Questo è il sesto articolo della serie "La Relatività Generale al microscopio"

Eccoci di nuovo ai tensori che abbiamo già descritto in un caso molto pratico. Vediamo di generalizzare il tutto e capire molto bene il loro significato più profondo.

A costo di essere pedante... richiamiamo i due tipi di tensori "facili", già descritti varie volte.

1. Quando si associa a ogni punto del campo uno scalare, abbiamo un campo scalare e il tensore  viene detto di rango 0
2. Quando si associa a ogni punto del campo un vettore, abbiamo un campo vettoriale e il tensore viene detto di rango 1.

A questo punto, prima di passare al rango superiore, vogliamo studiare come si trasforma un vettore. Abbiamo nelle nostre mani una formula che lega le coordinate di un vettore (o campo che sia) in un certo sistema di riferimento attraverso i gradienti che ci dicono  come varia una coordinata rispetto ad un altra. Possiamo usare la formula (1), adattata ai nostri scopi.

dΦ= ∑_n(∂Φ/∂xⁿ) dxⁿ

Al posto del vettore dΦ consideriamo un vettore V e, in particolare, la sua componente V_yⁿ (coordinata ennesima nel sistema y), e la mettiamo in relazione con le componenti del vettore V nel sistema x, attraverso i gradienti dell'asse yⁿ rispetto agli assi  del sistema x.

V_yⁿ = ∑_m(∂yⁿ/∂x^m) V_x^m                      .... (3)

La formula  descrive la relazione tra le varie componenti di un vettore in un certo sistema di riferimento con quelle dello stesso vettore in un altro sistema di riferimento, attraverso i valori dei gradienti.

N.B.: abbiamo usato la (1) dato che al posto del valore del campo abbiamo  inserito soltanto la componente di un vettore in un certo sistema, espressa in coordinate di un altro sistema, attraverso i gradienti di un sistema rispetto all'altro.

Ovviamente, la (3) è una serie di equazioni ognuna corrispondente al valore dell'indice n, ossia alla componente ennesima del vettore V nel sistema di riferimento y, di assi yⁿ. Ogni componente di V in questo sistema di riferimento è legata alla somma delle varie componenti dello stesso vettore V nel sistema x. Dato che compare una somma di componenti, abbiamo inserito l'indice m (che ha le stesse dimensioni di n). In altre parole ogni n componente del vettore V nel sistema y è legata alla somma di tutte le m componenti del vettore V nel sistema x.

Possiamo, a questo punto, definire cosa si intende per tensore di rango 2. Esso non è altro che la combinazione di due vettori che dia origine a una relazione perfettamente determinata tra di loro. Se vogliamo, possiamo richiamare l'articolo sui tensori in cui oltre al vettore forza di gravità avevamo inserito il vettore stress del materiale. Tra i due vettori si era determinata una relazione fissa e indipendente dal sistema di riferimento. rileggiamo bene quanto avevamo detto allora: (1) Il tensore è invariante rispetto al cambiamento di coordinate e (2) le sue componenti sono prevedibili  quando si attua un cambiamento di sistema di riferimento. Riflettendoci sopra, possiamo intuire benissimo perché abbiamo perso tanto tempo a stabilire relazioni ben definite tra le coordinate di un vettore definito in due sistemi di riferimento...

Facciamo un esempio molto semplice... collegandoci al LAVORO, un qualcosa di cui c'è veramente tanto bisogno nel nostro povero Paese. Ovviamente, però, parliamo di lavoro ... fisico. Consideriamo una massa M e imprimiamo su di lei una forza F inclinata rispetto alla linea d'appoggio. Cosa succede alla nostra massa M? Una componente della forza, quella lungo la linea d'appoggio, costringe il quadrato a muoversi lungo questa direzione di una quantità che possiamo indicare come un vettore spostamento s. Abbiamo, perciò, due vettori e come combinazione tra di loro si usa il ben noto prodotto scalare. Notiamo bene che stiamo descrivendo il tutto su un piano, quello definito dai due vettori, dove a sia l'angolo tra i due vettori.

La componente della forza che spinge la massa è, ovviamente, anch'esso un vettore che ha come modulo F cos(a). Che lavoro L è stato compiuto? Facile rispondere: la forza agente moltiplicata per la distanza compiuta. Ma allora cosa abbiamo ottenuto?

F cos a · s = L

Proprio una combinazione di due vettori, ossia un tensore di rango 2 in uno spazio a due dimensioni. Nel piano considerato, possiamo inserire un sistema di riferimento cartesiano, (ad esempio prendendo un asse lungo la direzione dello spostamento e uno ad esso perpendicolare). Ci dobbiamo aspettare 4 componenti e la cosa è abbastanza ovvia dato che s ha due coordinate (poco importa se una è nulla) e lo stesso vale anche per la forza F (entrambe non nulle). Ruotando il sistema di riferimento, sarebbe cambiato qualcosa? Assolutamente no, dato che il prodotto scalare sarebbe sempre rimasto lo stesso. Sarebbero cambiate solo le componenti dei due vettori.

Cambiamo leggermente le cose e imponiamo una forza F che sia esattamente verticale. Bene, il coseno dell'angolo a va a zero e il lavoro L risulta nullo. Il tensore non può che essere uguale a zero, ma cosa estremamente importante è che possiamo divertirci a cambiare il sistema di riferimento, ma il risultato rimane sempre lo stesso: il tensore rimane nullo! E questo è un requisito fondamentale dei tensori, l'indipendenza da ogni sistema di riferimento. In particolare, se vale ZERO in un sistema deve valere ZERO in qualsiasi altro sistema.

A titolo di banalissimo esempio riporto la figura che segue, con un cambiamento di coordinate semplicissimo e un angolo a di 45°. I vettori in gioco sono due, la forza e lo spostamento (ma potevano essere qualsiasi altra cosa). Il loro prodotto scalare è una combinazione di due vettori (poteva essere qualsiasi altra operazione). Siamo di fronte a quattro coordinate che identificano il lavoro, ossia la combinazione dei due vettori. Cambiando gli assi, cambiano le loro coordinate, ma il risultato è sempre lo stesso e lo possiamo associare, ad esempio, al punto su cui operano i due vettori, creando un campo (un campo di ... lavoro!). Ricordiamo che il prodotto scalare vale zero se uno dei due vettori (o componenti) è zero, ma anche se i due vettori sono perpendicolari tra loro. Niente ci vietava, però, di utilizzare il prodotto vettoriale...

Nota Bene: non era certo difficile fare lo stesso esempio, passando  nelle tre dimensioni, ossia considerare tre assi cartesiani del tutto indipendenti dalla direzione della forza o dello spostamento. Il prodotto scalare, ossia il tensore, non avrebbe certo cambiato valore: sarebbe sempre stato di rango due, ma con tre dimensioni. Avremmo avuto 9 componenti derivanti dalle varie combinazioni tra le tre componenti di ciascuno dei due vettori (3 x 3 = 9!)

Le formule ottenute precedentemente acquistano un valore molto importante, estremamente generalizzato, dato che ci offrono proprio le relazioni tra le componenti di un vettore e le componenti dello stesso vettore in un altro sistema di riferimento. Passando allo studio dei tensori, ossia facendo intervenire una combinazione fissa tra due vettori, sapere trasformare le coordinate di un sistema in quelle dell'altro diventa un processo indispensabile.