Categorie: Matematica Riflessioni
Tags: documento urgente lungo percorso moto quiz serie armonica troncata
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:9
(QI) Viva Valentino (CON SOLUZIONE) **/***
Per celebrare la lunga carriera di Valentino Rossi, ecco un altro bel quiz motociclistico.
E' necessario portare un documento importantissimo a un capo di Stato. La consegna può salvare il mondo. Si hanno a disposizione solo 16 moto, che hanno, fortunatamente, tutte il pieno di benzina. Un pieno, però, permette di percorrere solo 100 km. Purtroppo, la distanza del capo di Stato è 338 km. Non vi è modo di portare con sé della benzina supplementare, ma ogni motociclista ha con sé un tubo di plastica che gli permette di trasferire la benzina da una moto a un'altra.
N.B: E' impossibile legare le moto tra di loro come se fossero serbatori aggiuntivi e non si possono fare tratti a piedi. Non chiedetemi il perché? Ordini superiori...
I motociclisti si mettono d'accordo e partono tutti assieme.
Qual è il numero minimo di moto che è necessario utilizzare per riuscire a consegnare il documento?
SOLUZIONE
Ernesto ha centrato in piena il problema e ha usato la migliore strategia. Innanzitutto, è chiaro che sono necessarie tutte le moto. La soluzione potrebbe apparire quella di farle partire tutte assieme e fermarle quando hanno solo la metà del carburante. Metà di esse lo versano nei serbatori dell'altra metà e si fermano. In tal modo una sola moto arriverà a destinazione, percorrendo, però, solo 300 km, nettamente minori della distanza da raggiungere.
La migliore strategia è invece quella di far partire le 16 moto tutte assieme, fermandole, però, nel momento in cui la benzina rimasta nelle moto è tale che quella di una sola di esse può fare il pieno a tutte le altre. Si ha così una distanza tra le fermate che è variabile: comincerà con 6.25 km, poi crescerà a 6.67 e via dicendo. Arriverà soltanto una moto, capace però di percorrere ben 338. 07 km, più che sufficienti allo scopo.
Per spiegare meglio la situazione, possiamo ridurre il numero delle moto e vedere la differenza di strategia. Poniamo che le moto siano soltanto 4. Vale, allora, la figura che segue, dove i due approcci sono illustrati completamente...
Risulta immediata la formula risolvente, dove D è la distanza percorsa e P il numero di chilometri percorribili con un pieno:
D = P(1/16 + 1/15 + 1/14 + .... + 1/2 + 1)
Compattando
D = P ∑k = 1N (1/k)
dove N è il numero delle moto. Nient'altro che una serie armonica troncata.
9 commenti
Per ora brancolo nel buio, tranne una possibile lucina fioca in fondo. Se partono tutte insieme, e non si fermano lungo il percorso, dopo 100km si fermeranno inesorabilmente tutte, per esaurimento dell'autonomia. Quindi, durante il percorso se ne devono fermare almeno alcune , per travasare la benzina da una che si sacrifica e non riparte più, all'altra che invece prosegue , vedendo aumentata la propria autonomia. Poi , più avanti, si ripete lo stop&go e così via. Ovviamente, ogni volta avrò il travaso di una quantità sempre minore di km dalla moto che si ferma a quella che prosegue. Si, ma anche così, per ora, non mi riesce di farne arrivare una a 338 km dallo start.
Mai un tranquillo viaggetto in moto , eh ?
Caro Artù,
ovviamente, basta che arrivi anche solo una moto con il documento. E sono già stato buono a dire in anticipo il numero di moto disponibili (che potrebbero anche essere perfino sovrabbondanti) per evitare di scomodare troppe moto e sprecare troppa benzina (coi tempi che corrono...).
Ah, ma non sei più il Re Artù di una volta che avrebbe subito provato a mettere in pratica la faccenda. Possibile che tu non abbia a disposizione un certo numero di moto e relativi "Valentino" ????
Una domanda: i motociclisti sanno sempre esattamente quanta benzina hanno nel serbatoio? Non solo se é pieno o vuoto?
sì, lo sanno, caro Ernesto...
l'idea di base è di minimizzare i km percorsi dalle moto-cisterna (quelle il cui serbatoio viene svuotato per travasare la benzina in quello delle moto che restano in corsa) senza sprecare una goccia di benzina. per questo la prima moto si deve fermare (insieme alle altre) dopo 1/16 di 100km avrà nel serbatoio 15/16 di benzina che riempiranno i serbatoi delle restanti 15 moto la successiva sosta sarà a 1/15 per rifornire le rimanenti 14 e così via. i km percorsi dall'ultima moto saranno quindi (1/16+1/15+1/14+...............1/2+1) di 100 e secondo la calcolatrice di windows è pochi metri più di 380. Certo ci vuole un contachilometri molto preciso.
E' corretta la soluzione?
ne approfittto per ringraziarti per tutti gli spunti e le informazioni che attraverso il circolo rendi comprensibili a tutti quelli che hanno voglia di imparare usando la testa
caro Ernesto, ringrazio te per seguirci e trovare spunti...
Riguardo alla soluzione che proponi, forse hai confuso 380 con 338? O mi sbaglio ?
si si errore di scrittura la somma è 338 abbondanti, come richiesto
perfetto Ernesto!
Grazie,
ero partito usando solo frazioni "piccole" 1/4 1/3 1/2 ma ero arrivato a 335 da qui la domanda, poi ho perso un po' di tempo perchè cercavo una formula per calcolare la somma degli inversi dei primi n numeri naturali, non l'ho trovata e allora mi sono rassegnato alla forza bruta del PC.