Questo è il quindicesimo articolo della serie "La Relatività Generale al microscopio"

 

Torniamo al teorema della divergenza:

∫F dA = ∫∇F dV

introduciamo la densità ρ, ricordando che è proprio lei il parametro fisico fondamentale per decidere quanto si possa curvare lo spaziotempo. La massa può rimanere la stessa, ma tutto dipende dal volume che occupa e da come si distribuisce al suo interno. La massa del Sole distribuita in modo omogeneo dentro una superficie sferica di raggio pari a 600 000 km non ha certo gli stessi effetti che ha la stessa massa concentrata in un volume di pochi centimetri. Nel secondo caso permette di avvicinarsi a lui fino a distanze ridicole e subire effetti devastanti sullo spaziotempo.

ρ = M/V

e, girando la "frittata":

M = ρ V

o meglio ancora:

M = ∫ρ dV

abbiamo però ricavato che:

∫F dA = - 4π G M

Inseriamo il valore della massa appena definito:

∫F dA = - 4π G∫ρ dV

Ma sappiamo anche che

∫F dA = ∫∇F dV

e quindi:

- 4π G∫ρ dV = ∫_V∇F dV

che comporta, semplificando:

- 4π G ρ  = ∇F

Ricordiamo che:

F =  -∇Φ

Cioè:

∇ (-∇Φ) = - 4π G ρ  

o, anche:

∇² Φ= 4π G ρ 

Avevamo però mostrato che

g₀₀ = 2Φ + cost.

Ossia che la componente relativa al tempo del tensore metrico era proprio due volte l'energia potenziale più una costante. Da cui:

Φ = g₀₀ /2  + k

Inserendolo nell'equazione precedente si ha (la derivata della costante k va a zero):

∇² g₀₀ /2 = 4π G ρ

Moltiplichiamo entrambi i membri per 2 e abbiamo:

∇² g₀₀ = 8π G ρ

Fantastico, ma si può fare di meglio...

Il Tensore di Einstein 

Il problema della formula precedente  è che non rappresenta ciò che si definisce un'equazione tensoriale, mentre la relatività generale ha bisogno proprio di questa. Tuttavia, scriviamo qualcosa di molto simile:

G_μν = 8π G T_μν           

A sinistra abbiamo un tensore che descrive la metrica dello spaziotempo curvo, a destra un tensore che prende il posto della densità, ossia della massa-energia totale, includente anche ogni stress o pressione che agisca sulla massa e sulla sua distribuzione. In poche parole qualcosa che descriva perfettamente la densità che genera il campo.

Vediamo di costruire questi due tensori...

Nota Bene:

In realtà, tutta la nostra trattazione avrebbe potuti cominciare da questo punto, dato che l'equazione esprime in simboli l'idea base di Einstein: rendere equivalenti la struttura legata all'energia del sistema con la metrica curva dello spaziotempo. Ovviamente, il tutto attraverso tensori che mantengano l'invariabilità rispetto a qualsiasi sistema di riferimento. Una uguaglianza che funzioni sia per il caso newtoniano (del tutto soddisfacente per uno spazio euclideo)  sia per uno spaziotempo comunque deformato. Diciamo, quindi, che tutta la trattazione precedente ci ha permesso di "portarci avanti nel lavoro" e di avere già pronte le trasformazioni e le correzioni da eseguire per descrivere il concetto di base.

Dalla relatività ristretta Einstein ha già in mano un vettore quadrimensionale legato alla quantità di moto.

Esso può essere scritto come massa per velocità, dove per velocità si intendono tutte le derivate delle quattro coordinate rispetto al tempo. In poche parole qualcosa del genere:

q = m(x⁰/τ, x¹/τ, x²/τ, x³/τ)

In pratica abbiamo quattro termini che rappresentano le quantità di moto secondo gli assi. La prima si riduce (vedi relatività ristretta) a mc², ossia all'energia a riposo, le altre a mv₁, mv₂, mv₃

Attenzione: A questo punto inserisco un'aggiunta per richiamare, in modo più consono a ciò che stiamo per scrivere, il quadrivettore relativo alla quantità di moto (sono cose già dette nella dinamica relativistica, ma è meglio averla sottomano...)

Scriviamo la distanza invariante nello spaziotempo di Minkowski (un sola coordinata per lo spazio):

s² = x₀² - x₁²

x_o è proprio la coordinata relativa al tempo e può scriversi:

s² = (c t)² - x₁²

mettiamo in evidenza (ct)²

s² = (c t)² ( 1 - x₁²/(ct)²)

s = ct ( 1 - x₁²/(ct)²)^1/2

Ma

x₁²/t² = v²                        (è una velocità ...)

Da cui

s = ct (1 - v²/c²)^1/2

dividendo per c:

s/c = t (1 - v²/c²)^1/2  = τ

il secondo termine lo conosciamo bene ed è il tempo proprio τ, un invariante!

Se è un invariante il secondo membro lo deve anche essere s/c. Ovviamente, il tutto deve essere esteso anche alle altre due componenti spaziali, in modo da ottenere il famoso quadrivettore.

Bene introduciamo un altro quadrivettore che chiamiamo quadrivettore della quantità di moto:

Q = m(x₀/τ, x₁/τ, x₂/τ, x₃/τ)

Consideriamo nuovamente, per semplicità, una sola componente spaziale e al posto di x₀ inseriamo la componente temporale, ossia al posto di x₀ scriviamo ct. Il primo termine del vettore quantità di moto è, perciò:

Q₀ = m ct/τ

mentre il secondo elemento è

Q₁ = m x₁/τ = m x₁ t/(t τ)       (abbiamo moltiplicato sopra e sotto per t)

ma

t/τ = 1/(1 - v²/c²)^1/2

e, quindi:

Q₀ = m ct/τ = m c/(1 - v²/c²)^1/2

Q₁ = m v /(1 - v²/c²)^1/2

A questo punto richiamiamo uno sviluppo in serie che avevamo già usato nella dinamica relativistica:

(1 + x)ⁿ = 1 + nx + ...

Nel nostro caso:

(1 - v²/c²)^-1/2 = 1 + v²/2 c² + ...

Per cui:

Q₁ = m v + mv³/2c² + ...

Che cosa rappresenta? Abbastanza semplice da ricavare...

il primo termine, mv, è proprio la quantità di moto "classica", mentre il secondo termine può essere considerato un fattore correttivo che va tenuto in conto solo per velocità v molto prossime alla velocità della luce.  In questo momento, però, ci basta concludere che Q₁ rappresenta proprio la quantità di moto.

Scriviamo adesso il termine Q₀

Q₀ = m c/(1 - v²/c²)^1/2  = mc + mcv²/2c² + ... = mc +  mv²/2c + ...

moltiplichiamo tutto per c

cQ₀ = mc² + 1/2 mv² + ...

Si riconosce subito il termine 1/2 mv² che altri non è che l'energia cinetica. Ne segue che cQ₀ deve rappresentare l'energia.

Ma cosa succede quando non vi è energia cinetica, ossia quando si è fermi e ci si muove sono nel tempo? Beh... v = 0 e, quindi:

cQ₀ = mc²

Ne segue  che l'energia a riposo, E, è proprio uguale a cQ₀, ossia che:

E = mc²      (tanto per cambiare...)

Se non c'è movimento lungo gli assi spaziali, ci si muove comunque alla velocità della luce. Il termine privo di movimento dà proprio luogo a mc² , l'energia a riposo!

Questo è però un vettore, mentre noi vogliamo un tensore... con quattro componenti per ogni dimensione, ossia qualcosa del tipo

T00     T01     T02    T03

T10      T11      T12     T13

T20     T21      T22     T23

T30      T31     T32     T33

il primo termine in alto a sinistra (ricordando il quadrivettore) rappresenta proprio l'energia. Gli altri termini della prima riga rappresentano il trasferimento dell'energia sulle altre coordinate, mentre i tre termini della prima colonna vengono chiamati densità della quantità di moto. I termini rimanenti rappresentano il flusso, lo stress e la pressione della quantità di moto. In parole semplici tutte le forme di energia sono rappresentate nel nostro tensore che prende proprio il nome di tensore di stress-energia-quantità di moto. In altre parole esso rappresenta l'energia per unità di volume:

E/Vol

ma l'energia è un lavoro, ossia una forza per una lunghezza L, mentre il volume è una lunghezza L al cubo. ne segue:

E/Vol = F/L²

Ma L² è un'area, perciò:

E/Vol = F/A

che altro non è che la pressione. Si può concludere che l'energia per unità di volume rappresenta la pressione.

La parte destra della equazione di campo ha ora il giusto tensore capace di descrivere ogni forma di energia.