La soluzione completa del quiz è stata data in modo perfetto e completo da Giovanni. Merita comunque ripeterla con qualche figura e analizzarla ricordandosi del paradosso di Zenone.

Innanzitutto, stabiliamo per bene che muoversi verso Sud o verso Nord significa muoversi lungo un meridiano, ossia un cerchio massimo che passi per i due poli. Muoversi, invece, verso Ovest o verso Est significa muoversi lungo un parallelo, ossia un cerchio minore (tranne che nel caso dell'equatore), parallelo all'equatore. Ciò vuole anche dire che le direzioni Nord e Sud indicano sempre percorsi di minima distanza tra due punti, mentre le direzioni Ovest ed Est indicano percorsi NON di minima distanza (tranne che non si sia sull'equatore).

Nel nostro caso queste considerazioni non hanno importanza decisiva, ma è sempre meglio averle presente. Portiamoci in Fig. 1 e pensiamo di svolgere quanto detto nel problema partendo da un punto P qualsiasi.

Andando verso Sud mi sposto lungo un meridiano di 1 km. Andando verso Ovest mi sposto lungo il parallelo passante per P di 1 km. In quel momento devo andare verso Nord, ma allora devo seguire un meridiano che non può certo incrociare il punto di partenza P! Infatti, per ogni punto della sfera esiste solo un meridiano che passi per esso. Per poter tornare in P dovrei muovermi lungo una direzione del tipo Nord-Est che non è contemplata nel problema. Esistono, però due punti della sfera in cui passano infiniti meridiani ed essi sono il Polo Nord e il Polo Sud.

Dovendo andare verso Sud, mi rimane solo il Polo Nord come punto di partenza e, infatti, come dice bene anche Arturo, il punto Polo Nord è un punto che soddisfa il nostro requisito: posso andare verso Sud di 1 km, poi mi sposto verso Ovest di 1km, lungo il parallelo che dista 1 km dal Polo Nord, e poi vado verso Nord seguendo il meridiano che passa SICURAMENTE per quel punto e che non può che distare 1 km dal punto di partenza e di arrivo.

Questo punto è sicuramente l'unico dell'emisfero Nord , perché esiste un solo parallelo che disti 1 km dal Polo Nord. In realtà, vi sono infiniti "triangoli" curvilinei che dal Polo Nord mi portano sul parallelo per poi tornare a PN, ma il punto di partenza, quello che chiedevamo, non può cambiare.

E' veramente l'unico punto della sfera da cui posso partire per questa strana passeggiata? No, assolutamente no, proprio come dice Giovanni. Disegniamo, in Fig. 2, l'emisfero Sud, visto di fronte, ossia in modo tale che i paralleli siano segmenti orizzontali. I meridiani sono semiellissi, tranne quello di fronte a noi che risulta un segmento verticale. Consideriamo un parallelo molto speciale, ossia un parallelo che abbia una lunghezza totale pari proprio a 1 km. Esso esiste sicuramente, anche se molto vicino al Polo Sud. Tuttavia, essendo un parallelo esiste su di lui la possibilità di muoversi verso Ovest o verso Est.

Portiamoci allora su un altro parallelo che sia un po' più distante dal Polo Sud, in modo che la distanza tra questi due paralleli sia esattamente di 1 km, misurato lungo qualsiasi meridiano. Bene, il gioco è fatto! Partendo da qualsiasi punto di questo secondo parallelo posso raggiungere il parallelo più a Sud, andando verso Sud, poi posso percorrere 1 km lungo il parallelo andando verso Ovest e... mi ritrovo al punto di inizio del mio giro "attorno al mondo" lungo un piccolo parallelo, dato che il parallelo misura esattamente 1 km. A questo punto non mi rimane che salire verso Nord di 1 km per portarmi nel punto di partenza sul parallelo più lontano.

Come già detto, qualsiasi punto di questo parallelo è adatto allo scopo, per cui vi sono infiniti punti che soddisfano i nostri requisiti, tutti quelli che stanno sul parallelo a 1 k dal parallelo lungo 1 km.

Però, però... abbiamo finito così? Assolutamente NO e a questa conclusione è  arrivato, in seconda battuta, anche Giovanni. Basta pensare a Zenone e a un processo senza fine di tipo puramente matematico. Ad esempio, posso scegliere come parallelo di base non quello lungo 1 km, ma anche quello lungo 0.5 km. In tal modo come punti di partenza potrei tranquillamente scegliere TUTTI i punto del parallelo che dista 1 k verso Nord dal parallelo di 0.5 km. A questo punto la mia passeggiata cambia di poco: scendo di 1km verso Sud, poi compio DUE giri verso Ovest del parallelo di 0.5 km e mi ritrovo proprio sotto il punto di partenza che posso raggiungere ripercorrendo il percorso di andate in senso inverso.

Ma posso anche scegliere un parallelo pari a 1/3 di 1km, a 1/4, 1/5 ecc., ecc., anche a costo di fare n giri attorno al Polo Sud. Matematicamente siamo nelle condizioni del paradosso di Achille e la Tartaruga e potrei avvicinarmi sempre più al Polo Sud senza mai raggiungerlo, avendo così anche infiniti paralleli da cui partire. Tuttavia, a questo punto, la fisica differisce dalla matematica di Zenone, e prima o poi mi troverei proprio nel Polo Sud dove la direzione Ovest non avrebbe più senso.

In ogni caso, la risposta al problema è: INFINITI punti.

Per determinare la latitudine φ di questi paralleli e la distanza dal Polo Sud, basta utilizzare le banali formule che legano i raggi dei cerchi paralleli con il raggio della sfera, riportate in Fig. 2. Per saperne di più andate a consultare questo articolo sulla astronomia sferica

Il quiz lo trovate QUI