Questo articolo è decisamente elementare e descrive qualche "ovvia" proprietà della somma di vettori. Lo scopo finale, però, va oltre una semplice descrizione, dato che permette di avere le basi per affrontare un teorema poco noto, ma decisamente interessante. Un modo per evidenziare come la matematica e la geometria siano materie tutt'altro che aride e prive di emozioni.

Semplici proprietà della somma di vettori

Vi sono parecchi teoremi geometrici che sono stati posti e risolti in tempi relativamente recenti. Molti di loro sono poco conosciuti anche se le conclusioni sono spesso "spiazzanti". Partendo da figure qualsiasi si determinano caratteristiche univoche che, a prima vista, sembrerebbero impossibili. Abbiamo già visto il teorema di Morley e come esso sembri proprio rappresentare una "lacuna" degli antichi greci, capaci di sviscerare il possibile da qualsiasi forma geometrica. La dimostrazione è risultata alquanto complicata, ma la conclusione, senza dubbio, affascinante.

Descrivere meglio le proprietà della somma vettoriale ci servirà a dimostrarne un altro che giunge a una conclusione veramente generale, che lascia alquanto stupiti. Per adesso, comunque, affrontiamo le somme vettoriali e alcune loro caratteristiche, dato che rimane, comunque, un esercizio estremamente utile anche per le applicazioni al calcolo delle forze agenti su un punto.

Conosciamo bene come agire graficamente per ottenere la somma di due vettori. Un procedimento molto semplice che prende il nome di regola del parallelogramma. In parole povere, basta applicare il vettore b sulla punta del vettore a e poi unire il punto iniziale del primo con la punta finale del secondo, come mostra la Fig. 1. Si ottiene lo stesso risultato applicando a sulla punta di b, da cui la tipica figura del parallelogramma. Non dimentichiamo che questa costruzione ci dice che non importa l'ordine dei vettori, ossia: a + b = b + a.

Come fare se i vettori da sommare sono in numero qualsiasi? Veramente banale... basta attaccare ogni vettore alla punta di quello precedente e, alla fine, unire il punto d'inizio del primo con la punta dell'ultimo. Come già ricordato non importa l'ordine con cui sono inseriti i vettori. Vediamone un esempio in Fig. 2.

A sinistra in alto vi è la rappresentazione finale della somma di 4 vettori (a, b, c e d). In alto a destra l'ovvia dimostrazione. Basta, infatti procedere per gradi e fare la somma tra a e b, poi sommare a + b con c; infine sommare a + b + c con d e otteniamo il vettore rosso della prima parte. In basso, rappresentiamo la stessa somma, cambiando, in due esempi, l'ordine dei vettori. Come si vede il vettore finale non cambia.

Vediamo, adesso, un caso particolare di questa costruzione, quello in cui compaiono due vettori con lo stesso modulo e direzione, ma con verso opposto. Ne segue che uno si indica, ad esempio, con b e l'altro con - b. Facciamone la somma e poi cambiamo l'ordine dei vettori, in Fig. 3.

Si vede bene che applicando il vettore e = - d al vettore d, la loro somma è uguale a zero (d - d = 0, due vettori uguali e opposti si annullano). Dalla figura si può perciò eliminare tranquillamente sia b che e e il risultato non cambia.

Compiamo ora un'altra operazione. Ruotiamo ogni vettore di un certo angolo φ e ricostruiamo la catena. Cosa troviamo? La somma dei vettori ha come modulo lo stesso modulo del vettore somma di prima della rotazione. La direzione, invece,  cambia dello stesso angolo φ (Fig. 4 )

Infine, dividiamo a metà ogni vettore, lasciando inalterati la direzione e il verso. Il vettore risultante ha anch'esso la stessa direzione e verso e il modulo metà di quello precedente (Fig. 5 ).

Le ultime due conclusioni si dimostrano facilmente utilizzando l'uguaglianza e la similarità tra triangoli.

Bene, a questo punto, abbiamo introdotto le caratteristiche che ci servono per dimostrare in modo molto elegante un nuovo teorema dalla tesi inaspettata. Alla prossima...

(continua)