Il facile quiz sulle taniche da 5 e 3 litri è stato risolto brillantemente da Papalscherzone, ma mi ha  fatto venire in mente un modo diverso per arrivare alla conclusione. Tra non molto ci divertiremo con i vettori e allora perché non usarli anche in questo caso?

Vediamo di impostare un sistema più matematico e geometrico per la soluzione, utilizzando dei vettori-operazione. Il metodo potrebbe essere sicuramente migliorato e invito i lettori a lavorare in tal senso.

Consideriamo un sistema di assi cartesiani x e y, in cui alla x corrisponde il numero di litri contenuti nella prima tanica e alla y il numero di litri contenuto nella seconda. Otteniamo la semplice Fig. 1.

Dato che lavoriamo solo con litri interi, possiamo limitarci a tracciare le linee di uguale ascissa e ordinata solo per valori interi di x e y.

Il punto P, ad esempio, corrisponde a una situazione in cui la prima tanica contiene 3 litri e la seconda 2. Ci chiediamo: E' sempre possibile partire da una certa situazione e ottenere la posizione P? Possiamo facilmente dire di no, dato che le operazioni che possiamo svolgere con le taniche sono molto ristrette:

(1) Possiamo riempire totalmente una tanica alla fontana, ma non parzialmente.

(2) Possiamo completamente svuotare nel terreno una tanica, ma non parzialmente.

Cerchiamo di rappresentare con dei vettori nel nostro piano cartesiano queste due operazioni ammissibili.

Vediamo la Fig. 2

Tutti i vettori paralleli agli assi, con verso positivo, rappresentano l'operazione riempimento completo di una tanica alla fontana. Ovviamente, possiamo riempire la tanica solo completamente e quindi i vettori devono avere il loro punto finale in uno dei valori massimi che le taniche possono contenere. Una delle due coordinate del punto finale deve assumere il valore massimo.

Tutti i vettori paralleli agli assi, con verso negativo, rappresentano l'operazione svuotamento nel terreno. Nuovamente, ciò implica  che i vettori corrispondenti possono terminare solo nei punti (situazioni) che stanno sugli assi, ossia con l'ascissa o l'ordinata uguale a zero.

Esiste, infine, un terzo tipo di vettore: quello inclinato di 45°, lungo la retta con coefficiente angolare negativo, che comporti, cioè, a seconda di come venga percorsa, un aumento di una delle coordinate al diminuire dell'altra o viceversa. In poche parole, vale anche una terza operazione:

(3) Possiamo ottenere uno svuotamento o un riempimento parziale di una delle taniche se invece di svuotarla nel terreno la svuotiamo riempiendo completamente l'altra.

Questa operazione viene descritta in Fig. 3

Si inizia, ad esempio, con il punto (5, 0) e si termina con il punto (2, 3)

Non possiamo, invece, utilizzare vettori che vadano lungo la retta inclinata di 45°, con coefficiente positivo. E', infatti, impossibile riempire o svuotare  contemporaneamente le due vasche mediante un travaso. Ciò può essere fatto solo attraverso il riempimento alla fontana e/o lo svuotamento per terra.

Bene, con queste semplici regole vediamo di determinare, in Fig.4, la risposta esatta, data da Papalsherzone.

Iniziamo con l'operazione (1) e tracciamo il vettore orizzontale che va dal punto (0,0) al punto (5,0). In altre parole riempiamo la prima tanica, lasciando la seconda vuota (a). Poi, utilizziamo l'operazione (3) andando dal punto (5,0) al punto (2,3). Questa operazione è ammessa in quanto svuoto parzialmente la prima vasca, ma riempio completamente la seconda (b). A questo punto, svuotiamo per terra il contenuto della seconda vasca e ci portiamo nel punto (2,0) (c). E' nuovamente possibile travasare il contenuto della prima vasca nella seconda, raggiungendo il punto (situazione) (0,2) (d). La prima vasca è vuota e possiamo riempierla completamente finendo nel punto (5,2) (e). Non ci resta che travasare parzialmente la prima vasca riempiendo la seconda completamente (4,3)(e). Abbiamo raggiunto una situazione perfetta, in quanto nella prima vasca abbiamo 4 litri.

Per meglio confrontare i passaggi abbiamo raffigurato nella parte destra della figura la rappresentazione visiva delle varie operazioni.

Adesso, proviamo ad adottare la nuova strategia per ottenere, in Fig. 5, lo stesso risultato con un percorso diverso.

Cominciamo, ovviamente, con le due vasche vuote (0,0). Riempiamo la seconda vasca portandoci in (0,3) (a'); con (b') raggiungiamo (3,0) e con c' (3,3); con (d') si ottiene la situazione (5,1); con (e') svuotiamo la prima tanica e siamo in (0,1); travasiamo con (f')  e siamo in (1,0); riempiamo la seconda e si arriva in (1, 3) (g'); travasiamo la seconda nella prima e otteniamo (4,0) (h'). Una strada più lunga, ma altrettanto vittoriosa! Tra parentesi è proprio quella del nostro Albertone...

Passato il primo momento di confusione, ci accorgiamo che la costruzione è abbastanza semplice e che le strade da poter seguire sono spesso obbligatorie. In particolare, il primo passo non può che essere quello di riempire una delle due taniche.

Comunque, vi lascio il piacere di provare a cambiare la capacità delle due taniche e la scelta dei litri da portare a destinazione. Il divertimento è assicurato e, magari, anche qualche conclusione in più.