Consideriamo nuovamente il triangolo ABC in Fig. 6.

Per comodità descrittiva, indichiamo gli angoli ottenuti con le trisettrici con r (rosa), m (marrone) e v (verde). Stabiliamo anche una relazione banale, ma molto importante.

3r + 3m + 3v = 180°

per cui

r + m + v = 60°

D'ora in poi indicheremo sempre gli angoli con il loro colore (quello arancione corrisponde a un angolo di 60°).

In Fig. 7 costruiamo le trisettrici e stabiliamo un'altra importante relazione

Il triangolo che come angoli r e m, ha sicuramente il terzo angolo che vale 120° + v. La dimostrazione è immediata:

Sappiamo che

r + m + v = 60°

Ma, se inseriamo v nell'angolo mancante, sappiamo anche che

m + v + r + x + x = 180°

60° + 2x = 180°

2x = 120°

x = 60°

Analogamente per gli altri due angoli. Possiamo perciò colorare in giallo molti angoli che verranno estremamente utili.

Notiamo bene che tutto ciò che abbiamo ricavato vale SEMPRE, indipendentemente dal fatto che il triangolo al centro sia equilatero oppure no: non lo abbiamo assolutamente fatto intervenire fino ad ora.

A questo punto facciamo una congettura sulla  figura. In particolare, analizziamo il triangolo che ha come angoli a, b e r  (Fig.

Quanto possono valere a e b (e di conseguenza c, d, e ed f)? Beh... un'ottima ipotesi è che essi siano rispettivamente:

a = 60° + v

b = 60° + m

Questa congettura è plausibile e semplice. Plausibile in quanto se sommiamo gli angoli troviamo:

60° + v + r + 60°+ m = 180°

ma, sapendo che v + r + m = 60°, la relazione è verificata (60° + 60° + 60° = 180°).

Ribadiamo ancora che questa è per ora solo una congettura, per elegante e semplice che sia, che dovrà essere dimostrata, insieme al fatto che il triangolo al centro sia equilatero.

Notiamo subito che la congettura va perfettamente d'accordo con l'ipotesi che il triangolo al centro sia equilatero, come mostra la Fig. 9.

Infatti, facendo la somma degli angoli attorno ai vertici del triangolo equilatero si ha proprio:

60 + v + 60 + r + 60 + 60 + 60 + m =  300 + v + r + m = 360°

Partiamo adesso con la nostra dimostrazione, invertendo il problema. Diamo per scontato che il triangolo al centro sia equilatero, costruiamo attorno una figura che rispetti quanto trovato finora e che segua la congettura. Se, alla fine, si ottiene in modo univoco il triangolo di partenza, vuole dire che il triangolo al centro è veramente equilatero e che la congettura è esatta.

In altre parole, disegniamo un bel triangolo equilatero e sui suoi lati inseriamo i triangoli che seguono la congettura appena descritta, come mostra la Fig. 10.

I colori che sono stati usati seguono l'ipotesi di partenza e la congettura. Uniamo poi A' con B' e con C'. Dobbiamo dimostrare che A'B'C' è uguale ad ABC. In tal modo ne segue che il triangolo deve essere equilatero e che la congettura è esatta.

Partiamo dal triangolo equilatero GEF e disegniamo la Fig. 11

Prendiamo il triangolo A'EG e duplichiamolo. Poi lo ribaltiamo e lo inseriamo accanto ad A'GE. Ovviamente, i due triangoli così' affiancati sono congruenti (l'abbiamo costruiti noi in questo modo) e i loro angoli devono essere uguali. In particolare EA'G' = r.

A questo punto, non ci resta che prolungare il lato A'G' e tracciare un segmento da E in modo che incontri il prolungamento di A'G' in un punto B', facendo un angolo pari a m (Fig. 12).

In pratica, noi costruiamo proprio l'angolo m, ma quello che deve essere dimostrato è che, facendo in questo modo, si ricostruiscano i triangoli  rimanenti e, in particolare il triangolo EFB originale, con le sue caratteristiche. Se ciò capita vuol dire che l'unica possibilità di ricostruire il triangolo di partenza è proprio quella che necessita del triangolo equilatero iniziale e della congettura successiva. Ovviamente, se ciò capita per EFB, con un ragionamento del tutto analogo, si dimostra anche per CGF, ecc.

Spostiamo momentaneamente il triangolo A'EG’ e consideriamo il triangolo A'EB’. Per quanto dimostrato all’inizio l’angolo in E deve essere uguale a 60 + 60 + v (Fig. 13)

Quanto deve valere l’angolo FEB’? Facile calcolarlo, girando attorno a E:

FEB’ = 360 - 60 - 60 – m – 60 – v - 60 = 120 – m - v

ricordando che m + r + v = 60 possiamo aggiungere e togliere r

FEB' = 120 -r + r -m - v = 120 -60 + r = 60 + r

Immaginiamo, allora, un triangolo che segua pienamente la  congettura, come quello rappresentato separatamente nella Fig. 14.

Se questo triangolo "ipotetico" si inserisse perfettamente nello spazio vuoto vorrebbe dire che la congettura funziona e che, soprattutto, questo triangolo avrebbe l'angolo più piccolo esattamente uguale a m. In poche parole avremmo dimostrato che partendo dal triangolo equilatero si arriva a costruire in modo univoco proprio il triangolo ABC di partenza.

Per far ciò tracciamo da E il segmento EH' uguale a EG', come mostra la Fig. 15:

Il triangolo EG'H' è isoscele per costruzione e quindi l'angolo EG'H' deve essere uguale EH'G'. Ovviamente, l'angolo HEB' deve essere 60 + r. Disegniamo la Fig. 16 per maggiore chiarezza:

Il triangolo EHB' può essere duplicato e ribaltato, inserendolo così nello spazio vuoto. Lui ci starebbe benissimo dato che EB' si conserverebbe e sarebbe anche EH = EF. Ma, il triangolo così ribaltato, è congruente al triangolo ipotetico che rimane in attesa a sinistra. Ciò vuol dire che questo triangolo, che segue la congettura, è esattamente quello che ci vuole e non può essere diverso. In poche parole, lo possiamo inserire perfettamente come mostra la Fig. 17

Il tutto finisce qui, dato che, come già accennato, possiamo duplicare e ribaltare il triangolo EFB' e seguire lo stesso procedimento di Fig. 11 e ottenere alla fine che tutto il triangolo A'B'C' coincide perfettamente con il triangolo ABC. In conclusione EFG deve univocamente essere un triangolo equilatero e la nostra congettura esatta.

Abbiamo notato come, attraverso una congettura, una partenza al contrario e una serie di ragionamenti estremamente raffinati, ma geometricamente molto semplici, la dimostrazione è stata ottenuta. Niente formule, niente trigonometria e niente geometria analitica. Insomma una dimostrazione veramente alla greca.

Se il teorema poteva essere considerato un vero miracolo, altrettanto si può anche dire di questa dimostrazione. Non l'ho certo inventata io, ma è frutto del matematico inglese John Conway, morto per Covid nel 2020. Il suo metodo così elegante risale alla fine degli anni '90 e io ho solo cercato di renderlo il più logico e razionale possibile attraverso l'utilizzo di molte figure. Probabilmente sono anche stato ripetitivo, ma spero di aver reso con chiarezza la sequenza di ragionamenti semplicissimi ma tutt'altro che ovvi.

Diamo un po' di nomi e di date. Il teorema nasce nel 1899 ad opera di Frank Morley (1860 - 1937). Un vero e proprio "miracolo" degno degli antichi greci (non per niente viene anche chiamato il "miracolo di Morley"). Un teorema di una semplicità disarmante, ma dalla dimostrazione estremamente difficile. Quest'ultima è stata data in moltissimi modi, ma solo Conway è riuscito ad essere all'altezza degli antichi greci... Euclide sarebbe fiero di lui!