Questo articolo è inserito nella sezione d'archivio "I Numeri Primi"

 

Come  dicevamo la volta scorsa, i numeri primi sono ancora circondati dal mistero e nemmeno i più potenti calcolatori odierni ne sono venuti a capo. Ciò che si riesce a fare è trovarne qualcuno di nuovo, ma il legame che li lega tra di loro si affida solo a ipotesi non dimostrate. La trattazione di tutti gli studi fatti a riguardo è enormemente vasta e noi ne estrarremo solo alcuni punti fondamentali, più che sufficienti, però, per dire che "più cerchiamo di conoscerli e meno li conosciamo"... Insomma sono veramente soli e forse vivono in un mondo a parte: noi rimaniamo impotenti davanti a loro.

Vi sono almeno quattro domande fondamentali che li riguardano, con la terza che è legata strettamente alla seconda):

(1) Quanti sono ?

(2) Quali sono ?

(3) Come fare per trovarli senza ricorrere alla "forza bruta" ?

(4) Come si distribuiscono all'interno dei numeri interi ?

A tutt'oggi abbiamo una risposta definitiva solo per la prima domanda. E indovinate chi è riuscito a darne anche una prova di un'eleganza impressionante nella sua semplicità? Proprio lui, di nuovo Euclide!

La risposta è: INFINITI.

No, non sobbalziamo sulla sedia leggendo che proprio uno scienziato greco ha nominato la parola "infinito". Sappiamo che era quasi un sacrilegio e che infinito era sinonimo del male, di una orribile condanna. In realtà, io penso che un grande come Euclide avesse ben chiaro il concetto di infinito, ma che si astenesse dal nominarlo esplicitamente visto il senso di terrore che emanava. A ben vedere, Euclide non nomina espressamente l'infinito, ma si limita a farlo intuire, almeno nella visione moderna.

Veniamo al dunque e vediamo come fa Euclide a dimostrare il suo teorema sulla quantità dei numeri primi.  Lui dice (proposizione 20 del libro IX):

Vi sono più numeri primi che in ogni quantità finita assegnata di numeri primi

Fa finta di limitarsi a quantità finite, le uniche permesse, ma l'assunzione che esistano sempre numeri primi non compresi in una qualsiasi quantità finita di numeri primi porta immediatamente alla versione moderna di quantità infinita.  E'  inutile sottilizzare più di tanto e passare alla dimostrazione di Euclide, ricordando sempre che Euclide NON conosceva l'algebra e che tutto si basava su grandezze rappresentabili con figure geometriche come il semplice segmento.

Euclide dimostra l'inconsistenza dell'ipotesi contraria alla sua. Vuole infatti mostrare come il ribaltamento della sua ipotesi (in breve, i numeri primi sono infiniti per dirla con parole odierne) porti a risultati assurdi.

Egli, perciò, assume che i numeri primi siano in quantità finita. Se ciò fosse vero, sarebbe  possibile trovare una serie di numeri primi che li contenga tutti. Ammettiamo che questa serie sia formata da p1, p2, p3, ....,pn e consideriamone il prodotto P:

P = p1 p2 p3 .... pn

Poi, gli aggiungiamo un'unità:

Q = P + 1

I casi sono due: o Q è un numero primo e allora il ribaltamento della sua ipotesi è errato, dato che Q è sicuramente MAGGIORE dei numeri primi che sono contenuti nel gruppo giudicato completo, oppure Q è un numero composto. Ma, se fosse composto, dovrebbe essere formato dalla moltiplicazione di numeri primi, che dovrebbero essere quelli compresi in P. Tuttavia, per come è costruito Q, nessuno numero primo divide perfettamente Q, dato che il resto non è mai zero, ma 1. Ciò implica che devono esistere numeri primi più grandi di quelli contenuti in P che formino Q. M anche questa soluzione smentisce l'ipotesi che Q contenga TUTTI i numeri primi. Ne segue che questa deve essere sbagliata.

Un ragionamento semplice, ma decisivo, che dimostra la proposizione di Euclide. Insomma, un infinito che viene dimostrato ben prima che riesca a fare la sua comparsa ufficiale, molti secoli dopo.

Facciamo un esempio, sperando che aiuti a capire la logica perfetta.

Assumiamo che i numeri primi siano soltanto

2, 3, 5, 7, 11

Q = 2 3 5 7 11 + 1 = 2311

che è un numero primo.

Assumiamo, invece, come insieme di tutti i numeri primi:

2, 3, 5, 7, 11, 13

Q =  2  3  5  7 11 13 + 1 = 30031

30031 non è numero primo, ma non può essere formato dai numeri primi assunti come gli unici esistenti. Infatti:

30031 = 59 x 509, entrambi primi e maggiori della serie che avevamo considerata completa.

E così via per qualsiasi serie si riesca a considerare!

continua...