Un fantastico teorema che, quasi inspiegabilmente, gli antichi greci non avevano enunciato. Le conclusioni sono moto semplici (due asterischi), ma la sua dimostrazione abbisogna di parecchia fantasia e ragionamento (cinque asterischi). Descriviamo il teorema e lasciamo qualche giorno ai più "bravi" per tentare la dimostrazione. Ma bisogna proprio essere bravi!
Un argomento estremamente interessante in quanto mette allo scoperto una "lacuna" nella geometria euclidea. Parliamo di una vera magia che ha dovuto aspettare secoli prima di essere "eseguita".
Quando si parla di geometria euclidea ci si riferisce allo strabiliante lavoro di Euclide e di molti altri che lo seguirono. Gli antichi greci hanno veramente "scandagliato" e risolto tutti i problemi puramente geometrici? Così sembrava... ma alcuni secoli dopo (non dico quanti per non fornire aiuti supplementari) ecco accadere un vero e proprio "miracolo": di punto e in bianco, fa la sua comparsa un teorema riguardante i triangoli che nessuno aveva mai enunciato. Eppure si tratta di geometria elementare...
Molto probabilmente, tutto dipende dall'argomento che tratta, ossia la trisezione di un angolo. Sappiamo quanto gli antichi (e non solo) si siano battuti per riuscire a risolverlo con il solo compasso e riga non graduata. Operazione questa che non poteva portare ad alcun risultato positivo. Ostinandosi in tal senso era, però, sfuggita una proprietà meravigliosa legata alla trisezione degli angoli di un triangolo qualsiasi. Un miracolo o una magia (come preferite) che porta, a cascata, una serie di ulteriori proprietà.
Eccovi l'enunciato del teorema:
Consideriamo un triangolo qualsiasi e tracciamo le trisettrici dei tre angoli interni. I punti di intersezione delle coppie di trisettrici degli angoli adiacenti allo stesso lato sono i vertici di un triangolo equilatero.
La Fig. 1 illustra chiaramente la semplice enunciazione.
Figura 1
Il triangolo ABC è un triangolo qualsiasi, ma il triangolo GEF è SEMPRE un triangolo equilatero.
La faccenda diventa ancora più intrigante, quando si considerano anche le trisettrici degli angoli esterni al triangolo e si trovano le intersezioni tra di loro e con quelle interne. Facciamo qualche esempio...
In Fig. 2 abbiamo chiamato 3α', 3β', 3γ' gli angoli esterni e abbiamo considerato i punti intersezione delle coppie delle loro trisettrici . Agendo in tal modo otteniamo il triangolo HKL, che risulta anch'esso equilatero.
Figura 2
Si può fare di più e considerare le intersezioni tra trisettrici esterne e trisettrici interne, come mostra la Fig. 3. Si ottiene nuovamente un triangolo equilatero PQH.
Figura 3
Per non creare troppa confusione, in figura è stato costruito solo un triangolo relativo a un lato del triangolo di partenza ABC, ma il procedimento può essere ripetuto per gli altri due lati e si ottengono i triangoli di Fig. 4.
Figura 4
In realtà, si può andare avanti e costruire ben 18 triangoli tutti equilateri, come mostra la Fig. 5. Una vera e propria magia che si fa fatica a non accostare a Euclide e alle scuole della Grecia antica. Eppure loro non se ne erano accorti...
Figura 5
La dimostrazione del teorema *****, enunciato all'inizio (relativo al solo triangolo interno), non è semplice ed è stata ottenuta in molti modi, sia trigonometricamente che analiticamente, algebricamente e con i numeri complessi. Tuttavia, si può anche raggiungere lo scopo utilizzando un metodo alla "greca", basato solo su regole veramente banali, che riporto qui di seguito:
La somma degli angoli interni di un triangolo vale 180°.
Due triangoli che abbiano due angoli uguali sono simili
Due triangoli che abbiano due angoli e il lato tra loro compreso uguali sono uguali
I più bravi possono anche provare e chissà mai che non scoprano un procedimento ancora più semplice di quelli già pubblicati... Per questo motivo, nascondo la soluzione che è altrettanto geniale. Vi lascio qualche giorno per pensare e tentare e poi la svelerò pubblicamente, rivelando anche il nome del teorema. Buona fortuna ai più volenterosi, ribadendo che l'operazione è piuttosto ardua e abbisogna di regole semplicissime, ma anche di une serie di ragionamenti raffinati e profondi.
Consideriamo nuovamente il triangolo ABC in Fig. 6.
Figura 6
Per comodità descrittiva, indichiamo gli angoli ottenuti con le trisettrici con r (rosa), m (marrone) e v (verde). Stabiliamo anche una relazione banale, ma molto importante.
3r + 3m + 3v = 180°
per cui
r + m + v = 60°
D'ora in poi indicheremo sempre gli angoli con il loro colore (quello arancione corrisponde a un angolo di 60°).
In Fig. 7 costruiamo le trisettrici e stabiliamo un'altra importante relazione
Figura 7
Il triangolo che come angoli r e m, ha sicuramente il terzo angolo che vale 120° + v. La dimostrazione è immediata:
Sappiamo che
r + m + v = 60°
Ma, se inseriamo v nell'angolo mancante, sappiamo anche che
m + v + r + x + x = 180°
60° + 2x = 180°
2x = 120°
x = 60°
Analogamente per gli altri due angoli. Possiamo perciò colorare in giallo molti angoli che verranno estremamente utili.
Notiamo bene che tutto ciò che abbiamo ricavato vale SEMPRE, indipendentemente dal fatto che il triangolo al centro sia equilatero oppure no: non lo abbiamo assolutamente fatto intervenire fino ad ora.
A questo punto facciamo una congettura sulla figura. In particolare, analizziamo il triangolo che ha come angoli a, b e r (Fig.
Fiigura 8
Quanto possono valere a e b (e di conseguenza c, d, e ed f)? Beh... un'ottima ipotesi è che essi siano rispettivamente:
a = 60° + v
b = 60° + m
Questa congettura è plausibile e semplice. Plausibile in quanto se sommiamo gli angoli troviamo:
60° + v + r + 60°+ m = 180°
ma, sapendo che v + r + m = 60°, la relazione è verificata (60° + 60° + 60° = 180°).
Ribadiamo ancora che questa è per ora solo una congettura, per elegante e semplice che sia, che dovrà essere dimostrata, insieme al fatto che il triangolo al centro sia equilatero.
Notiamo subito che la congettura va perfettamente d'accordo con l'ipotesi che il triangolo al centro sia equilatero, come mostra la Fig. 9.
Figura 9
Infatti, facendo la somma degli angoli attorno ai vertici del triangolo equilatero si ha proprio:
60 + v + 60 + r + 60 + 60 + 60 + m = 300 + v + r + m = 360°
Partiamo adesso con la nostra dimostrazione, invertendo il problema. Diamo per scontato che il triangolo al centro sia equilatero, costruiamo attorno una figura che rispetti quanto trovato finora e che segua la congettura. Se, alla fine, si ottiene in modo univoco il triangolo di partenza, vuole dire che il triangolo al centro è veramente equilatero e che la congettura è esatta.
In altre parole, disegniamo un bel triangolo equilatero e sui suoi lati inseriamo i triangoli che seguono la congettura appena descritta, come mostra la Fig. 10.
Figura 10
I colori che sono stati usati seguono l'ipotesi di partenza e la congettura. Uniamo poi A' con B' e con C'. Dobbiamo dimostrare che A'B'C' è uguale ad ABC. In tal modo ne segue che il triangolo deve essere equilatero e che la congettura è esatta.
Partiamo dal triangolo equilatero GEF e disegniamo la Fig. 11
Figura 11
Prendiamo il triangolo A'EG e duplichiamolo. Poi lo ribaltiamo e lo inseriamo accanto ad A'GE. Ovviamente, i due triangoli così' affiancati sono congruenti (l'abbiamo costruiti noi in questo modo) e i loro angoli devono essere uguali. In particolare EA'G' = r.
A questo punto, non ci resta che prolungare il lato A'G' e tracciare un segmento da E in modo che incontri il prolungamento di A'G' in un punto B', facendo un angolo pari a m (Fig. 12).
Figura 12
In pratica, noi costruiamo proprio l'angolo m, ma quello che deve essere dimostrato è che, facendo in questo modo, si ricostruiscano i triangoli rimanenti e, in particolare il triangolo EFB originale, con le sue caratteristiche. Se ciò capita vuol dire che l'unica possibilità di ricostruire il triangolo di partenza è proprio quella che necessita del triangolo equilatero iniziale e della congettura successiva. Ovviamente, se ciò capita per EFB, con un ragionamento del tutto analogo, si dimostra anche per CGF, ecc.
Spostiamo momentaneamente il triangolo A'EG’ e consideriamo il triangolo A'EB’. Per quanto dimostrato all’inizio l’angolo in E deve essere uguale a 60 + 60 + v (Fig. 13)
Figura 13
Quanto deve valere l’angolo FEB’? Facile calcolarlo, girando attorno a E:
FEB’ = 360 - 60 - 60 – m – 60 – v - 60 = 120 – m - v
ricordando che m + r + v = 60 possiamo aggiungere e togliere r
FEB' = 120 -r + r -m - v = 120 -60 + r = 60 + r
Immaginiamo, allora, un triangolo che segua pienamente la congettura, come quello rappresentato separatamente nella Fig. 14.
Figura 14
Se questo triangolo "ipotetico" si inserisse perfettamente nello spazio vuoto vorrebbe dire che la congettura funziona e che, soprattutto, questo triangolo avrebbe l'angolo più piccolo esattamente uguale a m. In poche parole avremmo dimostrato che partendo dal triangolo equilatero si arriva a costruire in modo univoco proprio il triangolo ABC di partenza.
Per far ciò tracciamo da E il segmento EH' uguale a EG', come mostra la Fig. 15:
Figura 15
Il triangolo EG'H' è isoscele per costruzione e quindi l'angolo EG'H' deve essere uguale EH'G'. Ovviamente, l'angolo HEB' deve essere 60 + r. Disegniamo la Fig. 16 per maggiore chiarezza:
Figura 16
Il triangolo EHB' può essere duplicato e ribaltato, inserendolo così nello spazio vuoto. Lui ci starebbe benissimo dato che EB' si conserverebbe e sarebbe anche EH = EF. Ma, il triangolo così ribaltato, è congruente al triangolo ipotetico che rimane in attesa a sinistra. Ciò vuol dire che questo triangolo, che segue la congettura, è esattamente quello che ci vuole e non può essere diverso. In poche parole, lo possiamo inserire perfettamente come mostra la Fig. 17
Figura 17
Il tutto finisce qui, dato che, come già accennato, possiamo duplicare e ribaltare il triangolo EFB' e seguire lo stesso procedimento di Fig. 11 e ottenere alla fine che tutto il triangolo A'B'C' coincide perfettamente con il triangolo ABC. In conclusione EFG deve univocamente essere un triangolo equilatero e la nostra congettura esatta.
Abbiamo notato come, attraverso una congettura, una partenza al contrario e una serie di ragionamenti estremamente raffinati, ma geometricamente molto semplici, la dimostrazione è stata ottenuta. Niente formule, niente trigonometria e niente geometria analitica. Insomma una dimostrazione veramente alla greca.
Se il teorema poteva essere considerato un vero miracolo, altrettanto si può anche dire di questa dimostrazione. Non l'ho certo inventata io, ma è frutto del matematico inglese John Conway, morto per Covid nel 2020. Il suo metodo così elegante risale alla fine degli anni '90 e io ho solo cercato di renderlo il più logico e razionale possibile attraverso l'utilizzo di molte figure. Probabilmente sono anche stato ripetitivo, ma spero di aver reso con chiarezza la sequenza di ragionamenti semplicissimi ma tutt'altro che ovvi.
Diamo un po' di nomi e di date. Il teorema nasce nel 1899 ad opera di Frank Morley (1860 - 1937). Un vero e proprio "miracolo" degno degli antichi greci (non per niente viene anche chiamato il "miracolo di Morley"). Un teorema di una semplicità disarmante, ma dalla dimostrazione estremamente difficile. Quest'ultima è stata data in moltissimi modi, ma solo Conway è riuscito ad essere all'altezza degli antichi greci... Euclide sarebbe fiero di lui!
