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Noi siamo abituati a definire una velocità come lo spazio percorso nell'unità di tempo. Il tutto può essere descritto considerando uno spazio euclideo o, quantomeno, piano e valutando le tre componenti della velocità di un punto. Attenzione, normalmente si intende: un punto che si muove per un qualche motivo rispetto a uno spazio rappresentato da un sistema di assi cartesiani sempre uguali tra loro (la definizione di spazio è sempre quella...). Potremmo anche traslare e/o ruotare  gli assi, cambiando perciò le componenti del punto di partenza e di arrivo, ma la distanza percorsa nell'unità di tempo sarebbe sempre la stessa, e quindi anche la velocità. In particolare, un punto starebbe fermo, al passare del tempo, se la sua velocità spaziale fosse nulla. Nello spaziotempo a 4 dimensioni, tuttavia, un oggetto è costretto a seguire, comunque, una sua linea di Universo che percorre, seguendo il tempo proprio.

In altre parole, anche se un'oggetto è fermo nello spazio, non lo è più nello spaziotempo a quattro dimensioni. Ciò che non cambia è una nuova distanza invariante, in cui compare anche lo spostamento lungo l'asse del tempo, reso simile in tutto e per tutto a un'asse spaziale. Minkowski ce lo ha insegnato, pur rimanendo in uno spaziotempo piano.

A volte si dice che pur stando fermi si viaggia alla velocità della luce nella direzione del tempo. Una frase d'effetto e sicuramente vera, dato che deriva dal fatto che abbiamo moltiplicato una variazione di tempo per una costante c, velocità della luce, e abbiamo ottenuto uno spazio. Spazio diviso tempo diventa allora una velocità secondo il nostro punto di vista classico. Ma, in realtà, dice solo e soltanto un'ovvietà: " un oggetto percorre  esattamente un'unità di distanza in una certa direzione se esso viaggia proprio percorrendo un'unità di distanza in quella direzione"... Come dire :"una cosa è bianca se è bianca!". Trasformiamola, infatti, nella definizione di velocità lungo l'asse del tempo, modificato per poter rappresentare uno spazio (moltiplicazione per c): "noi abbiamo percorso  un'unità di tempo nella direzione tempo se è passata un'unità di tempo".

In generale, ne segue che immergendo qualcosa in uno spaziotempo curvo, la stessa metrica definisce punto per punto la variazione delle coordinate, ossia la derivata, ossia, ancora,  il vettore tangente alla traiettoria spaziotemporale punto per punto. Un oggetto è costretto a seguire una certa linea di Universo imposta dalle masse presenti nello spaziotempo e la sua velocità va intesa, quindi, come vettore tangente alla linea di Universo in un determinato punto (funzione di 4 coordinate) e quindi anche in un certo istante. Ricordando Minkowski   si arrivano a definire "facilmente" le quattro componenti del vettore unitario u ( a partire dal vettore v), tangente alla linea di Universo (geodetica...), dato che le derivate vanno fatte rispetto al tempo proprio (dt = dt_P γ)

u_t = c/√(c² - v²)

u_x = - v_x/√(c² - v²)

u_y = -  v_y/√(c² - v²)

u_z= - v_z/√(c² - v²)

(potevamo anche mettere il segno meno a quella del tempo e lasciare il più alle altre...)

Notiamo che se v = 0, l'unica componente che rimane è u_t che è proprio uguale a 1 (vettore unitario).Questo è ciò che si intende con "viaggiare nel tempo alla velocità della luce...".

E' facilissimo provare che le quattro componenti sono proprio quelle del vettore unitario tangente alla curva di Universo dello spaziotempo curvo. Vale infatti l'invariante di Minkowski in un intorno piccolissimo e piano del punto in questione e la normalizzazione porta a:

u² = u_t² - u_x² - u_y² - u_z² = u_t² - (u_x² + u_y² + u_z²) = c²/(c²- v²) - (v_x² + v_y² + v_z²)/(c² - v²) = c²/(c² - v²) - v²/(c² - v²) = (c² - v²/(c² - v²) = 1

In preparazione a quanto si dirà dei capitoli futuri sulla RG, è bene cominciare a prendere dimestichezza con il vettore tangente unitario piuttosto che ragionare in termini di velocità "classica". Le derivate rispetto al tempo proprio portano a variazioni di coordinate e a variazioni di variazioni, che noi siamo abituati a definire velocità e accelerazioni. Che poi le componenti siano espresse come controvarianti o come covarianti o come un "mix" tra loro è solo una scelta "utilitaristica" (chiedete a Ricci & co....).

Spero che serva a chiarire (a suo tempo) e non a confondere.

NOTA BENE: Avete notato che ho evidenziato particolarmente la parola "normalizzazione". La ragione c'è ed è molto importante. Nell'uso comune quando si dice che la situazione si è "normalizzata" si intende che si è tornati alla normalità, a una condizione di tranquillità. In matematica e geometria, la faccenda è piuttosto diversa. Prendiamo proprio la definizione di norma di un vettore nell'Enciclopedia Treccani:

normalizzare un vettore: dividere ciascuna delle sue componenti per la norma del vettore stesso (il vettore normalizzato avrà quindi norma pari a uno).

La norma, quindi, diventa un'entità ben definita che, nel caso più comune delle tre dimensioni euclidee, può essere scritta come la radice quadrata della somma dei quadrati delle tre componenti (Pitagora, insomma...). Nel caso di un quadrivettore (spaziotempo di Minkowski) questa operazione porta a un valore pari proprio a √(c² - v²), dove v² è proprio la somma dei quadrati delle tre componenti spaziali. Non dimentichiamoci, infatti, della "nuova" distanza INVARIANTE.