Questo articolo è stato inserito nella pagina d'archivio dedicata alla Meccanica Quantistica, nella quale troverete articoli che, pur rimanendo sempre ad un livello semplice e divulgativo, trattano l'argomento a livelli diversi di difficoltà, a partire da quelli adatti anche ai bambini.

 

Parlando di Meccanica Quantistica avevo trascurato la lunghezza d'onda di De Broglie... Cerco subito di farmi perdonare, ricordando l'importanza che essa assume per definire la dualità di onda e particella.

Dopo secoli di conferme e di smentite, la luce continuava a passare da una visione corpuscolare (Newton) a una sotto forma di onda (Huygens, Young, Maxwell). Eppure la differenza tra le due rappresentazioni è enorme: un corpuscolo è un qualcosa che assume una certa posizione ad ogni istante, l'onda, invece, occupa tutto uno spazio. Se lancio una pietra in mezzo alla folla, essa probabilmente colpirà qualcuno, se, invece, lancio un grido esso sarà sentito in qualsiasi posizione attorno a me. La pietra è un "corpuscolo", il grido è un'onda. Tuttavia, gli esperimenti sempre più raffinati confermavano entrambe le possibilità. In particolare, Huygens e Young avevano dimostrato che la luce creava il fenomeno della diffrazione quando attraversava una fenditura e quello dell'interferenza quando le fenditure erano due (QUI la presentazione dell'esperimento della doppia fenditura condotto da Feynman), mentre l'effetto fotoelettrico dimostrava che il fotone si comportava come una particella con tanto di quantità di moto.

Vale la pena ricordare le due visioni classiche della luce. L'ottica geometrica studia i fenomeni ottici assumendo che la luce si propaghi mediante raggi rettilinei, ossia, in altre parole, che sia estremamente simile a ciò che fa un corpo dotato di una certa massa (se tirate un sasso la sua traiettoria sarà rettilinea, escludendo la gravità).  L'ottica ondulatoria, invece, tratta la luce come un'onda (pensate al mare) e studia tutti i fenomeni ad essa collegati, come diffrazione e interferenza (per saperne di più (ri) leggete questo articolo).  Tuttavia, possiamo trattare le due visioni facendo ricorso alla figura di diffrazione e alla celebre formula che ci regala il potere risolutore di un telescopio:

θ = λ/D         .... (1)

Se consideriamo la luce al pari di un fascio di particelle, è come ammettere con non esista una lunghezza d'onda (lo dice il ragionamento stesso) e, quindi, è come se la considerassimo nulla. Ne segue che θ = 0, ossia il moto è descrivibile come quello di un raggio rettilineo.

L'immagine di diffrazione nasce, invece, quando la luce viene fatta interagire con un corpo di dimensioni molto simili a quelle della sua lunghezza d'onda (ostacolo o fenditura che sia): se la fenditura (ad esempio) è una sola abbiamo la classica campana dovuta alla diffrazione. Se le fenditure sono due assistiamo al fenomeno dell'interferenza.

Notiamo che fino a questo momento siamo nell'ambito della fisica classica e la meccanica quantistica non inizia ancora.

Se ai tempi di Newton e successivi, il modo di descrivere la luce sembrava imporre una scelta tra due realtà, con Young e Maxwell, prima, e con l'effetto fotoelettrico, dopo, questa doppia natura della luce inizia a essere considerata come due facce della stessa medaglia. In parole molto rozze: la luce si comporta sia come onda sia come particella, facendo entrare la fisica nel mondo di Alice. In particolare, la catastrofe ultravioletta porta Planck a ipotizzare un emissione della radiazione di un corpo nero attraverso pacchetti di energia (quanti) da cui la celebre formula:

E = h f

dove f è la frequenza della radiazione e h la celeberrima costante di Planck.

Una ventina d'anni dopo questa rivoluzionaria scoperta ecco che De Broglie ipotizza qualcosa forse ancora più sconvolgente. Lui dice: "Perché pensare che solo i fotoni  abbiano questa caratteristica "duale"? La potrebbe avere qualsiasi cosa sia composta di materia..."

Ed ecco la sua nuova definizione di lunghezza d'onda associata a qualsiasi oggetto materiale:

λ = h/q

dove h continua a essere la costante di Planck, ma q non è altri che la quantità di moto dell'oggetto in questione.

Questa formula è compatibile con quella di Planck, ossia sono ricavabili l'una dall'altra? E' facile dimostrare che è proprio così... Consideriamo l'energia di un fotone utilizzando la celebre formula di Einstein, scritta nel modo più corretto:

E² = (mc²)² + (q c)²

Ricordiamo che questa formula dimostra che il fotone ha energia anche se non ha massa, dato che ha quantità di moto. Infatti, poniamo m = 0 e otteniamo

E = qc

q = E/c

Tuttavia sappiamo anche qual è la relazione tra frequenza e lunghezza d'onda:

λ f = c

λ = c/f

ma la formula di De Broglie dice che

q = h/λ

E/c = h f/c

semplificando

E = h f

Ma, allora, tutto ciò che ci circonda ha una sua caratteristica duale? Ossia può comportarsi sia come onda che come particella? Teoricamente sì, ma dobbiamo anche ricordare che un’onda manifesta i fenomeni di interferenza e diffrazione solo quando interagisce con un oggetto delle stesse dimensioni della sua lunghezza d’onda. Proprio questa caratteristica ha permesso a De Broglie di risolvere i problemi legati alla descrizione dell'atomo (ne parleremo un'altra volta...).

Resta il fatto che la sua formula è valida per qualsiasi oggetto, ma che si possono notare le caratteristiche ondulatorie solo per valori della lunghezza d'onda paragonabili a quelli dell'ostacolo o, se preferite, a quelli della fenditura. Proviamo allora a calcolare la lunghezza d'onda di De Broglie per oggetti "qualsiasi"..

λ = h/q = h/mv

Come vedete abbiamo scritto la quantità di moto nel modo classico, ossia pari alla massa dell'oggetto per la sua velocità...

Calcoliamo questo valore per tre oggetti: la Terra, una pallina da tennis e un elettrone. Fatti i calcoli capiremo subito perché solo l'elettrone può dare luogo a un comportamento ondulatorio...

Per la Terra che gira attorno al Sole troviamo^(*) una lunghezza d'onda di 4 x 10^-63, per la pallina da tennis 2 x 10^-34 e per l'elettrone 3 x 10^-10 m. Ricordando che l'atomo di idrogeno ha un diametro di circa 10^-10 m. Salta subito all'occhio che solo l'elettrone può manifestare caratteristiche ondulatorie dato l'ambiente in cui vive. Ad esempio esso incontra atomi che hanno una certa distanza tra loro e/o hanno certi diametri, tali  da "convincere" l'elettrone a comportarsi come un'onda.  La Terra e la pallina da tennis dovrebbero "incontrarsi" con ostacoli troppo piccoli, mostruosamente più piccoli delle dimensioni atomiche, e quindi non possono manifestare la natura ondulatoria. D'altra parte basta anche pensare alla (1) e ammettere che la lunghezza d'onda sia praticamente ZERO e quindi gli oggetti normali "accettano" la rappresentazione geometrica, ossia il moto rettilineo ben descritto da Newton & soci.

Analogo discorso vale per il passaggio da una fenditura. Per permettere il passaggio di un elettrone possiamo usare fenditure realizzabili, non molto superiori alle sue dimensioni. Le stesse fenditure non permetterebbero certo il passaggio della Terra o della pallina da tennis, mentre questi corpi "materiali" avrebbero bisogno di fenditure mostruosamente più piccole. No, cari amici, un cammello non può certo passare per la cruna di un ago!

Molti problemi sono ancora aperti, come il vero significato di collasso d'onda e di onda pilota... Ha ragione Feynman: non abbiamo ancora capito la MQ. Se qualcuno dicesse di averla capita dimostrerebbe di non averla capita dato che non è ancora stata capita. Ciò non vuol dire, però, che un giorno non potrebbe  essere capita. Forse dovremmo veramente pulire il cervello da tutte le visioni classiche della fisica e non cercare di trovare corrispondenze tra due mondi che niente hanno in comune. Dovremmo far crescere una mente superiore all'oscuro della fisica classica, completamente immerso nel microcosmo (un Grande Fratello molto speciale). Mah... forse solo un elettrone, un fotone o cose del genere possono veramente capire cosa stanno facendo e perché. Solo loro sanno decidere come comportarsi una volta che sono costretti ad apparire nel nostro spaziotempo. Noi cerchiamo di capire il loro mondo solo attraverso quei pochi fenomeni che  ci mostrano, in condizioni molto particolari. E' come se volessimo ricostruire un palazzo attraverso pochi mattoni ancora esistenti...

Sappiamo che queste difficoltà intrinseche continuano a creare ipotesi a volte complementari, a volte opposte. Che fare? Cercare di sfruttare al meglio queste strane apparizioni sperando, un giorno, di ottenere il biglietto d'ingresso nel retroscena del teatro del microcosmo. Cosa troveremo? Entità che manovrano burattini oppure personaggi che seguono un canovaccio prestabilito da loro stessi?

No, non abbiamo ancora capito la meccanica quantistica!

(*) Conoscendo Albertone$\mathrm{e\; la\; sua\; passione\; nel\; controllare\; i\; conti,\; ricordo\; che: \; h}$ = $6.626\cdot {10}^{-34}{\text{m}}^2{\text{kg s}}^{-1}$

N.B.: Ancora una volta la mia adorata gattina Tigrotta ha rivoluzionato le più recenti scoperte. La notte scorsa ha dormito, come sempre, nel mio letto. Mi sono, poi, accorto che all'alba se ne era andata. Niente di speciale. Mi alzo e non la vedo... Boh, ancora niente di speciale, dato che spesso si rintana in angoli impensabili. Scendo e vado ad aprire la porta (perfettamente chiusa la sera prima) e chi mi vedo davanti? Eh sì, proprio Tigrotta. Ma come ha fatto ad uscire? Penso di essere rincretinito del tutto, ma poi la verità si fa evidente: la porta sembrava chiusa, ma rimaneva una fessura di dimensioni irrisorie, ben al di sotto delle lunghezze d'onda che ho subito calcolato per Tigrotta. Insomma, lei è stato il primo "corpo" macroscopico (circa 4 kg) che ha assunto la sua forma ondulatoria per passare dalla fessura. Ho paura a parlarne, perché sono sicuro di non essere creduto (rimanga fra noi), ma questa è la realtà dei fatti. Eh sì, devo ribadirlo: non abbiamo ancora capito niente della meccanica quantistica. Cercherò di farmela spiegare dalla gattina, sempre che ne abbia voglia...

 

La lunghezza d'onda di De Broglie e il principio di Heisenberg, oltre ad essere due colonne portanti della meccanica quantistica, sono strettamente correlati. In che modo? Lo spieghiamo QUI