Non avete abbastanza soldi, ma vorreste raggiungere la stazione spaziale? Nessun problema... basta recuperare le "giuste" palline e farsi aiutare dai tecnologi.

Vogliamo fare un salto sulla stazione spaziale (magari anche un po' più in alto)? Bisogna avere tanti soldi per pagarsi un razzo e altre piccolezze del genere. Insomma non è avventura per tutti. Ma ne siamo sicuri? Beh... un metodo teorico ci sarebbe e ve lo spiego, lasciando agli ingegneri aeronautici del nostro blog il compito di rendere pratica la faccenda. Immaginiamo che non vi sia attrito atmosferico e che si possa trascurare la perdita di energia (o meglio, trasformazione) che avviene quando due "oggetti" si urtano. Insomma, l'urto sia perfettamente anelastico.

Come base di partenza, andiamo a rileggerci l'articolo sull'effetto fionda e in particolare la parte che ci dice cosa capita se inviamo una pallina contro un treno in corsa. Se la pallina ha una sua velocità v_P rispetto a uno spettatore esterno e il treno ha una velocità v_T, in verso opposto, cosa succede alla pallina dopo l'urto? Rispetto al sistema di riferimento del treno essa viaggia alla velocità di v_P + v_T (il treno si considera fermo, ovviamente). La pallina rimbalza, rispetto al treno, con una velocità  v_P + v_T. Tuttavia, rispetto a un osservatore esterno, la pallina viaggia alla velocità  v_P + v_T + v_T, dato che tutto il sistema treno più pallina si deve muovere alla velocità del treno. Con un minimo di formule legate alla conservazione della quantità di moto e dell'energia cinetica la faccenda si dimostra perfettamente. Possiamo, perciò prendere per buono il risultato.

In particolare, immaginiamo che il treno e la pallina viaggino alla stessa velocità, con verso opposto, ne consegue che la velocità finale della pallina sarà tre volte superiore a quella originale.

A questo punto ci chiediamo: "Se invece di agire in orizzontale, agissi in verticale? Ossia, lasciassi cadere la pallina per terra da un altezza di un metro?".

In questo caso la pallina rimbalzerebbe e raggiungerebbe, teoricamente, l'altezza da cui è partita, ossia un metro. Tutto ciò in base alla conservazione dell'energia meccanica che è data dalla somma di energia cinetica e energia potenziale. E' il solito vecchio esempio delle montagne russe, in cui il vagoncino parte con velocità zero da una certa altezza e possiede solo energia potenziale. Poi inizia ad acquistare sempre maggiore velocità e quindi energia cinetica. Quando giunge al suolo la sua energia potenziale si è trasformata tutta in energia cinetica e il vagoncino si può permettere di risalire verso l'alto, raggiungendo teoricamente l'altezza di partenza dove la sua velocità si annulla e, nuovamente, la sua energia cinetica si è trasformata in energia potenziale pari a quella iniziale. E via dicendo...

Un bel risultato che, però, ci soddisfa ben poco. Immaginiamo allora di fare alzare il pavimento con una velocità pari a quella della pallina in caduta libera. Si ritorna, agendo in verticale, al caso del treno, dove il treno è adesso il pavimento. In ogni modo, alla fine, la pallina deve risalire verso l'alto con una velocità che è tre volte quella con cui aveva impattato il pavimento.

A che altezza arriva? Basta calcolare l'energia cinetica, dove però la velocità va al quadrato e quindi si ottiene un valore che è nove volte quello dell'energia prima dell'impatto. La pallina si ferma quando tutta questa energia si è trasformata in energia potenziale. Conoscendo l'energia potenziale è facile dedurre l'altezza rispetto al suolo.  Nel caso di una caduta da un metro, la pallina salirà fino a circa nove metri. Beh... niente male. D'altra parte ce lo potevamo aspettare pensando ai saltatori sui teloni elastici ben tesi.

Noi, però non abbiamo nessuna intenzione di usare pavimenti che si muovono e nemmeno teloni da salto, dato che vogliamo raggiungere altezze di ben diversa grandezza. Prendiamo, allora, un pallone da pallacanestro e una pallina da tennis. L'importante è che la massa della pallina sia nettamente minore di quella del pallone. Mettiamo la pallina da tennis sopra il pallone da basket (devono stare in equilibrio perfetto, ma a far questo ci pensano i nostri "tecnologi") e facciamoli cadere al suolo. Il pallone da basket e la pallina viaggiano alla stessa velocità, ma il pallone da basket inverte la sua velocità dopo il rimbalzo a terra mentre la pallina ha ancora una velocità di caduta diretta verso il basso. Otteniamo proprio ciò che volevamo: una pallina, di massa decisamente più piccola di quella del pallone-treno, rimbalza verso l'alto con una velocità tripla di quella iniziale. Già sappiamo che essa raggiunge i nove metri di altezza.

Non è difficile, adesso, pensare di aggiungere una terza pallina, ancora più leggera (ad esempio una pallina da ping pong) e far cadere insieme palline e pallone. La faccenda si ripete... la pallina da ping pong urta contro la pallina da tennis con una velocità v, ma rimbalza con una velocità, rispetto alla pallina da tennis, che è pari a somma della sua velocità più quella della pallina da tennis, ossia 3v + v. Se osservato da terra bisogna ancora aggiungere la velocità della pallina da tennis, ossia

(v + 3v) + 3v  = 7v,

Questa velocità è tale da farle raggiungere e superare di poco i 48 metri.

Se mettiamo una pallina ancora più leggera in cima, abbiamo

v + 7v + 7v = 15v

Con la quarta pallina si raggiungono i 222 metri.

Un piccolo aiuto per far tornare l'altezza raggiunta (prima, però, provate da soli...). L'energia cinetica al momento del rimbalzo permette alla pallina di salire fino a che si trasformi tutta in energia potenziale.

Dobbiamo perciò scrivere

m g h = 1/2 m v²

semplifichiamo m e si ottiene:

h = v²/(2 g)

La velocità finale, al momento dell'urto, cadendo da un metro è di circa 4.4 m/s. Ne segue che la quarta pallina al momento del rimbalzo ha una velocità di 7 volte 4.4 m/s, ossia di 66 m/s. Da cui:

h = 66²/(2 · 9.81) = 222 m

Ormai avete capito il gioco... un gioco che spiega anche perché una stella che si contrae per effetto gravitazionale con una certa velocità vede i suoi strati esterni rimbalzare verso lo spazio a velocità incredibili dando luogo a una supernova. Il ruolo del pallone da basket è preso dal nucleo interno più denso, mentre le palline sempre più leggere sono gli strati superiori che vanno a urtare contro di esso e tra di loro. Insomma, il nostro metodo molto ecologico è, ovviamente, già stato messo in pratica dalle stelle!

Ma torniamo a noi e alle nostre palline... Cosa succederebbe se mettessi sei palline una sopra l'altra e le facessi cadere sempre da un metro d'altezza? I numeri crescono in fretta: la sesta pallina viaggerebbe verso l'alto con una velocità di poco meno di 280 m/s, raggiungendo un'altezza di circa 4000 metri. Un bel sistema per arrivare in cima al Monte Bianco...

Si può fare di meglio, però. Mettiamo una sopra l'altra 9 palline. Bene, la nona pallina raggiungerebbe una velocità di  2.2 km/s e un'altezza di 260 km. Niente male, davvero. E se ne aggiungessimo una decima? Il risultato sarebbe quello voluto. La pallina salirebbe fino a poco più di 1000 km. Se i tempi fossero scelti con accuratezza e la stazione spaziale avesse una "rete da farfalle" adeguata, raccoglierebbe la pallina mentre sta ancora salendo. Oppure, basterebbe far cadere le palline ancora più vicine al suolo e far arrivare la più piccola a velocità praticamente nulla rispetto alla stazione spaziale.

Vogliamo strafare? Mettiamo 12 palline una sopra l'altra. Bene, l'ultima supererebbe la velocità di fuga dalla Terra.

In poche parole: con dieci sfere di massa sempre minore (tale da trascurare la massa della più piccola rispetto a quella precedente), lasciate cadere al suolo da un metro d'altezza, potremmo tranquillamente raggiungere la stazione spaziale, ma, con tre in più, raggiungeremmo la velocità di fuga dalla Terra.

Se non è un metodo ecologico questo!

P.S.: riguardo alla energia dissipata (in calore, suono, ecc.), durante gli urti, possiamo ricordare, però, che vi sarebbe una compressione al momento dell'urto e questa energia elastica verrebbe subito rilasciata aiutando la pallina a raggiungere veramente le velocità ipotizzate, come nel telone per i salti. O giù di lì... ma questi sono, come già ripetuto varie volte, problemi da ingegneri. Qualcosa devono pur fare!

 

Una volta raggiunta la stazione spaziale, "quanta" Terra vedrebbe la pallina? Ne parliamo QUI