Come annunciato, il problema  necessitava di una preparazione al livello delle medie superiori. L'importante era scegliere bene gli assi cartesiani di riferimento e avere un po' di intuito. Come sempre, Fabrizio è riuscito a far sì che i tre fratelli ottenessero il massimo dal terreno avuto in eredità. Inoltre, ha impreziosito la soluzione con una bella animazione molto istruttiva.

La pima cosa da fare è limitare il campo di azione. Le ellissi devono essere uguali tra loro e ne deriva che ognuna di esse deve avere a disposizione un terzo del cerchio di partenza. Questa divisione si fa abbastanza in fretta tracciando tre raggi che sottendano 120° tra di loro (120 · 3 = 360). Due ellissi consecutive devono perciò "toccare" questi raggi, e dovendo essere uguali tra loro, devono essere tangenti a due a due, esattamente nel punto di contatto con il raggio che divide le tre sezioni, come mostrato in Fig.1.

Inoltre, dato che il triangolo ABD è per costruzione equilatero, lo deve essere anche il triangolo che tocca i  punti di tangenza delle tre ellissi. Ciò che però più importa è che l'angolo CTH risulta uguale a 30°.

Possiamo allora occuparci di una sola ellisse e, in particolare, della sola parte colorata in azzurro.

Disegniamo la Fig. 2 in cui prendiamo, come origine O degli assi cartesiani x e y, il centro dell'ellissi di semiassi a e b (le nostre incognite finali). Il centro della circonferenza di partenza C ha, perciò, coordinate x = 0 e y = y₀

In questo sistema di coordinate l'equazione della circonferenza risulta:

x² + (y - y₀)² = 1                                    .... (1)

mentre quella dell'ellissi è:

x²/a² + y²/b² = 1                                   .... (2)

Consideriamo la retta passante per C e per T. Essa ha equazione:

y = tan (30°)x + y₀ = x/√3 + y₀           .... (3)

Identifichiamo il punto di intersezione di questa retta con l'ellissi (punto di tangenza T). Per farlo basta sostituire il valore di y dato dalla (3) nell'equazione (2)

x²/a² + (x/√3 + y₀ )²/b² = 1

Svolgiamo un po' di calcoli...

x²/a² + x²/3b² + y₀²/b²+ 2 xy₀/√3b² = 1

moltiplichiamo il tutto per a²b²

x²b² + a²x²/3 + a²y₀² + 2y₀a²x/√3 = a²b²

ordiniamola meglio

(b² + a²/3)x² + (2a²y₀/√3) x  + (a²y₀² - a²b²) = 0

Questa è una semplice equazione di secondo grado in x, del tipo:

Ax² + Bx + C = 0

Abbiamo bisogno di risolverla veramente? In realtà no, dato che sappiamo che le sue soluzioni devono coincidere nel punto T di tangenza tra retta e ellissi. Ci basta, perciò, annullare il determinante per ottenere una prima relazione molto importante tra i semiassi e l'ordinata del centro C della circonferenza:

Det. = B² - 4AC = 0                    .... (4)

dove

A = b² + a²/3

B = 2a²y₀/√3

C = a²y₀² - a²b² 

Andiamo a sostituire nella (4 ) e otteniamo:

4a⁴y₀²/3 - 4(b² + a²/3)(a²y₀² - a²b² ) = 0

4a⁴y₀²/3 - 4b²a²y₀² + 4b⁴a²  - 4a⁴y₀²/3  + 4 a⁴b²/3  = 0

- y₀² + b²  + a²/3  = 0

y₀² = b² + a²/3                            .... (5)

Ovviamente, il valore di y₀ dipende sia da a che da b. Ci serve un'altra relazione...

Finora abbiamo sfruttato l'ipotesi che le ellissi siano tangenti tra loro. Abbiamo, però, un'altra caratteristica da sfruttare, ossia quella della tangenza tra ellissi e circonferenza.

Nessun problema, dato che abbiamo già scritto l'equazione della circonferenza (1) e quella dell'ellissi (2). Ci basta, perciò, ricavare x² dalla (1) e andare ad inserirlo nella (2).

Dalla (1) abbiamo:

x² = 1 - (y - y₀)²

Inserendolo nella (2) si ricava l'equazione:

(1 - (y - y₀)²)/a²  + y²/b² = 1

Moltiplichiamo sia a destra che a sinistra per a²b²

b² - b²(y - y₀)² + a²y² = a²b²

b² - b²y² + 2b²yy_o - b²y₀² + a²y² - a²b² = 0

(a² - b²)y² + 2b²yy₀ + b² - a²b² - b²y_o² = 0

Scriviamola come:

M y² + Ny + P = 0

con

M = (a² - b²)

N = - 2b²y₀

P = b² - a²b² - b²y_o²

Nuovamente, a noi interessa solo porre uguale a zero il discriminante, ossia:

N² - 4 MP = 0

4b⁴y₀² - 4(a² - b²)(b² - a²b² - b²y₀²) = 0

b⁴y₀² - (a²b² - a⁴b2 - a²b²y₀² - b⁴ + a²b⁴ + b⁴y₀²) = 0

semplificando

a²b² - a⁴b2 - a²b²y₀² - b⁴ + a²b⁴  = 0

Abbiamo solo un termine in cui compare y_o, per cui:

a²b²y₀² = a²b² - a⁴b²  - b⁴ + a²b⁴

y₀² =  1 - a² - b²/a² + b²                       .... (6)

Anche in questo caso troviamo un valore di y₀ che dipende soltanto da a e da b.

Facendo sistema tra la (5) e la (6) possiamo eliminare la y₀ e determinare una semplice relazione tra a e b

b² + a²/3 = 1 - a² - b²/a² + b²     

semplifichiamo e otteniamo:

a²/3 = 1 - a² - b²/a²  

Ricaviamo  b² in unzione di a

3b² = 3a² - 3a⁴ - a⁴

b² = a² - 4 a⁴/3                                         .... (7)

Possiamo già scrivere quanto vale l'area S dell'ellisse:

S = π a b = π √(a² b²)

Vogliamo che questo valore sia il massimo possibile. Per come è definita la radice quadrata, essa raggiunge un massimo quando lo fa il radicando. Per cui ci basta trovare il massimo di a²b²

a²b² = a² (a² - 4a⁴/3)

a²b² = a⁴ - 4a⁶/3

Nessuno spavento ... per il grado, dato che dobbiamo eseguire la derivata di un polinomio. Il valore di a che l'annulla ci dà proprio il valore di a in grado di rendere massima (o minima) l'area.

d(a⁴ - 4a⁶/3)/da = 4a³ -  24a⁵/3 = 4a³ - 8a⁵ = 0

Mettiamo in evidenza 4a³

4a³(1 - 2a²) = 0

Per rendere uguale a zero questa derivata una possibilità è  considerare a = 0, ma questa non è certo una soluzione che ci interessa (è il valore minimo)... L'alternativa è porre:

1 - 2a² = 0

ossia:

a² = 1/2

a = 1/√2                           .... (8)

che è proprio il  valore di a relativo all'ellisse di massima area. La soluzione negativa è ovviamente da scartare.

La (7) ci permette di ricavare b, conoscendo il valore di a:

b² = a² - 4 a⁴/3

b² = 1/2 - 4/12 = (6 - 4)/12 = 1/6

da cui:

b = 1/√6                            .... (9)

Dalla (8) e (9) si ottiene, finalmente, il valore del massimo dell'area dell'ellisse

S_max = π ab = π (1/√2)(1/√6) = π/√12 = π/(2√3)

S_max = π√3/6 

I tra fratelli ottengono l'eredità e riescono anche a occupare (tutti e tre) una parte piuttosto grande della superficie totale del cerchio S_cer (S_cer = π, dato che il raggio è unitario)

3S_max = 3π√3/6 = π√3/2 = 0.87 π = 0.87 S_cer

Potremmo dire che è uno strano metodo per determinare il pigreco ...

QUI trovate il quiz

Appendice (con l'aiuto insostitubile di Fabrizio)

Può essere interessante studiare l'evoluzione completa delle ellissi che soddisfano i requisiti del problema: tangenza al cerchio e tangenza tra di loro. Ci è di grande aiuto la Fig.3.

Indipendentemente dalla loro lunghezza si è chiamato b il semiasse verticale e a il semiasse orizzontale. E' facile notare come essi si scambiano i ruoli. Iniziamo con l'ellisse degenere rossa. Essa ha b = 0.5  e a = 0 (ricordiamo , ancora, che il raggio del cerchio di partenza è posto uguale a 1). Schiacciano b e allargando a l'ellissi si ingrandisce pur avendo ancora come semiasse maggiore il semiasse b. Particolare importanza ha il caso in cui a = b = r, ossia l'ellisse diventa un cerchio (azzurro).

Come vedremo tra poco è facile determinare il valore del raggio r, pari a:

r = 0.46

Da quel momento in poi, l'0asse a diventa il semiasse maggiore. Durante questa fase si raggiunge il valore dell'area massima, per poi tornare verso l'ellisse degenere finale in cui b = 0 e a = 0.87 (linea verde). Anche in questo caso è molto facile determinare il valore di a.

Per trovare il raggio r = a = b e il semiasse a finale, utilizziamo la Fig. 4.

Il triangolo CTO è simile al triangolo CKA, dato che sono rettangoli e inoltre hanno l'angolo in O e quello in A uguali tra loro (quello in O è formato da CO e TO, perpendicolari a CA e KA). Quest'ultimo angolo è, inoltre, per costruzione uguale a 30°.

Possiamo, perciò, stabilire che il segmento CT è pari alla metà di CO. Tuttavia, sappiamo anche che CO = 1 - r.

CT² = CO² - OT² = (CO)²/4

(1 - r)² - r² = (1 - r)²/4

4(1 - r)² - 4r² = (1 - r)²

3(1 - r)² - 4r² = 0

3 + 3r² - 6r - 4r² = 0

r² + 6r - 3 = 0

Da cui r

r = - 3 +/- √(9 + 3) = - 3 +/- 2√3

Scegliamo, ovviamente, la soluzione positiva e abbiamo:

r = - 3 + 2√3 ≅ 0.46

Ancora immediato determinare AK, il semiasse dell'ellissi degenere verde.

Sappiamo che il triangolo equilatero inscritto in un cerchio di raggio R, ha come lato:

l = R√3

Nel nostro caso R = 1 e l =AB. Ne segue:

AK =  AB/2 = √3/2 ≅ 0.87

A questo punto, Fabrizio ha completato il tutto con le sue bellissime animazioni di cui ci aveva dato un assaggio già nei commenti: in alto la deformazione delle ellissi (con uno stop nel momento in cui raggiungono l'area massima). In basso, i grafici dell'area delle ellissi e del semiasse verticale in funzione del semiasse orizzontale.