Un quiz che ha ottenuto un enorme successo, ma anche risultati altalenanti. La difficoltà stava nell'accorgersi di una terza via di accesso, mascherata dalla visione tridimensionale.

Alla fine, quasi tutti, sono giunti al risultato, ma Andy è stato il più vicino a una soluzione semplice e praticamente immediata, mentre Marco ha utilizzato un metodo fin troppo complesso per le necessità del caso.

La faccenda, però, non aveva bisogno nemmeno della similitudine tra triangoli, ma solo del teorema di Pitagora.

Partiamo da lontano, tanto per essere estremamente didattici.

Nello spazio euclideo la linea di minima distanza tra due punti è sempre e comunque la linea retta. Ragione per cui, se le nostre formiche avessero le caratteristiche dei ... neutrini potrebbero entrambe attraversare la pietra e viaggiare lungo la congiungente FZ tra il punto di partenza e il punto di arrivo, come mostra la Fig. 1.

Ovviamente, in questo caso, vincerebbe la formica che ha davanti la pietra a forma di cubo.

Il fatto è, però, che esse devono muoversi lungo le facce laterali della pietra ed è proprio la formica che deve "scalare" il parallelepipedo che vince la competizione.

La prima formica non ha scelte, dato che tutte le facce sono dei quadrati di lato uguale a 3. Dovendo muoversi lungo le facce, la formica si muove sempre lungo dei piani che hanno uno spigolo in comune e poco importa che angolo facciano tra di loro: comunque vengano ruotati il problema non cambia; basta, allora, ruotare la faccia superiore di 90° e portarla sullo stesso piano della faccia laterale. Un discorso a tre dimensioni si è trasformato in uno a due dimensioni, ma il percorso, DEVE rimanere sempre lo stesso. Essendo in un solo piano, però, sappiamo che la minima distanza tra F e Z' (che è uguale per costruzione a FZ) deve essere rettilineo, come vediamo in Fig. 2.

Pur facendo in fretta a ricavarlo, non abbiamo nemmeno bisogno di sapere dove si trovi esattamente R, dato che per trovare la distanza FZ' è sufficiente applicare il teorema di Pitagora al triangolo FBZ'.

Risulta, perciò,  che il percorso di minima distanza non può che essere

FZ = √45

La situazione della seconda formica è decisamente più complicata, dato che la diversità delle facce le permette tre percorsi diversi. Deve solo scegliere il minimo tra questi tre e... sperare in bene. Vediamo il tutto nella Fig. 3, che esegue tre rotazioni, analogamente a quanto fatto nella Fig. 2.

Cominciamo con la rotazione azzurra. Ruotiamo la faccia superiore di 90° attorno ad AD e poi, per portare tutto sul piano della figura, anche di 90° attorno a FB'. Si ottiene  il rettangolo E'FB'Z". Il punto Z" corrisponde a Z e, di conseguenza, il percorso di minima distanza deve essere FZ", rettilineo. Solito teorema di Pitagora al triangolo FB'Z" e otteniamo:

FZ" = FZ = √(25 + 16) = √41

Sappiamo già che vince la formica relativa al parallelepipedo. Tuttavia, troviamo anche gli altri due percorsi possibili...

Ruotiamo la faccia superiore di 90° attorno ad AB e otteniamo il rettangolo rosa che porta a un percorso minimo di

FZ' = FZ = √(36 + 19) = √45

In questo caso le due formiche arriverebbero insieme.

Infine, ruotiamo la faccia CBZG di 90° attorno a CB e otteniamo il rettangolo FAZ'G', da cui:

FZ' = FZ = √(49 + 4) = √53

Ancora più lungo...

Comunque sia, la formica del parallelepipedo sceglie la prima strada e VINCE!

Anche se appena sfiorata, non possiamo non pensare alla Relatività Generale, dato che abbiamo avuto a che fare, in qualche modo, con geodetiche, cambiamenti di coordinate e invarianti!

QUI il quiz

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