Era successo ben poche volte che un quiz proposto nel nostro Circolo rimanesse senza soluzione così a lungo... Sarà stata la sovrapposizione con le vacanze di Natale o il rifiuto di cimentarsi in un "gioco" da solo due asterischi (anzi, all'inizio ne avevo messo uno solo) da parte di alcuni "grossi calibri, fatto sta che le poche risposte non sono state soddisfacenti, a parte -forse- l'ultimo sibillino commento di Abo che potrebbe far capire di avere capito.

Nel quiz vi erano due ostacoli: uno legato all'applicazione di una regola probabilmente controintutiva relativa alla situazione "geometrica" e uno legato alla formulazione della domanda.

Partiamo con il primo e riflettiamo, rimanendo in ambiente astronomico. Sappiamo tutti cosa vuol dire separazione angolare, dato che è spesso l'unica cosa che riusciamo a leggere con i nostri strumenti. Bene, essa ci dice che tra la direzione dell'oggetto A e quella dell'oggetto B (legati fisicamente tra loro) si forma un certo angolo. Tuttavia, non sapendo a che distanza si trovano i due oggetti, diventa impossibile stabilire la distanza tradotta in chilometri, o in unità astronomiche, o in anni luce.

Facciamo un esempio terra-terra. Consideriamo i nostri due oggetti  A e B alla distanza di 1 metro e imponiamo che la loro separazione angolare sia un angolo veramente piccolo (a): la distanza AB rimane molto piccola in valore assoluto. Se portiamo, però, i due oggetti a distanze decisamente superiori, mantenendo la stessa separazione angolare, troviamo che la distanza reale tra i due oggetti cresce, diventando anche anche di anni luce se parlassimo di altre galassie. In poche parole, anche un angolo piccolissimo potrebbe corrispondere a una distanza reciproca molto grande.

Passiamo al nostro caso... Praticante sappiamo calcolare l'angolo di separazione. Separazione tra cosa? Tra  balaustrata non dilatata e la balaustrata dilatata. La loro differenza è piccolissima? Non facciamoci fuorviare proprio adesso, però e ricordiamo cosa abbiamo appena detto.

Basta portare sull'asse delle x la lunghezza originaria s della balaustrata e tracciar dall'origine una distanza parti alla lunghezza della balaustrata più la dilatazione d. Ovviamente, questa distanza maggiorata deve arrivare a una distanza dall'origine tale e quale a quella originaria, ossia mantenere la stessa x pari a s. (il ponte è ancorato saldamente nell'origine). Per far ciò la balaustrata "estiva" deve inclinarsi rispetto all'asse  x di un angolo veramente piccolo. Siamo perciò nelle condizioni della figura che segue, in alto.

Anzi, dato che si dilata TUTTA la balaustrata ed essa è fissata ad entrambi gli estremi, la dilatazione della balaustrata avrà il suo punto di massimo sollevamento a metà del ponte. Ne segue che il valore di s corrisponde a 50 km, così come la dilatazione  scende a 0.5 cm. Limitiamoci, perciò, a metà del ponte e al triangolo OAB.

Intuitivamente uno potrebbe dire: "E' talmente piccolo l'allungamento della balaustrata (5 centimetri su 50 chilometri) che sicuramente l'angolo formato da loro due rimane "quasi" insignificante". "Quasi", però, ma non del tutto, dato che differisce comunque da zero. Siamo sicuri che la differenza dell'altezza tra baulastrata invernale ed estiva resti insignificante?

Abbiamo vari modi, tutti veramente banali, per rispondere a questo dubbio: sia trigonometricamente, sia analiticamente, sia geometricamente, attraverso il solito teorema di Pitagora. A voi la scelta...

In basso nella Fig. 1 disegniamo  il triangolo da risolvere. esso ha un lato che è lungo 50 km e un altro lato che è 50 km più 5 millimetri. Questo piccolo incremento gioca, comunque, sull'angolo  formato dalle due balaustrate, e quindi, anche sulla loro separazione angolare. La separazione angolare è l'angolo a, mentre la separazione lineare effettiva, in tal punto, la chiamiamo h (AB).

Parliamo in termini trigonometrici. E' ovvio scrivere:

s = (s + d) cos a

s e d sono noti e quindi è noto il coseno di a e, di conseguenza, l'angolo a. Non ci resta, allora che scrivere:

h/s = tan a

h = s tan a

Analogamente, conoscere l'angolo a, vuol dire conoscere tan a, ossia il coefficiente angolare m della retta che rappresenta la balaustrata estiva, ossia m = tan a

y = m x

noto  m e stabilito che x deve essere proprio la nostra h, si ha, perciò:

h = m s 

che è poi, ovviamente, la stessa espressione di prima

Infine, in modo ancora più sbrigativo, sappiamo che il nostro triangolo è retto per costruzione e noi conosciamo sia l'ipotenusa (s + d) che il cateto maggiore (s), Ne segue, perciò, applicando il teorema di Pitagora:

h = √((s + d)² - s²) = √(s² + 2ds + d² - s²) = √(2ds + d²)

Volendo essere approssimati, possiamo anche trascurare il termine d², decisamente più piccolo di 2ds, per cui:

y ∼ √(2d) √s = k √s

ed ecco perché in un mio commento avevo detto di pensare alla funzione  y = √x

Insomma, usiamo pure il metodo che preferiamo e vedremo che h non è assolutamente una lunghezza trascurabile. Forse è un risultato del tutto controintuitivo, ma per chi conosce le scale astronomiche non lo è affatto.

Si ottiene:

y = 22 361 mm = 22.361 m

Bene, la risposta sembrerebbe ovvia: "Accidenti se ci si accorge della dilatazione! La balaustrata nel punto di mezzo del ponte è ben 22 metri più in alto di noi!". Quale sembrerebbe la risposta al quiz? Beh, ovviamente SI. E, invece è sbagliata, dato che la domanda contiene un "trucchetto" ...

Essa chiede espressamente e chiaramente: "se è possibile TOCCARE la balaustrata". La risposta, allora, è indubbiamente "NO", dato che nessun pedone potrebbe toccare qualcosa che è 22 metri più in alto di lui. Poco conta quindi il resto della domanda, dato che è obbligatorio  TOCCARE la balaustrata per verificare che si sia dilatata e non certo dire se si è dilatata grazie "soltanto" alla sua apparenza.

Siamo di fronte a un quiz facilissimo, che, però,  mette in chiaro come anche una realtà ben conosciuta possa celare, a volte, una verità fortemente controintuitiva. La seconda parte, poi, è solo un puro scherzo...

Va beh... ancora Buon Natale!