Sappiamo che vi sono vari metodi per tracciare una curva che approssimi al meglio una serie di punti osservati. Esiste sempre un polinomio di un certo grado che permetta di avvicinarsi sempre più allo scopo, il cui grado dipende ovviamente dal numero di punti in nostro possesso.

Stiamo, ovviamente, parlando di interpolazione.

Tuttavia,  grazie alla ricerca di armonia nelle linee delle carrozzerie delle automobili, intorno agli anni '60 del secolo scorso, sono stati sviluppati algoritmi capaci di mostrare facilmente (grazie ai computer) soluzioni sempre diverse per curve passanti per due punti prefissati. Minimi cambiamenti in certi punti "di controllo" hanno permesso di poter tracciare una serie infinita di curve passanti per quei punti, perfettamente smussate, armoniose e, ovviamente, rispondenti ai parametri fisici attivi durante il movimento dell'automobile. Il merito dell'applicazione alle carrozzerie delle automobili si deve all'ingegnere francese Pierre Bezier, da cui il nome di curve di Bezier. In generale, questo tipo di approccio è utilizzato in tutti i campi della "computer grafica", ma noi ci limiteremo al concetto base.

Il procedimento non è molto diverso da quello utilizzato per l'interpolazione, ma invece di cercare di passare per punti prefissati, la curva di Bezier impone soltanto un punto di partenza e un punto di arrivo, permettendo la visualizzazione e la scelta della curva più bella e utile che inizi e termini in quei due punti.

Cominciamo con la curva di grado più basso, ossia quella rettilinea tra i due punti P₀e P₁. Vogliamo descrivere un generico punto P (lo chiamiamo P'₀) che stia sul segmento P₀P₁, la cui posizione vari linearmente con un certo parametro t che va da 0 a 1. .

La migliore rappresentazione della situazione è quella vettoriale, mostrata in Fig. 1.

Dati i punti P₀ e P₁ prolunghiamo la loro congiungente e consideriamo un punto O qualsiasi come origine. Questo ci permette di definire due vettori: OP₀ e OP₁, che possiamo chiamare P₀ e P₁.

Vogliamo legare un qualsiasi punto P_o', compreso tra P₀ e P_1, ai vettori P₀ e P₁ e al parametro t.

Definiamo, allora, il vettore OP₀' = P₀'(t)

E' immediato concludere che tale vettore è la somma di due vettori: P₀ e P₁ - P₀ moltiplicato per il parametro t:

P₀'(t) = P₀ + (P₁ - P₀)t                  .... (1)

Se t = 0, esso coincide con P₀, mentre, se t = 1, coincide con P₁.

Anche se non lo esplicitiamo più, P₀' è funzione di t.

Volendo, la forma vettoriale può essere trasformata facilmente nelle sue componenti lungo gli assi cartesiani.

La (1) può essere scritta in modo più utile per una sua generalizzazione:

P₀' = P₀(1 - t) + P₁ t                    ... (2)

D'ora in poi non scriveremo più il simbolo vettoriale, sapendo ormai il suo significato. La (2) ci permette di descrivere ogni punto tra P₀ e P₁ in funzione del parametro t, attraverso una relazione lineare.

Passiamo adesso a una curva di secondo grado. Per far ciò introduciamo un terzo punto P2. Lo scopo è quello di costruire curve di secondo grado che partano da P₀ e arrivino in P₂, tenendo però in conto il punto P₁ che assume il ruolo di "controllore" della curva. Utilizziamo la Fig. 2.

Congiungiamo P₀ a P₁ e P₁ a P₂. Definiamo, poi, i punti P₀' e P₁', seguendo le regole del caso precedente. In altre parole, facciamo variare il parametro t in modo che nell'intervallo 0-1 sia descritto sia il segmento P_oP₁ che P₁P₂. Tra P_o e P₁ troviamo il punto P₀', mentre, tra P₁ e P₂ troviamo il punto P'₁. Uniamo questi due punti (segmenti colorati) e ci ritroviamo ancora nel caso di Fig. 1. Al variare di t, varia il segmento P_o'P₁', ma per ogni suo valore è possibile trovare il punto P₀" tale che soddisfi la relazione (2) tra P₀' e P₁'. Nella figura sono stati inseriti solo tre valori del segmento P_o'P₁', ma è ovvio che se ne possano disegnarne n a piacere (cosa che il calcolatore sa fare egregiamente).

Vediamo come si trasforma la relazione (2)

Essa vale, per P_o e P₁

P₀' = P₀(1 - t) + P₁ t                      .... (3)

Mentre per P1 e P2 vale

P₁' = P₁(1 - t) + P₂ t                       .... (4)

Applicando la (2) ai vari segmenti P₀' P₁' otteniamo i punti P₀", tra ogni punto P_o' e P₁', al variare di t:

P₀" = P₀'(1 - t) + P₁' t                  .... (5)

Sostituendo i valori di P₀ e P_'1 della (3) e (4) nella (5), abbiamo:

P₀" = (P₀(1 - t) + P₁ t)(1 - t) + (P₁(1 - t) + P₂ t) t

P₀" = P₀(1 - t)² + 2P₁ t (1 - t) + P₂ t²               .... (6)

che è la nostra curva di secondo grado. Essa passa per P₀ e P₂, ma non per P₁, che fa solo da "controllore".

La faccenda si ripete se aggiungiamo un quarto punto P₃. Per i primi 3 punti rifacciamo quanto fatto nel caso precedente, come mostra la Fig. 3.

Poi ripetiamo l'operazione per i 3 punti P₁, P₂ e P₃ , ottenendo:

P₁" = P₁(1 - t)² + 2P₂ t (1 - t) + P₃ t²                .... (7)

A questo punto eseguiamo la (2) per i segmenti che congiungono P₀" e P₁"(Fig. 4)

P₀"'(t) = P₀"(1 - t) + P₁" t                      .... (8)

E andiamo a sostituire la (6) e la (7) nella (8)

P₀"' = (P₀(1 - t)² + 2P₁ t (1 - t) + P₂ t²)(1 - t) + (P₁(1 - t)² + 2P₂ t (1 - t) + P₃ t²) t

P₀"' = P_o(1 - t)³ + 2 P₁ t(1 - t)² + P₂ t²(1 - t) + P₁ t (1 - t)² + 2 P₂t² (1 - t) + P₃ t³

P₀"' = P_o(1 - t)³ + 3 P₁ t(1 - t)² + 3P₂ t²(1 - t) + P₃ t³                      .... (10)

Che è una cubica (Fig. 5)

Ovviamente, si può continuare per un numero di punti grandi a piacere. Ciò che non cambia è il fatto che la curva passa sempre per il  primo e per l'ultimo, mentre tutti quelli intermedi fanno da "controllori".

La forma generalizzata per un numero n + 1 di punti (da P₀ a P_n), vale:

P₀ⁿ (t) = ∑ⁿ_{k = 0} P_k(1 - t)^n-k t^k                                             .... (11)

Ricordiamo che è il coefficiente binomiale che vale n!/((n - k)! k!) (se k = 0 vale sempre 1).

Una relazione facilmente inseribile come "comando" in un computer, scegliendo i punti P₀, ..., P_n. In realtà, almeno per quanto riguarda la progettazione delle carrozzerie delle automobili, si fissano i punti iniziale e finale e poi lavorando su quelli intermedi si fa variare la curva fino a ottenere il risultato più accattivante. La Fig. 6 ci mostra un esempio nel caso di soli 3 punti.