Bravissimi, come sempre, i nostri amici lettori, a partire dal rapidissimo Ernesto. La difficoltà del problema non risiede certo nei calcoli, ma nella giusta interpretazione di un evento "fisico". Non sempre la matematica si può applicare in modo "brutale".

Se, infatti, prendiamo due numeri qualsiasi e vogliamo farne la media aritmetica, il problema è oltremodo semplice: basta fare la somma dei due numeri e dividere per 2. Più in generale, dati n numeri si sommano gli n numeri e si divide la somma per n.

Se consideriamo la velocità come un semplice numero, il nostro quiz sembra banale e immediato:

Facciamo la media delle due velocità

(v1 + v2)/2

E imponiamo che sia uguale a due volte la velocità v1:

2v1 = (v1 + v2)/2

4v1 = v1 + v2

v2 = 3v1

Sembrerebbe sufficiente percorrere il secondo giro con una velocità pari a tre volte quella del primo giro per ottenere lo scopo.

Tuttavia, sappiamo benissimo qual è il significato fisico di velocità: distanza percorsa diviso il tempo impiegato a percorrerla. Per una velocità costante si ha:

v = s/t

Bene la distanza compiuta nel primo giro è stata sicuramente d, mentre il tempo t1 rimane del tutto arbitrario. Nel secondo giro la velocità è istantaneamente aumentata e vale d/t2. Dopo due giri qual è la situazione?

v_media = (d + d)/(t1 + t2)

Questa relazione ci dice che abbiamo percorso due giri in un tempo che deve essere la somma dei due tempi.

Vogliamo, però, che la velocità media dopo due giri sia uguale a 2d/t1, per cui:

v_m = 2d/t1 = 2d/(t1 + t2)

Affinché sia valida la relazione è obbligatorio porre t2 = 0. In poche parole l’unica velocità possibile per il secondo giro è una velocità infinita, maggiore anche di quella della luce. Ne consegue che è impossibile ottenere quanto voluto: un velocità media di 2v1 è impossibile da ottenere.

Possiamo avvicinarci al valore richiesto? Ovviamente sì, ma una velocità media doppia di v1 è il limite all’infinito.

Facciamo una prova inserendo un tempo t2 estremamente più corto di t1 (il che vuol dire aumentare la velocità, dato che d rimane sempre lo stesso), ad esempio 1/1000 di t1.

v_m = 2d/( t1 + t1/1000) = 2d/(1001 t1/1000) = 2000 d/(1001  t1)= 1.998 d/t1 = 1.998 v1

Beh, ci siamo quasi...

Mettiamo il caso che il tempo impiegato nel secondo giro sia uguale a 40 secondi (nuovo record mondiale dei 400 metri). Ciò comporterebbe che il primo giro debba venire completato mille volte più lentamente, ossia in circa 11 ore, giudici permettendo!

In realtà, questo problemino ha sollevato molti dubbi e discussioni, ma io penso che in qualche modo sia abbastanza simile al paradosso di Achille e della tartaruga, a parte il fatto che questa volta matematica e fisica hanno invertito i ruoli.

 

QUI trovate il quiz

QUI il quiz che la leggenda racconta abbia messo in crisi Einstein e, guarda caso, ha per oggetto la velocità media. Qualcuno vuole provare a risolverlo? La soluzione è già pubblicata, ma basta non leggerla... vi crediamo sulla parola!