Il quiz è stato risolto e impostato abbastanza correttamente. Voglio darne la soluzione in modo estremamente didattico.

Un ottimo punto di partenza è quello prospettato da Francesco, ossia impostando la relazione ab + bc + bd  in modo geometrico. Utilizziamo, per far ciò, la Fig. 1

Associamo a ogni scimmia un segmento la cui lunghezza è pari alla loro età. I valori ab, bc e bd rappresentano le aree dei tre rettangoli  colorati in azzurro . Questa rappresentazione comporta l'esistenza di un quarto rettangolo ad, colorato in rosa. In tal modo si ottiene il rettangolo completo di lati  a+ b e c + d. Questo è  un dato di fatto, che capita sempre, qualsiasi sia la lunghezza dei segmenti di partenza, ossia a, b, c e d.

Possiamo allora scrivere:

ab + bc + bd = (a + c)(b + d) - ad

ne segue che massimizzare il primo membro è la stessa cosa che massimizzare il secondo membro:

max [( a + c)(b + d) - ad]

Tuttavia, massimizzare questa relazione significa minimizzare l'area del rettangolo ad. Questo risultato si ottiene ponendo la lunghezza di a e d uguale a.

a = 1

d = 1

La relazione diventa, perciò:

max [(1 + c)(b + 1) - 1]               .... (1)

Sappiamo, però, che la somma di a, b, c e d deve essere 63. Ossia:

1 + b + c + 1 = 63

b + c = 61

b = 61 - c

Andiamo a sostituire questa valore nella (1)

max [(1 + c)(62 - c) - 1]

max [62 + 62c - c - c² - 1]

max [- c² + 61c - 61]

Come facciamo a ricavare il valore massimo di questa espressione? Nessuna paura, basta rivolgersi ancora alla parabola. L'equazione da massimizzare è, infatti, una parabola e sappiamo chi è il suo punto di massimo (o minimo): il vertice.

Data la parabola:

y = mx² + nx + q

il suo vertice ha ascissa:

x_M = - n/2m ^(*)

Nel nostro caso, abbiamo

x_M = c = - 61/- 2 = 30.5

Tuttavia, il valore di c deve essere un intero, per cui possiamo considerare sia 30 che 31. Di conseguenza

b = 61 - c

può assumere sia il valore 31 che 30, rispettivamente.

Ne segue che i valore di a, b, c e d necessari a massimizzare la somma dei prodotti di partenza devono essere

a = 1

b = 31  o  30

c = 30  o  31

d = 1

La somma dei prodotti rimane la stessa per entrambi i valori di b e c, da cui:

ab + bc + bd = 31 +930 + 30 = 991

ab + bc + bd = 30 + 930 + 31 = 991

Con l'aiuto della "solita" parabola sappiamo che due scimmie sono molto anziane e due scimmie sono veramente giovani!

(*): Se volete si può anche dimostrare con un po' di passaggi algebrici, ma senza derivate...

Il QUIZ lo trovate qui