futura di un’astronave (che viaggerà, ovviamente, più lenta della luce). Vediamo, però, anche la Terra. Cosa sta facendo? E’ ovvio descrive un’elica attorno al Sole, orbitandogli attorno. Infatti, un orbita su un piano (spazio) diventa un elica circolare nello spazio-tempo. Non è difficile da capire, direi…

 

Una fata megalomane e una magia senza fine.

E’ venuto il momento di complicare un po’ le cose ed entrare in una favola (solo apparente). Ci vuole, infatti, proprio una fata per compiere la magia della Fig.12. Il paese “normale” della parte alta si trasforma in quello della parte bassa. Cos’è successo? Tutte le distanze si sono raddoppiate! La scuola e le case sono, tra loro, più distanti di prima. La bacchetta magica ha raddoppiato l’estensione del paese.

Notate, però, una cosa molto importante: le case si sono allontanate, ma le loro dimensioni sono rimaste le stesse. In altre parole, la fata ha ingrandito le distanze, ossia lo spazio, ma non le dimensioni dei singoli oggetti. Imparerete a capire perché leggendo articoli e libri un po' più complicati (ma non tanto...).

Ovviamente la magia è stata fatta una volta sola e in un solo instante. Improvvisamente, il paese si è “raddoppiato”, ma poi tutto torna immobile e tranquillo. Un po’ di stupore e agitazione tra gli abitanti. Qualcuno è anche felice: adesso non è più un paese, ma quasi una città. Forse era proprio questo lo scopo della fata.

Cosa succederebbe agli scolari? Beh… dovrebbero rifare i conti con le nuove distanze, ma non sarebbe un gran problema. La loro velocità è sempre la stessa, il percorso spaziale si è raddoppiato e quindi ognuno impiegherà esattamente il doppio del tempo che impiegava con il paese “ristretto”. Ci vuol poco a sapere a che ora devono partire da casa per arrivare a scuola alle 9 in punto. Basta raddoppiare i tempi di percorrenza.

Purtroppo, la fata è capace di una magia ben superiore. Non ha allargato il paese una volta per tutte, ma ha deciso di allargarlo continuamente al passare del tempo. Istante per istante, le distanze reciproche tra le case e la scuola aumentano senza mai fermarsi. In altre parole, mentre i ragazzi stanno dirigendosi verso la scuola, la distanza che li separa da questa continua ad aumentare.

E’ una situazione imbarazzante. Sembra che la scuola non si avvicini mai. Verrebbe voglia di mettersi a correre, ma non si può, dato che vogliamo che la velocità rimanga sempre la stessa. La situazione assomiglia a quella della Fig. 13, dove uno scolaro cammina su un “tapis roulant” che viaggia in verso opposto a quello del ragazzo.

Lui andrebbe con la velocità indicata dalla freccia rossa, ma il nastro trasportatore lo rallenta cercando di portarlo indietro (freccia nera). Alla fine il camminatore riesce ad arrivare alla fine, ma il tempo impiegato è decisamente più lungo di quello che avrebbe impiegato con il nastro fermo. Tuttavia, le cose potrebbero anche essere peggiori. Se il “tapis roulant” andasse più veloce dello scolaro, non solo quest’ultimo non riuscirebbe a percorrere la distanza totale, ma sarebbe ricacciato indietro: avrebbe camminato e faticato per niente.

Fortunatamente, le cose nello spazio sono un po’ diverse, anche se leggermente più complicate. Il “tapis” roulant, infatti, viaggia sempre alla stessa velocità, qualsiasi sia la posizione raggiunta dal ragazzo. Nello spazio reale, invece, la velocità del nastro trasportatore (ossia l’allargamento dello spazio) varia a seconda della distanza tra il punto di partenza e quella di arrivo. E quindi varia anche durante il percorso dello scolaro, dato che, se egli riesce a procedere, si avvicina sempre di più alla scuola, anche se con fatica. Sembrerebbe che la velocità sia costretta a cambiare non solo da scolaro a scolaro, ma da istante a istante. Ma è proprio così?

Innanzitutto, facciamo un esempio molto calzante di questo tipo di espansione dello spazio in funzione del tempo: il celebre palloncino che si gonfia. Lo vediamo nella Fig. 14.

Le stelle gialle, disegnate sul palloncino azzurro, hanno una certa distanza tra di loro. Tuttavia, se viene gonfiato, raggiunge in breve le dimensioni del palloncino giallo. Le stelle rosse sono le stesse di prima, ma ora sono tutte più distanti tra loro, dato che la superficie del palloncino è aumentata espandendosi. Ogni stella è più lontana dalle altre e non ce n’è una favorita o sfavorita: tutte si allontanano tra loro. Però, se guardate bene, quelle che erano più vicine si sono allontanate di meno, mentre quelle che erano più lontane si sono allontanate di più. In altre parole, stelle più lontane si allontanano a velocità crescente, ossia uno spazio maggiore si interpone tra di loro nello stesso intervallo di tempo. Questo concetto è fondamentale nel Cosmo e lo riprenderemo tra poco.

Prima, fatemi esprimere un concetto importantissimo: “Non sono le stelle che si sono allontanate, ma è lo spazio che le separa che è aumentato. Quando si parla, perciò, di velocità di espansione non si intende la velocità di un certo oggetto (scolari o stelle che siano), ma della dilatazione dello stesso spazio. Se gli oggetti dell’Universo hanno dei limiti ben precisi nei loro movimenti, non potendo superare la velocità della luce, la stessa cosa non vale per la velocità di espansione dello spazio: lui può allargarsi anche a velocità superiore”.

Inoltre, anche se questa sembra una velocità “diversa” rispetto a quelle dei singoli oggetti, è capace di sommarsi o di sottrarsi alle loro velocità e quindi dar luogo a velocità nello spazio-tempo apparentemente diverse. La velocità di espansione è un po’ come la velocità del “tapis roulant”, solo che è variabile.

Immaginiamo, nella Fig. 15, di essere anche noi nel piano in cui sorge il paese e di vedere come si “muovono” due scolari (A e D) che stanno fermi a casa loro sul piano del foglio, in cui lo spazio è la linea orizzontale e il tempo quella verticale. Le traiettorie di A e di D sono solo temporali dato che i ragazzi stanno fermi nello spazio.

Se lo spazio non si espandesse, queste traiettorie temporali sarebbero le linee di universo tutte parallele tra loro, come visto all’inizio della chiacchierata.

Dato che abbiamo già imparato che ogni oggetto si allontana dagli altri, siamo liberi di considerarne uno fisso e rappresentare il movimento degli altri rispetto a lui. Lo ripeto ancora: quello che conta è lo spostamento reciproco e non quello assoluto (che non esiste nemmeno). La direzione fissa è quella della scuola, SS’. La scuola descrive la solita linea di Universo perpendicolare al piano del paese, mentre quelle delle case dei due scolari sono obbligate a descrivere un angolo rispetto ad essa. Non solo, però. Quella più vicina si “piega” di un angolo minore rispetto a quella più lontana. Questo lo avevamo già appurato precedentemente.

A si sposta in A’ dopo un intervallo di tempo t. D si sposta, invece, in D’. Entrambe seguono le loro linee di Universo nello spazio in espansione. Immaginiamo che le distanze si siano raddoppiate. Ossia, A’S’ sia il doppio di AS. Ne segue che anche D’S’ è il doppio di DS. Oltretutto, abbiamo che DS è quattro volte più piccolo di AS. Se non ci fosse espansione A e D percorrerebbero le loro linee di universo AA” e DD”, parallele a SS’ .

Consideriamo, allora, i triangoli  AA’A” e DD’D”. I lati AA” e DD” sono uguali tra loro e rappresentano anche il tempo t trascorso durante l’espansione. A’A” è uguale ad AS per costruzione, dato che A’S è il doppio di AS e  A”S’ è uguale ad AS. Analogamente, D’D” è uguale a SD. Ne segue che lo spazio percorso dalla casa A nel tempo t è esattamente 4 volte lo spazio percorso dalla casa D. Quindi, se D’D” = s, A’A” = 4s. La velocità a cui ha viaggiato nello spazio- tempo la casa A è, di conseguenza, quattro volte quella a cui ha viaggiato la casa D, come indicato in figura.

Abbiamo dimostrato che la velocità di espansione varia con la posizione rispetto a una stessa direzione (in questo caso SS’). In particolare, la velocità di allontanamento aumenta all’aumentare della distanza. Questa ovvia conseguenza non è altro che la celebre legge di Hubble, che permette di calcolare la distanza degli oggetti più lontani dell’Universo una volta che si è osservata e misurata la loro velocità di allontanamento.

 

Velocità vere e apparenti

Costruiamo, adesso, la Fig. 16 che è quella complessiva del villaggio che si espande con tutte le sue case. Anzi ne ho anche aggiunto qualcuna gialla tanto per rappresentarlo meglio. Al centro vi è la scuola, che si muove nel tempo secondo la retta SS’. Tutt’attorno le case di A, B, C e D. E’ giunto il momento di calcolare esattamente quanto tempo impiegano gli scolari per raggiungere la scuola e confrontare il risultato con quello del caso senza espansione. Ricordiamo che gli scolari devono continuare ad andare alla stessa velocità dell’altra volta, ossia a 10 metri al minuto. Per studiare meglio la situazione, conviene limitarci ad A. Il procedimento è poi analogo per gli altri scolari.

Consideriamo, in Fig.17, solo il percorso compiuto dallo scolaro di A a intervalli di tempo molto piccoli e uguali tra loro. Siano dt. Il ragazzo di A, se non si mettesse in cammino, sarebbe trascinato dall’espansione dello spazio in A1. Tuttavia, lui ha iniziato a muoversi andando alla sua velocità. Essa gli permette di percorrere uno spazio ds nel tempo dt. Non ci credete? Facile a dimostrarsi. Se non ci fosse espansione, infatti, A raggiungerebbe la scuola in S’. Percorrerebbe lo spazio sA nel tempo tA (i famosi 40 minuti, ricordate?). La sua velocità sarebbe allora data dal rapporto tra sA e tA. In altre parole, sarebbe rappresentata dall’angolo che AS’ fa con SS’. Ma questo angolo è anche lo stesso che si ottiene se in un tempo dt si percorresse uno spazio ds.

Ne consegue che andando alla sua velocità costante lo scolaro di A descrive proprio uno spazio ds nel tempo dt, come volevamo dimostrare. In modo analogo al “tapis roulant”, lo scolaro di A vorrebbe procedere verso la scuola lungo la retta AS’, ma è trascinato indietro dall’espansione dello spazio che tende a portarlo in A1. In conclusione è come se andasse a sinistra verso A1 e nello stesso tempo dt si spostasse di ds verso destra. Il suo movimento spazio-temporale sarebbe quello rappresentato dal trattino marrone AA1’.

In poche parole, nell’intervallo di tempo dt , il ragazzo di A si è avvicinato, anche se di poco, alla scuola. Poco, ma di una quantità non trascurabile. Infatti, adesso la sua linea di universo nello spazio in espansione è più vicina alla scuola ed è rappresentata da A1’A2. Lo spostamento verso sinistra è, allora, meno violenta di prima, mentre la sua velocità effettiva è sempre la stessa. Lo scolaro, dopo un altro dt, si viene così a trovare in A2’, ancora più vicino a scuola.

L’espansione dello spazio può, adesso, nell’intervallo dt, trascinarlo solo lungo A2’A3 (meno inclinata di A1’A2). Di conseguenza il nuovo segmento marrone lo porta in A3’.

Proseguendo nello stesso modo, per altri due intervalli di tempo, lo scolaro partito da A giunge, finalmente, alla scuola. Avete sicuramente notato che il “tapis roulant” che lo tratteneva ha continuato a cambiare velocità e questa è diventata sempre meno significativa avvicinandosi alla scuola.

La traiettoria finale è una serie di segmenti marroni. Ciò è capitato perché ho costruito il percorso usando intervalli dt piccoli, ma non veramente molto piccoli. Se riducessi ancora di più dt potrei vedere che la linea marrone diventa una curva. Una traiettoria spazio temporale curvilinea.

Cosa ci dice questo risultato? Molte cose. Innanzitutto che lo scolaro partito da A ha impiegato più tempo per arrivare a scuola. Quando lo spazio non si espandeva aveva impiegato il tempo SS’ (i famosi 40 minuti). Adesso ha impiegato il tempo SS”. Questo dato di fatto ci indica una prima cosa importante: lo spazio, passando da S a S”, ossia durante il tempo necessario al ragazzo per raggiungere la scuola, si è raddoppiato. Infatti, A”S” è il doppio di AS. Tuttavia, il tempo impiegato non è il doppio di quello che sarebbe stato necessario senza espansione, ma solo un po’ più grande.

Cosa implica questa constatazione? Che la velocità (spazio diviso tempo) è cambiata. Eppure il ragazzo ha sempre camminato alla sua velocità. Dov’è sta l’inghippo? Facile a trovarsi: basta calcolare esattamente lo spazio realmente percorso dallo scolaro. Ovviamente non è più quello del caso senza espansione, ossia sA (la distanza tra casa e scuola al momento della partenza). Ma non è nemmeno quello che separa casa e scuola al momento dell’arrivo, ossia A”S”.

Per calcolarlo esattamente dobbiamo sommare ogni spazio coperto dallo scolaro, indipendentemente dal trascinamento subito a causa dello spazio in espansione. Nel primo intervallo di tempo dt ha percorso ds, nel secondo ancora ds e via dicendo fino al quinto intervallo che coincide con l’arrivo a scuola. In conclusione, lo spazio realmente percorso dallo scolaro attraverso il SUO movimento è stato pari a cinque volte ds. Qual è la sua velocità finale, allora? Presto detto: ha percorso una distanza pari a 5 ds in un tempo pari a 5dt. La velocità è stata quindi v = 5ds/5dt = ds/dt  che è proprio la velocità costante dello scolaro, come abbiamo dimostrato poco fa. Ne consegue che, in realtà, il ragazzo ha mantenuto la sua velocità costante durante tutto il tragitto. Non è cambiata la sua velocità, ma solo lo spazio che lo separava da scuola che si è espanso seguendo le regole definite all’inizio dell’articolo (palloncino che si gonfia ed esempi analoghi).

Questo risultato, oltre che permetterci di calcolare esattamente a che ora il ragazzo deve partire da casa per arrivare a scuola all’ora esatta (deve partire prima da casa e questo anticipo è dato proprio dall’intervallo di tempo S”S’), ci dice anche che lo spazio realmente percorso dallo scolaro non è né la distanza iniziale casa-scuola né quella finale. E’ una via di mezzo che dipende solo e soltanto da quanto si espande lo spazio. Il ragazzo non cambia mai la sua velocità.

Possiamo estrapolare facilmente il discorso all’Universo. La luce delle stelle che giunge sulla Terra ha dovuto percorrere uno spazio, ossia coprire una distanza ben più grande di quella esistente al momento della partenza. Minore però di quella che la stella ha oggi, al momento dell’arrivo della sua “antica” luce sul nostro pianeta. Questo concetto fa capire perfettamente il problema legato al calcolo della distanza delle stelle. Quale ci interessa? Quella di quando è partita la luce o quella reale di OGGI?

Fortunatamente la legge di Hubble (che ormai sappiamo cosa significa) ci permette di calcolarle tutte e due, a seconda del tipo di studio che si vuole fare. Ciò è possibile solo perché siamo capaci di osservare direttamente la velocità di allontanamento delle stelle, lontane nello spazio e nel tempo (si chiama “redshift”).

Abbiamo, però, anche imparato un’altra cosa fondamentale: la luce è arrivata in ritardo a causa dell’espansione dello spazio, ma non ha cambiato velocità (allo stesso modo dello scolaro). Quello che è cambiato è stato solo lo spazio percorso e, di conseguenza, il tempo che ha impiegato a percorrerlo.

La posizione che la stella ha oggi nell’Universo è ben diversa da quella che aveva quando la sua luce è partita (la stessa luce che riceviamo oggi). Questa posizione odierna è quella che ci permette di definire l’Universo Osservabile, un altro concetto importantissimo.

Giocando un po’ con le distanze e con l’espansione dell’Universo non vi sarà difficile trovare delle situazioni molto particolari. Ad esempio, cosa succederebbe se la velocità di espansione per una certo oggetto celeste fosse proprio uguale alla velocità della luce? Ricordatevi il “tapis roulant”… E se fosse addirittura superiore? Ricordate che lo spazio può espandersi benissimo a velocità superiore a quella della luce. Ed ecco la sfera di Hubble e altre apparenti assurdità che capitano nei pressi di un buco nero. Avete visto quanti concetti fondamentali si legano a un paese, a qualche scolaro, a una scuola e a una fata un po’ megalomane? I passi successivi sono adesso nelle mani di libri un po' meno "facili".

 

Un cono che non è un cono

Non ci resta che disegnare il cono di luce della scuola (o meglio della Terra) a seguito dell’espansione dello spazio. Nel sistema di coordinate che abbiamo usato finora esso subisce una deformazione, così come la linea marrone della Fig. 17. Anzi è proprio lei che definirebbe il cono di luce se la velocità dello scolaro fosse proprio uguale a quella della luce. Disegniamo, allora, la Fig. 18.

Vedete che il cono è adesso deformato rispetto a quello che aveva concluso l’articolo precedente. Conosciamo bene questo cono. Sappiamo che esso contiene tutto ciò che la Terra è riuscita a ricevere (sia a bassa velocità che a quella della luce) durante il suo passato. In altre parole quella figura un po’ stramba è tutto l’Universo (anzi, ancora meglio, tutto lo spazio-tempo) che siamo riusciti a vedere fino a oggi. Molto più piccolo di quello globale.

Una parte di quest’ultimo ci manderà prima o poi dei segnali, ma la gran parte ci sarà sempre vietato. La colpa è solo e soltanto della limitatezza del cono di luce e quindi della velocità della luce.

L’appetito vien mangiando… Come continua il cono di luce andando verso tempi ancora più antichi? Il cono non continua ad allargarsi, ma prima o poi si restringe nuovamente fino a convergere in un punto. Che cosa è quel punto? Non è difficile da intuire: il Big Bang, l’unico punto in cui tutte le distanze diventano ZERO e in cui il tempo inizia a scorrere.

Devo anche fare una considerazione più generale. Io ho usato un certo tipo di rappresentazione, molto semplificata e, parzialmente, anche un po’ scorretta (ma sono errori veniali che non inficiano i concetti). Tuttavia, ci sono molti modi per rappresentare lo spazio-tempo che si espande. Variando le coordinate si può, ad esempio, mantenere sempre uguale il cono, senza deformarlo e altre cose più o meno complicate e matematiche. Per adesso, accontentiamoci di questa trattazione che è la più semplice e comporta errori veramente trascurabili. Io mi devo fermare qui. Il resto ve lo racconterà il libro “Rosetta e le tre sorelle”. Se poi, non vi basterà più, potrete proseguire con “L’Infinito Teatro del Cosmo” (li trovate QUI). Un gradino alla volta…

Ricordatevi, comunque, che per imparare anche le cose più semplici è necessaria un po’ di volontà e applicazione. In altre parole, è necessario un po’ di tempo per guardare e capire le figure attraverso il testo. Senza fretta e con un minimo di concentrazione. Farete un regalo a voi e alla vostra mente.