Beh... viste le condizioni critiche di questo Natale  -e per aiutare a convincervi che è meglio stare a casa- ho preparato un bel "puzzle", in qualche modo creato fin dall'antichità e da me rivisto un... pochino.

Prima di proporvi il "puzzle", vorrei richiamare un metodo estremamente semplice per calcolare le aree dei poligoni, convessi o concavi che siano. Lo si deve a  Georg Alexander Pick, che lo descrisse nel 1899. Vale la pena ricordare che questo sfortunato scienziato, morto in un campo di concentramento essendo di origine ebrea, ha avuto un'importanza non trascurabile per Einstein, dato che è stato proprio lui a introdurre il nostro Albert al calcolo differenziale assoluto di Ricci e Levi-Civita. Ma noi ci fermiamo molto prima... e chiediamo a un bambino, che non sa ancora come calcolare le aree di un poligono qualsiasi, di farlo con la figura che segue:

Sicuramente vi guarderà come se foste un matto! E, invece, sapendo ormai contare e fare le quattro operazioni, sarebbe in grado di darvi facilmente la soluzione. Innanzitutto, il poligono disegnato ha una caratteristica abbastanza speciale che si nota molto bene disegnandolo su un foglio a quadretti, come segue:

Notiamo che tutti i suoi vertici sono posizionati in punti che corrispondono a "incroci" (nodi) delle linee a quadretti, il che vuole anche dire che se prendessimo come unità di misura la lunghezza di un quadretto, i suoi vertici avrebbero come coordinate dei numeri interi.

Un adulto ci penserebbe un attimo e poi comincerebbe a calcolare l'area del rettangolo che contiene la nostra figura e un, po' alla volta, gli toglierebbe l'area di triangoli e/o rettangoli fino a determinare, per differenza, l'area del poligono. Qualcosa come quello che viene mostrato qua sotto:

Risulta chiaro, però, che sarebbe necessario sapere come calcolare le aree dei triangoli e dei rettangoli, come detto prima. Ma no! nessun problema... basta sapere fare le operazioni più semplici e ... contare. Vediamo come, attraverso la figura che segue:

Non dobbiamo fare altro che contare i nodi interni al poligono (rossi), i, aggiungerli a quelli che stanno invece lungo il suo perimetro (blu), p, divisi per due, e togliere uno al tutto, ossia:

A = i + p/2 - 1

Il gioco è fatto! Insegnatelo ai più piccoli e stupiranno mezzo mondo.

Il teorema di Pick non è di difficile dimostrazione (in pratica segue il procedimento "da adulti" e dimostra la formula finale), ma possiamo soprassedere visto che abbiamo dato solo un asterisco...

Passiamo, invece, al nostro puzzle, che si avvale, in pratica, del metodo di Pick per determinare con sicurezza le aree dei triangoli che andiamo a presentare e che mostriamo, messi a casaccio, su un foglio a quadretti:

Potete facilmente calcolare la loro area e trovare che 21 triangoli hanno un area uguale a 6, mentre 6 triangoli hanno un'area uguale a 3. Facciamo un piccolo calcolo, ricavando l'area totale dei 27 triangoli:

21 x 6 + 6 x 3 = 126 + 18 = 144  

Ma 144 è il quadrato di 12... il che vuol dire che l'area totale dei triangoli è uguale a quella di un quadrato di lato uguale a 12, che potete facilmente disegnare come sfondo del "puzzle", tenendo ben presente che i quadretti della figura precedente devono avere la stessa area di quelli del quadrato di sfondo (l'unità deve essere la stessa):

Ora, lo scopo del puzzle è quello di inserire i triangoli colorati, che dovete ritagliare facendo molta attenzione a essere precisi negli spigoli, nel quadrato, in modo che lo riempiano perfettamente. D'altra parte la somma totale dei triangoli è uguale a 144, proprio come quella del quadrato. Vi posso dire che esistono più di 500 possibilità di ottenere il risultato voluto.

I triangoli devono sempre presentare la parte colorata, ossia non possono essere capovolti.

Vi sono due modi per affrontare il puzzle: uno più semplice che consiste nel lasciare bene in vista il foglio a quadretti che fa da sfondo, in modo da controllare la coincidenza degli spigoli dei triangoli con i nodi e uno più difficile che consiste nel dimenticare del tutto il reticolo a quadretti e usare un quadrato completamente libero da linee orizzontali e verticali, ossia senza quadrettatura.

Il divertimento sta non solo nel far coincidere tutti i triangoli in modo da formare il quadrato, ma anche nel trovare nuove configurazioni... Chi ama i puzzle, ha trovato pane per i suoi denti!

Buon divertimento e mandatemi pure le vostre soluzioni!!!

P.S.1: non cercate in giro per la rete e nemmeno nel nostro blog... potreste trovare un grosso aiuto, che, però, rovinerebbe il piacere del passatempo.

P.S.2: consiglio di trasferire la figura con i triangoli su un cartoncino o addirittura su un foglio di compensato, in modo che, durante i vari tentativi, non si rovinino le "punte"  molto delicate e importantissime...