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Questo articolo è una delle tante "ciliegine cosmiche" che potete gustare QUI

 

Per venire incontro a Giorgio e per spiegare l'importanza del valore della costante (non costante) di Hubble, senza addentrami troppo nel modello cosmologico standard che fa largo uso della materia ed energia oscure, scrivo questo breve articolo che mi permette di definire in modo semplice le coordinate comoventi, quelle che rimangono costanti al variare del tempo.

Principio Cosmologico: per grandi distanze  (oltre i 2oo-300 Mpc) il nostro Universo sembra essere uguale in ogni suo punto, senza alcuna posizione preferenziale. Dovunque ci si trovi, ciò che si vede è sempre lo stesso. Conferma di ciò viene data dalla radiazione cosmica di fondo.

Per essere più esatti dovremmo dire che l'Universo è omogeneo e isotropo. La differenza non è così sottile come potrebbe sembrare...

Omogeneità: tutte le grandezze fisiche in gioco, dalla temperatura alla densità, dall’energia alla pressione, assumono valori indipendenti dal punto in cui vengono calcolate.

Isotropia:  l'Universo è uguale in qualsiasi direzione lo si guardi.

Facciamo un esempio che spieghi meglio la differenza. Prediamo il campo generato da una carica elettrica puntiforme. Esso risulta sicuramente isotropo, in quanto ha simmetria radiale, ma non è omogeneo, dato che allontanandosi dalla carica il valore diminuisce in verso.

In generale, però, dire che l'Universo è isotropo in ogni suo punto equivale a unire entrambe le proprietà, direzione e posizione.

A questo punto ricordiamo brevemente cosa significa la costante di Hubble. Innanzitutto, essa non è una costante nel tempo, ma è una costante, per ogni luogo, in un certo istante. Come si determina?

Dallo spostamento delle righe spettrali si determina il redshift z, che equivale a:

z = v/c                        .... (1)

dove v è la cosiddetta velocità di recessione, quella che viene osservata, mentre c è la solita costante uguale alla velocità della luce.

La legge di Hubble (che, dal 2018, si chiama Legge di Hubble-Lemaître) ci dice però che osservativamente vale:

z = K d                       ... (2)

ossia ci dice che il redshift varia in maniera lineare con la distanza dell'oggetto osservato. K è una certa costante.

Uniamo insieme la (1) e la (2) e si ottiene:

v/c = Kd

da cui:

v = H d                     .... (3)

Ossia H è la costante che lega l'andamento lineare della velocità di recessione con la distanza. In parole semplici: più un oggetto è distante, maggiore è la sua velocità di recessione.

Chiamiamo anche con H0 il valore della costante al giorno d'oggi, ossia basandosi sulle osservazioni fatte oggi.

Definiamo, adesso, il tempo dell'Universo. Sembrerebbe un gran problema, dato che sappiamo come la velocità possa influenzarlo: basta pensare alla sola Relatività Ristretta. E' essenziale, perciò, ipotizzare che tutto l'Universo (sempre su grande scala) rappresenti un unico sistema di riferimento. Poco importa se questo sistema si espande, il tempo rimane sempre quello  segnato come iniziale al momento del Big Bang. D'altra parte abbiamo ipotizzato che l'Universo sia isotropo in ogni suo punto. Il tempo cosmico non è altro che il tempo proprio del Big Bang e di tutto il tessuto spaziale che ne deriva e che si espande.

E veniamo, perciò, all'espansione. Con le ipotesi fatte fin dall'inizio, ogni oggetto è immobile rispetto all'espansione. Siamo proprio nel caso del palloncino che si gonfia. La distanza tra due punti della sua superficie è quella che è, una costante (i punti non si muovono nel sistema superficie del palloncino, ma è la stessa superficie che si espande).

Diventa, perciò, molto utile introdurre delle coordinate speciali, dette comoventi. Le coordinate di un punto e quindi le distanze tra due punti restano sempre uguali a se stesse. Chiamiamo queste coordinate x_Cⁱ e la distanza tra due punti d_C (costante rispetto al tempo). Le nostre osservazioni ci dicono, però, che qualsiasi oggetto (a parte i moti propri che sono trascurati considerando il tutto su grande scala) si allontana da chiunque altro (non c'è nessuna direzione privilegiata).Tra coordinate realmente osservate e  coordinate comoventi esiste perciò un fattore di scala che chiamiamo a(t). Esso è funzione del tempo ed è sicuramente fondamentale per descrivere l'espansione. Possiamo comunque scrivere, chiamando d_A, la distanza osservata:

d_A(t) = a(t) d_C                    .... (4)

Notiamo subito che d_C non è funzione del tempo, dato che una distanza comovente è una costante, mentre d_A e a non lo sono.

Derivando, otteniamo la velocità osservata in funzione del tempo:

v_A(t) = a'(t) · d_C + a(t) · d'c

ma il secondo termine è nullo, dato che d_C è una costante e la sua derivata è zero.

Scriviamo perciò:

v_A(t) = a'(t) d_C                      .... (5)

Ricordiamo però che la distanza comovente (4) vale:

d_C = d_A(t)/a(t)

per cui, sostituendo nella (5) si ottiene:

v_A(t) = a'(t)/a(t) d_A(t)                              .... (6)

Ricordiamoci, però, la legge di Hubble (3) che dice:

v_A(t) = H d_A(t)

Ne segue che, confrontando la (6) con la (3), si ha:

H(t) = a'(t)/a(t)                            .... (7)

Al  momento attuale (t = t_O) possiamo anche porre a(t_O) = 1.

H0 = a'(to)/a(t0) = a'(t0)                     .... (8)

Tutto ciò ci basta già per capire quanto sia importante il valore di Ho, dato che comanda la legge dell'espansione.

Volendo proseguire dovremmo introdurre le equazioni di Einstein e descriverle con una metrica speciale. In tal modo otterremmo le due equazioni di Friedmann che definiscono la derivata prima e seconda del fattore di scala a(t) sulla base di molte ipotesi, tra cui anche la materia ed energia oscura. Qui mi fermo, soprattutto per la difficoltà di descrivere queste equazioni e soprattutto di ricavarle (un giorno chissà...). Teniamo anche conto che nella metrica introdotta compare un fattore che dipende dalla geometria dell'Universo, ossia dal fatto di essere piatto oppure no. Problema che si ricollega immediatamente con l'inflazione (QUI e QUI), ecc... ecc...

Insomma, cambiare la costante di Hubble ha ripercussioni che si espandono quasi come l'Universo!

Spero di avere aiutato un po' Giorgio e di avere messo un piccolo tassello in più nella conoscenza del Cosmo, mantenendo un livello estremamente divulgativo...