Questo articolo costituisce un'appendice di approfondimento a Quanta Terra si vede? e nasce dal commento del nostro lettore Marco Motta. Lo scopo è quello di calcolare con maggior precisione la percentuale di Terra che gli astronauti vedono dalla Stazione spaziale internazionale, tenendo conto della sfericità del nostro pianeta.

Ovviamente anche questo è un risultato approssimato, data la non perfetta sfericità della Terra e degli effetti perturbativi dell'atmosfera, ma abbastanza vicino alla realtà. Tuttavia, se la ISS orbitasse intorno a Papalla (il pianeta "ideale" perché le leggi della fisica vi funzionano alla perfezione - è sferico, non ha atmosfera, non c'è attrito, ecc... - ma soprattutto perché è popolato da simpatici e pacifici abitanti) esattamente a 400 km di altezza dalla superficie, gli astropapalli vedrebbero esattamente (a parte l'approssimazione decimale) il 5,9% della metà della superficie del loro splendido pianeta.

 

Detta P la posizione degli occhi (a distanza h dalla superficie terrestre), C il centro della Terra e H l'intersezione tra PC e la superficie della Terra, riesco a vedere fino al punto T dove una retta per P è tangente alla superficie della Terra.

CH e CT sono uguali al raggio R della Terra, mentre PT, in quanto tangente, è perpendicolare al raggio CT. Quindi il triangolo PCT è rettangolo in T, e posso applicare il primo teorema sui triangoli rettangoli:

il cateto CT=R è uguale all'ipotenusa CP=R+h per il coseno dell'angolo compreso PCT=α, ovvero:
R=(R+h)cosα  ⇒  cosα=R/(R+h)  ⇒  α=arccos[R/(R+h)]

Nell'articolo si parla del raggio del cerchio visibile. Siccome vediamo una calotta sferica e non un cerchio (non siamo terrapiattisti!), in realtà si tratta del raggio di un cerchio non euclideo, e più precisamente ellittico (una porzione della superficie di una sfera delimitata da una circonferenza). Per calcolarlo, immaginiamo un cerchio massimo che giace sulla superficie terrestre e che passa per H e per T. Siccome la lunghezza dell'arco intercettato è proporzionale all'angolo al centro e l'intera circonferenza (quando l'angolo al centro è l'angolo giro che, in radianti, misura 2π) è 2πR, abbiamo:

HT : α = (2πR) : (2π)  ⇒  HT = 2πRα/2π = R·α = R·arccos[R/(R+h)]

Dove HT indica la lunghezza dell'arco HT (e NON quella del segmento proiezione bidimensionale dell'arco sul piano, anche se, per valori piccoli di h, non ci sarà una grande differenza), e l'arcocoseno di R/(R+h) va, ovviamente, calcolato in radianti.

Se provo a calcolare il valore di HT per h=0,1 km, 10 km e 400 km, dato che R=6371 km, trovo rispettivamente HT=35,7 km, HT=356,7 km e HT=2200,8 km. Un po' di più di quanto indicato nell'articolo, ma assolutamente in linea nella sostanza.

Ovviamente io ho calcolato la lunghezza di un arco di cerchio; la distanza tra H e T sarà minore (ma quella tra P e T sarà maggiore, tanto che, dalla Luna, riuscirei a vedere punti a circa 400.000 km di distanza da me, ma ovviamente non potrei vedere - non esistono - punti della Terra che distano 400.000 km tra loro!).

Ma ora occupiamoci della percentuale della superficie terrestre visibile. In questo caso i conti differiscono sensibilmente; vediamo perché.

Innanzitutto, viene usata la formula πr² per calcolare l'area del cerchio visibile. Ma, come già detto, non si tratta di un cerchio euclideo, ma di uno della geometria ellittica: nell'ambito della geometria euclidea, di una calotta sferica. Certo, a piccole distanze non ci sarà grande differenza, ma più ci allontaniamo dalla superficie terrestre, e più crescerà l'errore.

Basti pensare che, se fosse visibile l'intera semisfera, la sua area sarebbe ½·4πR² = 2πR², ovvero il doppio dell'area del cerchio. Di conseguenza, la percentuale della superficie terrestre visibile è uguale al rapporto tra la superficie della calotta visibile e quella della semisfera.

La superficie della calotta si calcola con la formula 2πRh', dove R è il raggio della Terra, mentre h' è l'altezza della calotta, ovvero la parte di raggio compresa tra la base e il vertice (attenzione, non si tratta della distanza h dell'osservatore dalla superficie!).

Chiamiamo K la proiezione ortogonale di T sul raggio CH. Per il primo teorema sui triangoli rettangoli, il cateto CK è uguale all'ipotenusa CT=R per il coseno dell'angolo compreso PCT=α, ovvero:
CK=R·cosα
L'altezza h' della calotta è  h' = HK = CH-CK = R-R·cosα = R(1-cosα)
Quindi la superficie visibile Sv è Sv = 2πRh' = 2πR²(1-cosα)
mentre la superficie visibile totale St è quella della semisfera St = ½·4πR² = 2πR²
La percentuale di superficie visibile è Sv/St = 2πR²(1-cosα)/(2πR²) = 1-cosα

Calcolando la percentuale corrispondente ad h=0,1 km, 10 km, 400 km e 400.000 km, ottengo rispettivamente 0,0016%, 0,16%, 5,9% e 98,4%. E, rispetto al caso semplificato della proiezione bidimensionale utilizzato nell'articolo (con riferimento ai 400 km di distanza) la percentuale si dimezza (infatti l'area del cerchio è la metà di quella della semisfera, e mettendola al denominatore si ottiene effettivamente il doppio).

Ma la Terra, notoriamente, non è piatta... e se lo fosse ce ne accorgeremmo facilmente anche senza bisogno di guardarla dallo spazio!

 

APPENDICE DELL'APPENDICE

(di Arturo Lorenzo)

Se si volessero evitare seni e coseni, basta osservare che, con riferimento alla figura di questa appendice, il segmento KT è cateto comune ai triangoli rettangoli CTK e PTK (1), nonché il segmento PT è cateto del triangolo rettangolo CTP (2).

Per cui, dovendo essere per la (1)

R²-(R-h')² = PT² - (h+h')²

ed essendo per la (2)

PT²= (h+R)² - R²

svolgendo i calcoli si arriva a:

h' = hR /(h+R)

La superficie della calotta sferica, dunque, sarà:

Sv=2 pigreco h' R = 2 pigreco R hR/(h+R) che alla fine posso scrivere come

Sv = 2 pigreco R² /(1+R/h)

da cui si vede subito che se h tende ad infinito, la Sv tende alla metà della superficie della sfera terrestre.

 

APPENDICE BIS DELL'APPENDICE

(di Andy)

Un altro metodo per calcolare il rapporto superficie visibile/superficie semi-globo, in funzione del raggio terrestre e della distanza dell'osservatore dalla superficie terrestre, utilizzando esclusivamente il 2° teorema di Euclide sui triangoli rettangoli:

 

 

COME CALCOLARE IL PERIODO DELLA ISS

(di Alberto Salvagno)

Volete verificare quanto tempo impiega la ISS a compiere una rivoluzione intorno alla Terra?

Nessun problema! Basta imitare l'amico Albertone e seguire i chiari e semplici insegnamenti che Enzone Zappalà ha divulgato nel suo celeberrimo La Fisica addormentata nel bosco!