Il paradosso di Bertrand è stato risolto (forse), ma che fatica!

Il paradosso sembra distruggere un principio fondamentale della teoria delle probabilità, quello di INDIFFERENZA. Esso dice che eventi alternativi per i quali esistono pari ragioni di validità devono comportare pari probabilità. Bertrand sembra, invece, smentirlo completamente dato che ottiene tre diverse probabilità pur applicando perfettamente i vincoli di validità.

Tutta da buttare la teoria delle probabilità? Fortunatamente no, dato che il "baco" dell'intera questione sta nella stessa formulazione della domanda di Bertrand. Vediamo la faccenda con maggiore attenzione...

Il problema acquista una particolare importanza dato che l'applicazione di una probabilità non deterministica fa entrare prepotentemente nel campo della meccanica quantistica. Facciamo un esempio molto semplice: se lancio un dado ho un certo numero di probabilità che esca una certo numero. Una probabilità che sembra perfettamente descritta dalla teoria deterministica delle probabilità. Tuttavia, nessuno si interessa a "come" viene lanciato il dado. Questa parte del problema nasconde un'intera zona d'ombra, ossia quelle delle interazioni possibili tra la mia mano e il dado, ad esempio. e questa zona si allaccia strettamente al problema della misura quantistica. Ragione per cui, è fondamentale analizzare il paradosso di Bertrand fin dall'inizio e vedere se nasconde un "peccato originale" che lo renda in qualche modo ben diverso dall'essere un classico esempio della normale teoria delle probabilità.

L'enunciato stesso nasconde qualche ambiguità? Se fosse così, potrei pensare che l'ambiguità si trasferisca nei vari tentativi di soluzione. In realtà, questo è vero, dato che Bertrand non definisce esattamente cosa sia una corda e, soprattutto, non chiarisce cosa significhi "tracciare una corda". Quello che appare come un modello teorico deve avere in qualche modo una sua applicazione pratica. In altre parole, se decido di fare un esperimento che renda attuabile l'enunciato di Bertrand che cosa devo fare per definire l'azione di tracciare una corda? Beh... sicuramente le procedure sono diverse e tutte apparentemente valide.

Da un punto di vista puramente fisico, però, procedure diverse possono tranquillamente portare a conclusioni diverse. Si potrebbe, perciò, già concludere che il paradosso di Bertrand cessa di esistere proprio perché accetta diverse procedure che comportano risultati diversi, senza che questo fatto distrugga la teoria delle probabilità matematica.

Nel primo metodo cosa fa Bertrand? Prende a caso due punti sulla circonferenza e traccia la congiungente. In altre parole,  individua due punti che stanno sulla circonferenza e li unisce tra loro. Immaginiamo proprio di lanciare un sassolino che cade sulla circonferenza e poi di lanciarne un altro con gli stessi requisiti.  Nel secondo caso, invece, abbiamo a che fare, fin dall'inizio, con un segmento di retta (pensiamo a un bastoncino rigido) che viene lanciato a caso sopra il cerchio. Il terzo metodo è una specie di mix tra i due, utilizzando sia un sassolino che un bastoncino. Ragionando dal punto di vista di un fisico non ci sarebbe, perciò, da stupirsi che le tre procedure utilizzate per tracciare una corda diano risultati differenti. Anzi, la faccenda sarebbe molto strana se si ottenessero tre risultati uguali.

Tutto finito allora? Il paradosso sta in piedi solo e soltanto accettando, come del tutto equivalenti tra loro, procedure  fisicamente diverse? La faccenda è molto più sottile.

Fissiamoci sul secondo caso, ossia quello del bastoncino. Possiamo cambiare l'enunciato, estremamente vago dal punto di vista fisico, e specificare esattamente anche la procedura da adottare.  In altre parole, diciamo espressamente: "Lanciamo a caso un bastoncino (che ovviamente deve intersecare la circonferenza)  e calcoliamo la probabilità che la corda che individua sia maggiore del lato del triangolo equilatero iscritto". Siamo veramente sicuri di aver eliminato del tutto le ambiguità? Purtroppo no.

Pensiamoci bene e vediamo le cose in termini pratici. Un certo lanciatore ha in mano il bastoncino e lo lancia sul cerchio contando quante volte la corda corrispondente è maggiore del lato del triangolo. Facendo il rapporto con il numero di lanci effettuati determina la probabilità cercata. Ed ecco apparire la zona d'ombra di cui abbiamo parlato precedentemente e che solleva il problema del "come viene lanciato il bastoncino", ossia il problema dell'interazione tra movimento della mano e bastoncino. Un'interazione che va a determinare il tipo di traiettoria che descrive il bastoncino. In poche parole, vi è un processo dinamico DETERMINISTICO che, sulla base di quanto imposto dal lanciatore alla mano, va a stabilire il tragitto del bastoncino.

Questo processo è veramente casuale? In realtà no, dato che ogni lanciatore utilizza una sua modalità di lancio. La parola "a caso", però, significa "in nessun modo predeterminato", ossia "in qualsiasi modo". Ma questo non è vero, dato che esistono differenze tra lanciatore e lanciatore e sui loro metodi di lancio. Per poter dire veramente  "a caso" dovrei poter valutare e mediare in qualche modo tutti i tipi di lancio. Ogni tipo di lancio, infatti, ha una sua propria distribuzione di probabilità. Per potere veramente introdurre "a caso" nell'enunciato devo tenere conto di tutti i possibili metodi di lancio.

E veniamo al nostro "carissimo" giocatore di golf. Immaginiamo che invece di un bastoncino lanci la sua pallina. Ebbene, tutti i movimenti che danno poi luogo alla traiettoria voluta sono molto personali. Ad esempio (Frank mi perdoni le inesattezze...) ci sono giocatori che imprimono alla pallina un senso rotatorio antiorario, ossia la pallina parte dritta per poi dirigersi in fase di caduta verso la loro destra (fade). C'è chi, invece, esegue un movimento opposto (draw) in cui la pallina cade dirigendosi verso sinistra. Cosa comporta tutto ciò? Che un giocatore che usa il fade vede cadere le proprie palline soprattutto nella zona destra del campo e viceversa per chi usa il draw. La statistica degli impatti della pallina con il terreno porta, perciò, a distribuzioni diverse. In poche parole, il come viene lanciata la pallina-bastoncino porta a una distribuzione di probabilità diversa a seconda del tipo di lancio scelto a priori. Se, quindi, vogliamo che il lancio sia veramente eseguito a caso si devono tenere in conto le distribuzioni di probabilità relative a ogni tipo di lancio, nessuno escluso.  Ovviamente, il discorso non è facile da mettere in pratica.

In termini matematici, ad ogni tipo di lancio del bastoncino si deve associare una distribuzione di probabilità ρ. Se i modi fossero in numero finito avremmo una certa serie di ρ. Per ogni ρ esiste una probabilità P e non ci resterebbe che fare una media (magari giustamente pesata) di tutte le probabilità. E qui sorge la vera grande difficoltà: "Quanti sono i modi di lancio possibili?". Ora si va veramente nel sottile. Non possiamo che dire che il numero di possibilità di lancio è infinito. Sì, ma è un infinito numerabile? Quasi sicuramente NO e, allora, come posso mai calcolarmi una media? Ricordiamo che un infinito è numerabile quando può essere messo in relazione biunivoca con l'insieme dei numeri naturali. In tal caso posso studiare una media di n termini passando al limite per n che tende a infinito.

Il problema è che l'insieme delle distribuzioni di probabilità non è un insieme numerabile, ossia è un po' come l'insieme dei numeri reali. Questo insieme ha un'infinità di ordine superiore a quella dei numeri naturali. Esiste, però, il modo per superare anche questo ostacolo, rappresentando i numeri reali come il limite di una serie di numeri razionali. Ad esempio il numero e si può scrivere come

e = lim_{n -->∞}(n +1)ⁿ/nⁿ

e quindi può essere trattato come una sequenza di numeri razionali (e perciò numerabili) che convergono verso il valore del numero irrazionale e.

Procedendo in questo modo si è riusciti a calcolare la probabilità media di tutti i casi possibili anche se questi tendevano a infinito. Questa trattazione va però ben oltre le nostre capacità matematiche (ci sarebbe ancora voluto il nostro Umberto...). Resta il fatto che la media  è risultata essere proprio uguale a 1/2. Tornando al golf, questa probabilità è quella che verrebbe associata a un giocatore che lanciasse la pallina in tutti i modi possibili.

Sembrerebbe tutto ovvio e si potrebbe pensare che non ci fosse bisogno di tanti calcoli. Tuttavia, l'enunciati Bertrand non dice in che modo lanciare il bastoncino e quindi deve essere trattata tutta una serie infinita di probabilità. La media finale  è stata chiamata media universale.

Concludiamo tornando alla MQ. In quel caso si parla di "misura" universale, ma corrisponde perfettamente a questo tipo di approccio probabilistico. Ciò vuol dire che il processo di misura è in realtà qualcosa che può essere qualsiasi. Tutto ciò porta proprio alla regola quantistica probabilistica espressa da Born. E qui ci fermiamo, invitando il nostro carissimo giocatore di golf a pensarci molto bene prima di lanciare una pallina e trarre le conclusioni. Prima o poi dovrà pure giocare con una pallina quantistica... Stiamo parlando dell'elettrongolf, ovviamente!