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Una breve storia della trigonometria e un altro teorema dimenticato.

No, non vogliamo disturbare il mitico eroe della guerra di Troia, ma parlare di un altro Menelao, giustamente considerato uno dei padri dell'odierna trigonometria. Ma, dove, come e perché  nasce la trigonometria, gioia e dolore di molti studenti? Vi era proprio bisogno di introdurre funzioni dai nomi così strani e un poco ambigui ? Parliamone...

La lunga storia della trigonometria

La trigonometria stabilisce essenzialmente delle relazioni tra grandezze angolari e grandezze lineari. Sicuramente queste relazioni erano conosciute in maniera rudimentale ed empirica già dagli egiziani, dato che dovevano saper misurare gli angoli tra piani (pensiamo, ad esempio alle piramidi e agli angoli tra le facce triangolari e il terreno). Per far ciò si limitavano a misurare i rapporti tra segmenti appartenenti ai due piani. Sicuramente un qualcosa già ben descritto nel 1650 a.C.

Tuttavia, la grande necessità di questi legami tra angoli (e, quindi, archi) e particolari segmenti era fondamentale nell'astronomia. Anzi, proprio i babilonesi, astronomi raffinati, avevano un gran bisogno di trattare con archi di cerchio appartenenti alla superficie sterica della volta celeste. In qualche modo, per essi, nasce prima la geometria sferica rispetto a quella piana, dato che quest'ultima rappresenta solo un modo per  descriverla. Questa impellente necessità la possiamo vedere nella Fig. 1.

Le due stelle S1 e S2 proiettate sulla sfera celeste sottendono un arco di cerchio rosso. L'osservatore O, però, misura la distanza S1S2 (blu) su un piano. Gli studiosi di allora sapevano benissimo che S1 e S2 stanno su una superficie sferica, ma sapevano altrettanto bene che loro potevano solo osservare il segmento rettilineo S1S2.

La vera svolta si ha, però, con Ipparco di Nicea (secondo secolo avanti Cristo) che introduce una vera e propria funzione trigonometria, attraverso la misura della corda di un cerchio di raggio unitario corrispondente a un certo angolo α. In altre parole quello che oggi è rappresentato da 2 sen (α/2), come vediamo in Fig. 2.

Egli determina i valori di queste corde e costruisce delle tabelle, che gli permettono di essere considerato come il vero fondatore della trigonometria. Non dimentichiamo, però, ancora una volta, che le culture orientali erano già ben consce dell'importanza di certi legami e in India si trova già il calcolo di un "seno" in un manoscritto che risale, più o meno, al settimo secolo a.C.

Bene, vediamo, allora come nasce l'attuale funzione "seno" e perché ha questo nome. Spesso le persone pensano che vi sia uno stretto legame tra la somiglianza della curva y = sen(x) e una delle forme più apprezzate del fisico femminile. Niente di tutto ciò. E nemmeno il nome ha a che vedere con un più generico significato di seno, come golfo, baia, insenatura. Il vero significato è proprio quello più banale che abbiamo appena descritto: seno = corda. Ci torneremo più avanti...

I greci non furono da meno e un grande matematico ed astronomo greco del primo secolo dopo Cristo ebbe molte geniali intuizioni. Egli scrisse trattati sulla geometria sferica ed enunciò teoremi in geometria piana che avrebbe poi applicato alle superfici sferiche. Il suo nome è lo stesso del grande re e condottiero di Sparta, Menelao, ma non ha niente a che spartire con lui. Oggi è noto come Menelao di Alessandria (mamma mia che meraviglia doveva essere l'Alessandria d'Egitto di quei tempi...).

Un teorema piano, ormai dimenticato

Un suo teorema di geometria piana è caduto ormai nel dimenticatoio, anche se è la base del teorema dei seni in geometria sferica. In poche parole. egli fu il primo a studiare espressamente un triangolo sferico. Egli, infatti, definisce come triangolo sferico,  "lo spazio compreso tra archi di cerchio massimo sulla superficie della sfera". Possiamo ragionare più in grande, e vedere in lui ben chiara l'idea che la geometria piana non sia altro che una situazione particolare della geometria sferica. Concetto questo, che ci ha portato allo studio delle varie geometrie non euclidee e, perciò, alla possibilità di esprimere la concezione di uno spaziotempo curvo. La memoria non si può cancellare e perfino i più grandi Scienziati di ieri hanno dimostrato l'assoluto dovere di non dimenticare mai il passato. Ma qui si parla di grandi Scienziati e non di scienziati...

Torniamo a noi e vediamo di far tornare in auge l'ormai dimenticato teorema piano di Menelao. La sua dimostrazione è estremamente semplice e vale la pena richiamarla, proprio per ... non dimenticare.