Questo articolo è inserito nella sezione d'archivio "Astronomia classica"

 

Eratostene è stato sicuramente un genio riuscendo a misurare la circonferenza terrestre con un piccolo errore, ma deve la sua riuscita all'aver potuto sfruttare un dromedario che è stato costretto a muoversi nel deserto. Si potrebbe fare di meglio oggi?

La risposta alla domanda contenuta nell'apertura è SI. Il requisito fondamentale è avere un orologio che misuri perfettamente i secondi e abitare in un condominio che abbia una vista libera verso la zona in cui il Sole tramonta sulla linea dell'orizzonte. L'ideale sarebbe avere anche un'amica o un amico con un orologio perfettamente sincronizzato con il nostro (niente relatività ristretta, ve lo assicuro) e che si vada a piazzare sulla terrazza superiore del condominio. Niente di male se scegliessimo di utilizzare una torre isolata nella pianura, sempre senza ingombri all'orizzonte. In tal modo il dromedario sarebbe del tutto inutile così come gli spostamenti da un luogo a un altro. Sarebbe anche bene stare sull'equatore e sfruttare il giorno degli equinozi.

La formula da utilizzare è estremamente semplice:

R ∼ 378 178 h/t²  km

dove R è il raggio della Terra, h è l'altezza in metri del condominio o della torre e t è un tempo molto preciso.

Potrei lasciare la dimostrazione della formula come quiz, ma non esageriamo e spieghiamo di seguito i vari passaggi necessari per ottenere la formula di prima. Ovviamente, chi vuole provare da solo è sempre da apprezzare!

Aspettiamo a livello pianterreno il tramonto del Sole e segniamo l'ora esatta in cui sparisce dietro l'orizzonte. La stessa cosa deve fare il nostro assistente sulla cima del condominio o della torre. La differenza di tempo tra la nostra misura e quella dell'assistente è proprio il tempo t espresso in secondi. Ovviamente, abbiamo già misurato l'altezza h in metri.

Dalla Fig. 1, abbiamo che:

(R + h) cos θ = R

R cos θ + h cos θ = R

R(1 - cos θ) = h cos θ

R = h cos θ/(1 - cos θ)        .... (1)

D'altra parte sappiamo che la Terra gira esattamente in 24 ore ossia in 86400 secondi. L'angolo θ sarà quindi legato al tempo trascorso dalla banale formula:

t/86400 = θ/2π

da cui

θ = 2π t/86400        .... (2)

Riprendiamo la (1) e inseriamo il coseno dell'angolo. In tal modo ricaviamo il valore di R senza doverci muovere.

Ammettiamo, però, di non avere calcolatrici a portata di mano. Nessun problema... possiamo permetterci una approssimazione non terribile, ricordando lo sviluppo in serie del coseno. Esso vale:

cos θ = 1 - θ²/2 + ...

Possiamo fermarci a questo livello e inserire il secondo membro al posto del coseno nella (1)

R ∼ h (1 - θ²/2)/(1 -  1 + θ²/2) = h (1 - θ²/2)/(θ²/2)

R ∼ h/(θ²/2) - h

Sostituiamo θ con il suo valore espresso dalla (2):

R ∼ h/(θ²/2) - h = h/(4π² (t²/( 2 · 86400²)) - h

R ∼ 286 400² h/(4π² t²) - h

R ∼  378 179 292 h/t² - h

Possiamo anche permetterci di trascurare h che è insignificante rispetto al termine precedente e otteniamo:

R ∼  378 179 292 h/t²     m

Per avere direttamente R in chilometri, basta dividere per 1000 e approssimare in

R ∼ 378 179 h/t²   km

Se ad esempio avessimo una torre alta 20 metri, avremmo un tempo t = 34.5 s

R ∼ 6.355 km

Niente male, se pensiamo che il raggio vero medio è di 6373 km.

Le cose si complicherebbero se fossimo lontani dall'equatore perché in tal caso otterremmo il raggio del cerchio parallelo che passa per il nostro luogo.

Forse Cristoforo Colombo non ne aveva tenuto conto ed è per quello che il suo raggio era risultato decisamente più piccolo...

P.S.: qualcosa di molto simile è stato sfruttato QUI