Categorie: Astronomia Elementare
Tags: Est geometria non euclidea mondo sferico Nord Ovest quiz Sud
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:8
Per andare dove dobbiamo andare, per dove dobbiamo andare? */***
Questo problemino è estremamente interessante in quanto ci fa ragionare su un caso molto realistico di pura geometria non euclidea, ma che presenta dei risvolti che vanno ben oltre. Non vi dico quali, altrimenti vi aiuterei troppo nella soluzione.
Ho scelto un titolo poco pertinente, ma consideratelo un omaggio ai grandi Totò e Peppino...
Immaginiamo di vivere su un pianeta vagabondo, che abbia lasciato per sempre la sua stella e che stia viaggiando nel vuoto, ben lontano da ogni percettibile campo gravitazionale. Inoltre, nel momento dell'addio, il gioco dei momenti angolari ha fatto sì che il pianeta abbia perso del tutto la sua capacità di ruotare attorno a un asse. In altre parole, ben più semplici, la sua forma è quella di una sfera perfetta. La sua superficie era completamente coperta di acqua e, quindi, adesso è una lucida e perfetta distesa di ghiaccio senza alcuna increspatura.
Abbiamo fatto questa ipotesi per non sollevare problemi sulla non perfetta sfericità della Terra e sulle sue montagne o avvallamenti.
Gli abitanti, però, si sono attrezzati contro i cambiamenti climatici (beati loro!) e riescono a sopravvivere benissimo. Insomma, un mondo che ricorda molto Papalla (quindi è più che doveroso che tentino di rispondere i Papallicoli!)...
A ricordo dei bei tempi antichi, in cui la sfera ruotava, sono rimasti segnati, con dei punti ben visibili a chiunque gli si avvicini, sia il polo Nord che quello Sud. Di conseguenza, continuano ad essere utilizzati gli antichi meridiani e paralleli, l'equatore, e le direzioni Nord, Sud. Est e Ovest.
La domanda è la seguente:
"In quale/i punto/i di questo strano mondo bisogna trovarsi per potere fare un chilometro ESATTAMENTE verso Sud, poi un chilometro ESATTAMENTE verso Ovest, seguito da un chilometro ESATTAMENTE verso Nord e ritrovarsi ESATTAMENTE al punto di partenza?"
Ovviamente, bisogna determinare TUTTI i punti possibili...
Per quantificare il problema consideriamo noto il raggio R del pianeta, enormemente superiore a 1 km.
Forza e buon divertimento! Sembra banale, ma non lo è così tanto. Rimane comunque un piccolo e utile esercizio di astronomia sferica, ma non solo...
P.S.: un solo asterisco si riferisce alla determinazione di un solo punto, tre asterischi ad altre possibili soluzioni o alla prova che non possono essercene altre.
QUI la soluzione
8 commenti
Buongiorno.
Secondo me, ci sono due soluzioni almeno, se il raggio del pianeta non è troppo piccolo.
Saluti a tutti.
caro Giovanni,
non capisco cosa c'entri la lunghezza del raggio... Comunque descrivi pure le tue soluzioni!
Se ho ben compreso la domanda, intanto credo che partendo dal polo Nord si possano soddisfare i requisiti del percorso stabilito. In particolare, chiamando con
l'angolo complementare a quello di spostamento verso sud e con 
l'angolo di spostamento verso ovest, con L la lunghezza dei singoli spostamenti, e con R il raggio del pianeta, se ho fatto bene i conti, risulta:
e
Sapendo L (1 km) e dano un valore a piacere ad R, mi ritrovo gli angoli di cui mi devo spostare lunto il meridiani e i paralleli per ritrovarmi alla fine al polo Nord.
Se per esempio R fosse pari al raggio terrestre (6370 km) e aumentando la lunghezza dei singoli percorsi a 1000 km, anziché 1 km (per rendere visibile poi il tutto in una figura in scala) otterrei
e
Quindi, partendo dal polo Nord e procedendo verso sud di un angolo pari a 90-81,01= 8,99° , percorrerei esattamente un arco di circonferenza (meridiano) pari a 1000 km. Poi, spostandomi verso ovest di un angolo pari a 57,53° , percorrerei esattamente un arco di circonferenza (parallelo) pari a 1000 km. Infine, spostandomi verso nord di un altro angolo pari a 8,99°, percorrerei un altro arco di circonferenza (meridiano) pari a 1000 km, quindi alla fine mi ritroverei di nuovo al polo Nord del pianeta.
Allego una immagine della situazione.
Ricorda un po' questo:
Il cacciatore parte dal suo rifugio e percorre 1 km verso sud dove incontra le tracce dell'orso. Segue le tracce verso ovest, trova, uccide e scuoia l'orso, quindi, percorrendo 1 km verso nord torna al campo base.
Di che colore era la pelle dell'orso?
(R: Bianca)
Ciao, Vincenzo.
Non avevo letto la frase : ...il Raggio enormemente superiore a 1 km. Con un Raggio molto piccolo era possibile soltanto la prima soluzione.
Sono ancora Giovanni.
Mi è venuto in mente, mentre cenavo : se la circonferenza del sopraddetto parallelo è di 500 metri, basta fare due giri per tornare al punto di partenza.
Se fosse di 250 metri è sufficiente fare 4 giri.
Proseguendo, le soluzioni possono essere infinite...
Grazie e buona serata a tutti.
Per il polo Sud, basta cambiare meridiano di partenza e procedere ogni volta come indicato da Giovanni. Quindi le soluzioni, a questo punto, sono infinite.
Eh... sì, cari amici! Giovanni ha proprio visto giusto, come confermato anche da Arturo. Vi sono infiniti punti sia perché sono infiniti i punti su una circonferenza sia perché sono infinite le circonferenze adatte allo scopo. Basta, ora, trafficare un minimo con la trigonometria sferica per avere la latitudine minima e massima di questi punti. Un insieme infinito che sta in una zona finita di una superficie. Il caso LIMITE ricorda molto il paradosso di Achille e della tartaruga... non vi pare?